Номер 1112, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1112, страница 266.

Условие.

1112. Отец и сын принялись косить два соседних участка. Когда сын выкосил половину меньшего участка, они присели отдохнуть и подсчитали, что отец косит в 2 раза быстрее сына и что если они будут работать так же хорошо, но поменяются участками, то закончат работу одновременно. Определите площадь каждого участка, если один из них больше другого на 1 сотку.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $S_м$ — площадь меньшего участка в сотках.
• Пусть $S_б$ — площадь большего участка в сотках.
• Пусть $v_с$ — скорость (производительность) работы сына (соток/час).
• Пусть $v_о$ — скорость (производительность) работы отца (соток/час).

Исходя из условий задачи, мы можем составить следующие соотношения:

1. Один участок больше другого на 1 сотку: $S_б = S_м + 1$.
2. Отец косит в 2 раза быстрее сына: $v_о = 2v_с$. Для удобства, обозначим $v_с = v$, тогда $v_о = 2v$.

Разберем процесс работы по этапам.

Этап 1: Работа до отдыха

Сын выкосил половину меньшего участка. Это значит, что он работал на меньшем участке. Отец в это же время работал на большем участке.

Работа, выполненная сыном: $A_с = 0.5 \cdot S_м$.

Время, которое сын затратил на эту работу: $t_1 = \frac{A_с}{v_с} = \frac{0.5 \cdot S_м}{v}$.

За это же время $t_1$ отец работал на своем (большем) участке. Вычислим, какую площадь он выкосил за это время:

$A_о = v_о \cdot t_1 = (2v) \cdot \left(\frac{0.5 \cdot S_м}{v}\right) = 2 \cdot 0.5 \cdot S_м = S_м$.

Итак, к моменту отдыха было выкошено:

• На меньшем участке: $0.5 \cdot S_м$. Осталось выкосить: $S_м - 0.5 \cdot S_м = 0.5 \cdot S_м$.
• На большем участке: $S_м$. Осталось выкосить: $S_б - S_м = (S_м + 1) - S_м = 1$ сотка.

Этап 2: Работа после отдыха

После отдыха они поменялись участками. Теперь отец будет докашивать меньший участок, а сын — больший.

Отцу осталось выкосить на меньшем участке $0.5 \cdot S_м$. Время, которое ему на это потребуется:

$t_{отец} = \frac{\text{оставшаяся работа}}{\text{скорость отца}} = \frac{0.5 \cdot S_м}{v_о} = \frac{0.5 \cdot S_м}{2v}$.

Сыну осталось выкосить на большем участке 1 сотку. Время, которое ему на это потребуется:

$t_{сын} = \frac{\text{оставшаяся работа}}{\text{скорость сына}} = \frac{1}{v_с} = \frac{1}{v}$.

Составление и решение уравнения

По условию, после смены участками они закончат работу одновременно. Это значит, что время, которое они потратят на втором этапе, одинаково:

$t_{отец} = t_{сын}$

$\frac{0.5 \cdot S_м}{2v} = \frac{1}{v}$

Мы можем сократить $v$ в обеих частях уравнения (так как $v \neq 0$):

$\frac{0.5 \cdot S_м}{2} = 1$

$0.5 \cdot S_м = 2$

$S_м = \frac{2}{0.5}$

$S_м = 4$

Таким образом, площадь меньшего участка составляет 4 сотки.

Теперь найдем площадь большего участка:

$S_б = S_м + 1 = 4 + 1 = 5$.

Площадь большего участка составляет 5 соток.

Проверка:

Меньший участок - 4 сотки, больший - 5 соток. Скорость сына $v$, скорость отца $2v$.

Этап 1: Сын косит половину меньшего участка ($0.5 \cdot 4 = 2$ сотки). Время: $t_1 = \frac{2}{v}$.

За это же время отец на большем участке выкосит: $A_о = 2v \cdot \frac{2}{v} = 4$ сотки.

Остатки: на меньшем участке осталось $4 - 2 = 2$ сотки, на большем $5 - 4 = 1$ сотка.

Этап 2 (меняются): Отец косит 2 сотки на меньшем участке. Время: $t_{отец} = \frac{2}{2v} = \frac{1}{v}$.

Сын косит 1 сотку на большем участке. Время: $t_{сын} = \frac{1}{v}$.

Время совпадает ($t_{отец} = t_{сын}$), значит, решение верное.

Ответ: Площадь меньшего участка составляет 4 сотки, а площадь большего участка — 5 соток.