Номер 1107, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1107, страница 265.

Условие.

1107. a) Даны два числа. Если первое число умножить на 2, то полученное число будет на 1 больше второго; если второе число умножить на 2, то полученное число будет на 55 больше первого. Найдите числа.

б) Даны два числа. Если первое число умножить на 4, то полученное число будет на 10 больше второго; если второе число уменьшить на 30, то полученное число будет больше первого на 35. Найдите числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.

Согласно первому условию, если первое число умножить на 2, то оно будет на 1 больше второго. Запишем это в виде уравнения: $2x = y + 1$.

Согласно второму условию, если второе число умножить на 2, то оно будет на 55 больше первого. Запишем это в виде уравнения: $2y = x + 55$.

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x = y + 1 \\ 2y = x + 55 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 2x - 1$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2(2x - 1) = x + 55$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$4x - 2 = x + 55$

$4x - x = 55 + 2$

$3x = 57$

$x = 57 / 3$

$x = 19$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2x - 1$:

$y = 2 \cdot 19 - 1 = 38 - 1 = 37$

Таким образом, первое число равно 19, а второе число равно 37.

Проверка:

1) $2 \cdot 19 = 38$. Это на 1 больше, чем 37. ($38 = 37 + 1$)

2) $2 \cdot 37 = 74$. Это на 55 больше, чем 19. ($74 = 19 + 55$)

Условия выполняются.

Ответ: 19 и 37.

б)

Пусть первое число — $x$, а второе — $y$.

Согласно первому условию, если первое число умножить на 4, то оно будет на 10 больше второго. Запишем это в виде уравнения: $4x = y + 10$.

Согласно второму условию, если второе число уменьшить на 30, то оно будет на 35 больше первого. Запишем это в виде уравнения: $y - 30 = x + 35$.

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 4x = y + 10 \\ y - 30 = x + 35 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4x - 10$.

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(4x - 10) - 30 = x + 35$

Решим уравнение относительно $x$:

$4x - 40 = x + 35$

$4x - x = 35 + 40$

$3x = 75$

$x = 75 / 3$

$x = 25$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 4x - 10$:

$y = 4 \cdot 25 - 10 = 100 - 10 = 90$

Таким образом, первое число равно 25, а второе число равно 90.

Проверка:

1) $4 \cdot 25 = 100$. Это на 10 больше, чем 90. ($100 = 90 + 10$)

2) $90 - 30 = 60$. Это на 35 больше, чем 25. ($60 = 25 + 35$)

Условия выполняются.

Ответ: 25 и 90.