Номер 1105, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1105, страница 265.

Условие.

1105. a) Одно число в 2 раза больше другого. Если меньшее из этих чисел увеличить в 4 раза, а большее увеличить в 2 раза, то их сумма будет равна 80. Найдите числа.

б) Одно число в 3 раза больше другого. Если одно из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 105. Найдите числа. Сколько решений имеет задача? Как следует изменить формулировку задачи, чтобы решение было единственным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Пусть меньшее число равно $x$, тогда большее число равно $2x$. Согласно условию задачи, если меньшее число увеличить в 4 раза, оно станет $4x$. Если большее число увеличить в 2 раза, оно станет $2 \cdot (2x) = 4x$. Сумма этих новых чисел равна 80. Составим и решим уравнение:

$4x + 4x = 80$

$8x = 80$

$x = 80 / 8$

$x = 10$

Итак, меньшее число равно 10. Тогда большее число равно $2x = 2 \cdot 10 = 20$.

Проверка: $10 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = 40 + 40 = 80$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа – 10 и 20.

б) Пусть меньшее число равно $y$, тогда большее число равно $3y$. В условии сказано, что "одно из чисел" увеличивают в 2 раза. Это создает неоднозначность, поэтому задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Увеличили меньшее число в 2 раза.

Новое меньшее число будет $2y$. Большее число остается $3y$. Их сумма равна 105. Составим уравнение:

$2y + 3y = 105$

$5y = 105$

$y = 105 / 5$

$y = 21$

Если меньшее число равно 21, то большее равно $3 \cdot 21 = 63$.

Случай 2: Увеличили большее число в 2 раза.

Меньшее число остается $y$. Новое большее число будет $2 \cdot (3y) = 6y$. Их сумма равна 105. Составим уравнение:

$y + 6y = 105$

$7y = 105$

$y = 105 / 7$

$y = 15$

Если меньшее число равно 15, то большее равно $3 \cdot 15 = 45$.

Таким образом, задача имеет два решения из-за неточной формулировки.

Чтобы решение было единственным, необходимо уточнить, какое именно число увеличивается. Например, формулировку можно изменить так: "Если меньшее из чисел увеличить в 2 раза, то сумма станет равной 105". В этом случае решением будет только первая пара чисел (21 и 63). Или: "Если большее из чисел увеличить в 2 раза...", тогда решением будет вторая пара (15 и 45).

Ответ: задача имеет два решения: (21 и 63) или (15 и 45). Чтобы решение было единственным, нужно в условии уточнить, какое из чисел (меньшее или большее) увеличивается в 2 раза.