Номер 1101, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1101, страница 264.

Условие.

1101. Половина дороги, соединяющей два горных селения, проходит по ровной местности. Автобус едет в гору всегда со скоростью 30 км/ч, на ровном участке — 50 км/ч, а под гору со скоростью 60 км/ч. Найдите расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно 2 ч 15 мин.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи обозначим искомое расстояние между двумя горными селениями как $S$ (в км). Согласно условию, дорога состоит из двух равных частей: ровного участка и горного участка. Длина каждого из этих участков равна $S/2$.

Заданы следующие скорости движения автобуса:

• Скорость на ровном участке: $v_{ровно} = 50$ км/ч.
• Скорость в гору: $v_{в \ гору} = 30$ км/ч.
• Скорость под гору: $v_{под \ гору} = 60$ км/ч.

Путь "туда и обратно" состоит из четырех этапов:

1. Движение по ровному участку в одну сторону.
2. Движение по горному участку (например, в гору).
3. Движение по ровному участку в обратную сторону.
4. Движение по горному участку в обратную сторону (соответственно, под гору).

1. Выразим время, затраченное на каждый участок пути.

Общее время в пути $T$ складывается из времени движения на каждом участке. Используем формулу времени $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

• Время на ровном участке "туда и обратно": автобус проезжает расстояние $S/2$ со скоростью 50 км/ч дважды.
  $t_{ровно} = \frac{S/2}{v_{ровно}} + \frac{S/2}{v_{ровно}} = \frac{S/2}{50} + \frac{S/2}{50} = \frac{S}{50}$ ч.
• Время на горном участке "туда и обратно": автобус проезжает расстояние $S/2$ в гору со скоростью 30 км/ч и это же расстояние $S/2$ под гору со скоростью 60 км/ч.
  $t_{гора} = \frac{S/2}{v_{в \ гору}} + \frac{S/2}{v_{под \ гору}} = \frac{S/2}{30} + \frac{S/2}{60} = \frac{S}{60} + \frac{S}{120}$ ч.

2. Составим и решим уравнение.

Общее время в пути составляет 2 ч 15 мин. Переведем это время в часы:
$T = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2.25 \text{ ч}.$

Сложим время, затраченное на все участки, и приравняем к общему времени:
$T = t_{ровно} + t_{гора}$
$2.25 = \frac{S}{50} + \left( \frac{S}{60} + \frac{S}{120} \right)$

Найдем общий знаменатель для дробей (50, 60, 120). Наименьшее общее кратное равно 600.
$2.25 = \frac{12 \cdot S}{600} + \frac{10 \cdot S}{600} + \frac{5 \cdot S}{600}$

Теперь сложим дроби:
$2.25 = \frac{12S + 10S + 5S}{600}$
$2.25 = \frac{27S}{600}$

Выразим $S$:
$S = \frac{2.25 \cdot 600}{27}$

Выполним вычисления:
$S = \frac{1350}{27}$
$S = 50$

Таким образом, расстояние между горными селениями составляет 50 км.

Ответ: 50 км.