Номер 1097, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1097, страница 264.

Условие.

1097. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем две переменные:
Пусть $x$ — общее количество семей.
Пусть $y$ — стоимость буйвола в денежных единицах.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330».
Это означает, что если все семьи разделятся на группы по 7, то общее количество таких групп будет $\frac{x}{7}$.
Сумма, которую они соберут, составит $\frac{x}{7} \cdot 190$.
Эта сумма меньше стоимости буйвола на 330. Математически это выражается так:
$y = \frac{190}{7}x + 330$

Второе условие: «Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен 30».
Аналогично, если все семьи разделятся на группы по 9, то количество групп будет $\frac{x}{9}$.
Собранная сумма составит $\frac{x}{9} \cdot 270$.
Эта сумма превышает стоимость буйвола на 30. Математически это выглядит так:
$y = \frac{270}{9}x - 30$
Упростим второе уравнение:
$y = 30x - 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{190}{7}x + 330 \\ y = 30x - 30 \end{cases} $
Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество семей $x$:
$\frac{190}{7}x + 330 = 30x - 30$

Решим это уравнение относительно $x$. Для начала умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7 \cdot (\frac{190}{7}x + 330) = 7 \cdot (30x - 30)$
$190x + 2310 = 210x - 210$
Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$2310 + 210 = 210x - 190x$
$2520 = 20x$
$x = \frac{2520}{20}$
$x = 126$
Следовательно, в покупке участвовало 126 семей.

Теперь, зная количество семей, найдем стоимость буйвола ($y$). Подставим значение $x = 126$ в любое из уравнений. Удобнее использовать второе, упрощенное уравнение:
$y = 30x - 30$
$y = 30 \cdot 126 - 30$
$y = 3780 - 30$
$y = 3750$
Таким образом, стоимость буйвола составляет 3750 денежных единиц.

Проверим решение:
1. Если 126 семей поделятся на группы по 7, получится $126 / 7 = 18$ групп. Каждая внесет по 190. Всего соберут: $18 \cdot 190 = 3420$. Недостаток до цены 3750 составит $3750 - 3420 = 330$. Это соответствует первому условию.
2. Если 126 семей поделятся на группы по 9, получится $126 / 9 = 14$ групп. Каждая внесет по 270. Всего соберут: $14 \cdot 270 = 3780$. Избыток сверх цены 3750 составит $3780 - 3750 = 30$. Это соответствует второму условию.
Оба условия выполняются, значит, задача решена верно.

Ответ: 126 семей; стоимость буйвола — 3750 денежных единиц.