Страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1094. Товарный поезд шёл от станции A до станции B со скоростью 60 км/ч, возвращался порожняком от станции B до станции A со скоростью 80 км/ч. Весь путь занял 14 ч (не считая времени разгрузки). Каково расстояние $AB$?

Для решения задачи введем переменную. Пусть искомое расстояние между станцией А и станцией В равно $S$ км.

Скорость поезда на пути из А в В составляет $v_1 = 60$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, можно выразить через расстояние и скорость по формуле $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, время в пути от А до В равно $t_1 = \frac{S}{60}$ ч.

На обратном пути из В в А поезд шел порожняком со скоростью $v_2 = 80$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, соответственно, равно $t_2 = \frac{S}{80}$ ч.

По условию, общее время, которое поезд находился в пути, составляет 14 часов. Это время является суммой времени движения из А в В и из В в А: $t_1 + t_2 = 14$.

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{S}{60} + \frac{S}{80} = 14$

Чтобы решить полученное уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 60 и 80 равно 240. Дополнительный множитель для первой дроби – $240/60 = 4$, а для второй – $240/80 = 3$.

$\frac{4 \cdot S}{240} + \frac{3 \cdot S}{240} = 14$

Теперь сложим дроби:

$\frac{4S + 3S}{240} = 14$

$\frac{7S}{240} = 14$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 240 и разделим на 7:

$7S = 14 \cdot 240$

$S = \frac{14 \cdot 240}{7}$

Сократим 14 и 7:

$S = 2 \cdot 240$

$S = 480$

Таким образом, расстояние между станциями А и В составляет 480 км.

Ответ: 480 км.

1095. Если учеников, пришедших на школьную математическую олимпиаду, в классе посадить по одному за каждую парту, то не хватит 11 парт, а если посадить по двое за парту, то останется ещё 5 свободных парт. Сколько учеников пришло на олимпиаду и сколько парт в классе?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество парт в классе, а $y$ — количество учеников, пришедших на олимпиаду.

Рассмотрим первое условие: «если учеников... посадить по одному за каждую парту, то не хватит 11 парт». Это означает, что если каждый ученик сядет за отдельную парту, то количество учеников окажется на 11 больше, чем количество имеющихся парт. Математически это можно записать в виде уравнения:

$y = x + 11$

Рассмотрим второе условие: «если посадить по двое за парту, то останется ещё 5 свободных парт». Это значит, что для рассадки учеников по двое будет задействовано на 5 парт меньше, чем их есть в классе. Количество занятых парт составит $x - 5$. Поскольку за каждую из этих парт сели по два ученика, общее количество учеников можно выразить так:

$y = 2 \cdot (x - 5)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = x + 11 \\ y = 2(x - 5) \end{cases}$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:

$x + 11 = 2(x - 5)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$x + 11 = 2x - 10$

Теперь соберем все слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$11 + 10 = 2x - x$

$21 = x$

Таким образом, мы выяснили, что в классе 21 парта.

Чтобы найти количество учеников, подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$y = x + 11 = 21 + 11 = 32$

Следовательно, на олимпиаду пришло 32 ученика.

Проведем проверку:
1. Если 32 ученика садятся по одному, им нужно 32 парты. В классе 21 парта, значит, не хватает $32 - 21 = 11$ парт. Это соответствует первому условию.
2. Если 32 ученика садятся по двое, они займут $32 / 2 = 16$ парт. В классе 21 парта, значит, останутся свободными $21 - 16 = 5$ парт. Это соответствует второму условию.

Ответ: на олимпиаду пришло 32 ученика, в классе была 21 парта.

1096. Если каждый ученик класса сдаст на подарок по 3 р., то получится больше запланированного на 10 р. Если каждый сдаст по 2,5 р., то получится меньше запланированного на 5 р. Сколько учеников в классе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество учеников в классе, а $S$ — запланированная стоимость подарка в рублях.

Согласно первому условию, если каждый ученик сдаст по 3 рубля, то общая сумма $3x$ будет на 10 рублей больше запланированной. Это можно выразить уравнением:
$3x = S + 10$

По второму условию, если каждый ученик сдаст по 2,5 рубля, то общая сумма $2.5x$ окажется на 5 рублей меньше запланированной. Составим второе уравнение:
$2.5x = S - 5$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 3x = S + 10 \\ 2.5x = S - 5 \end{cases} $
Выразим запланированную стоимость $S$ из каждого уравнения:
Из первого уравнения: $S = 3x - 10$
Из второго уравнения: $S = 2.5x + 5$

Поскольку левые части полученных выражений равны (обе равны $S$), мы можем приравнять их правые части:
$3x - 10 = 2.5x + 5$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти количество учеников $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$3x - 2.5x = 5 + 10$
$0.5x = 15$
$x = \frac{15}{0.5}$
$x = 30$

Таким образом, мы нашли, что в классе 30 учеников.

Ответ: 30 учеников.

1097. Старинная задача (Китай, II в.). Сообща покупают буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько семей и сколько стоит буйвол?

Для решения этой задачи введем две переменные:
Пусть $x$ — общее количество семей.
Пусть $y$ — стоимость буйвола в денежных единицах.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: «Если каждые семь семей внесут по 190 (денежных единиц), то недостаток равен 330».
Это означает, что если все семьи разделятся на группы по 7, то общее количество таких групп будет $\frac{x}{7}$.
Сумма, которую они соберут, составит $\frac{x}{7} \cdot 190$.
Эта сумма меньше стоимости буйвола на 330. Математически это выражается так:
$y = \frac{190}{7}x + 330$

Второе условие: «Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен 30».
Аналогично, если все семьи разделятся на группы по 9, то количество групп будет $\frac{x}{9}$.
Собранная сумма составит $\frac{x}{9} \cdot 270$.
Эта сумма превышает стоимость буйвола на 30. Математически это выглядит так:
$y = \frac{270}{9}x - 30$
Упростим второе уравнение:
$y = 30x - 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} y = \frac{190}{7}x + 330 \\ y = 30x - 30 \end{cases} $
Поскольку левые части обоих уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти количество семей $x$:
$\frac{190}{7}x + 330 = 30x - 30$

Решим это уравнение относительно $x$. Для начала умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7 \cdot (\frac{190}{7}x + 330) = 7 \cdot (30x - 30)$
$190x + 2310 = 210x - 210$
Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:
$2310 + 210 = 210x - 190x$
$2520 = 20x$
$x = \frac{2520}{20}$
$x = 126$
Следовательно, в покупке участвовало 126 семей.

Теперь, зная количество семей, найдем стоимость буйвола ($y$). Подставим значение $x = 126$ в любое из уравнений. Удобнее использовать второе, упрощенное уравнение:
$y = 30x - 30$
$y = 30 \cdot 126 - 30$
$y = 3780 - 30$
$y = 3750$
Таким образом, стоимость буйвола составляет 3750 денежных единиц.

Проверим решение:
1. Если 126 семей поделятся на группы по 7, получится $126 / 7 = 18$ групп. Каждая внесет по 190. Всего соберут: $18 \cdot 190 = 3420$. Недостаток до цены 3750 составит $3750 - 3420 = 330$. Это соответствует первому условию.
2. Если 126 семей поделятся на группы по 9, получится $126 / 9 = 14$ групп. Каждая внесет по 270. Всего соберут: $14 \cdot 270 = 3780$. Избыток сверх цены 3750 составит $3780 - 3750 = 30$. Это соответствует второму условию.
Оба условия выполняются, значит, задача решена верно.

Ответ: 126 семей; стоимость буйвола — 3750 денежных единиц.

1098. Мальчики составляют $45\%$ всех учащихся в школе. Известно, что $30\%$ всех мальчиков и $40\%$ всех девочек учатся без троек. Сколько процентов всех учащихся школы учатся без троек?

Для решения задачи примем общее число учащихся школы за 100%. Тогда все дальнейшие вычисления можно проводить с процентами, которые будут соответствовать доле от общего числа учащихся.

1. Находим процент девочек в школе.
Если мальчики составляют 45% всех учащихся, то процент девочек равен разности между общим числом учащихся (100%) и процентом мальчиков:
$100\% - 45\% = 55\%$
Следовательно, девочки составляют 55% от всех учащихся школы.

2. Находим, какой процент от общего числа учащихся составляют мальчики, которые учатся без троек.
Известно, что 30% всех мальчиков учатся без троек. Так как мальчики составляют 45% от всей школы, нам нужно найти 30% от 45%. Для этого перемножим доли:
$0,30 \times 45\% = 13,5\%$
Таким образом, мальчики, которые учатся без троек, составляют 13,5% от общего числа всех учащихся в школе.

3. Находим, какой процент от общего числа учащихся составляют девочки, которые учатся без троек.
Известно, что 40% всех девочек учатся без троек. Девочки составляют 55% от всей школы, поэтому нам нужно найти 40% от 55%:
$0,40 \times 55\% = 22\%$
Таким образом, девочки, которые учатся без троек, составляют 22% от общего числа всех учащихся в школе.

4. Находим общий процент учащихся, которые учатся без троек.
Чтобы найти общий процент учащихся без троек, нужно сложить проценты мальчиков и девочек, учащихся без троек, которые мы рассчитали относительно всей школы:
$13,5\% + 22\% = 35,5\%$

Ответ: 35,5% всех учащихся школы учатся без троек.

1099. В некотором царстве, в некотором государстве правительство приняло постановление о запрете рекламы спиртных напитков. Это постановление поддержало 69% всего взрослого населения, причём среди женщин 94%, а среди мужчин 41%. Определите, кого в этом царстве-государстве больше — мужчин или женщин и на сколько процентов.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это доля (часть) женщин во всем взрослом населении, а $y$ — доля мужчин. Так как взрослое население состоит только из мужчин и женщин, то их суммарная доля равна 1 (или 100%).

$x + y = 1$

Из этого уравнения можно выразить долю мужчин через долю женщин: $y = 1 - x$.

Теперь составим уравнение, используя данные о поддержке постановления. Общий процент поддержки (69%) является средневзвешенным значением процентов поддержки среди женщин (94%) и мужчин (41%), где весами выступают их доли в населении ($x$ и $y$).

Доля поддержавших женщин от всего населения: $0.94x$.

Доля поддержавших мужчин от всего населения: $0.41y$.

Суммарная доля поддержавших: $0.69$.

Получаем уравнение:

$0.94x + 0.41y = 0.69$

Подставим в это уравнение выражение для $y$ ($y = 1-x$):

$0.94x + 0.41(1 - x) = 0.69$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.94x + 0.41 - 0.41x = 0.69$

$(0.94 - 0.41)x = 0.69 - 0.41$

$0.53x = 0.28$

$x = \frac{0.28}{0.53} = \frac{28}{53}$

Таким образом, доля женщин в населении составляет $\frac{28}{53}$.

Теперь найдем долю мужчин:

$y = 1 - x = 1 - \frac{28}{53} = \frac{53 - 28}{53} = \frac{25}{53}$

Сравним доли женщин и мужчин: $x = \frac{28}{53}$ и $y = \frac{25}{53}$.

Так как $\frac{28}{53} > \frac{25}{53}$, то женщин в этом царстве-государстве больше, чем мужчин.

Чтобы определить, на сколько процентов женщин больше, найдем разницу их долей и выразим ее в процентах:

Разница = $(x - y) \times 100\% = \left(\frac{28}{53} - \frac{25}{53}\right) \times 100\% = \frac{3}{53} \times 100\%$

Вычислим значение:

$\frac{3}{53} \times 100\% \approx 0.0566 \times 100\% \approx 5,66\%$

Эта величина представляет собой разницу в процентных пунктах. То есть доля женщин в населении примерно на $5,66$ процентных пункта больше доли мужчин.

Ответ: в этом царстве-государстве женщин больше, чем мужчин. Женщин больше на $\frac{3}{53} \times 100\% \approx 5,66\%$.

1100. В некотором царстве, в некотором государстве правительство решило осуществить одну из двух мер: поднять зарплату всем гражданам на 20% или понизить цены на все товары на 20%.

a) Какая из двух мер выгоднее гражданам этого государства?

б) На сколько процентов повысилась бы покупательская способность граждан при одновременном введении этих мер?

а) Какая из двух мер выгоднее гражданам этого государства?

Чтобы определить, какая из мер выгоднее, нам нужно сравнить, как изменится покупательская способность граждан в каждом из двух сценариев. Покупательская способность — это количество товаров и услуг, которое можно приобрести на определенную сумму денег.

Введем обозначения:

• $S$ — первоначальная зарплата гражданина.
• $P$ — первоначальная цена единицы товара.

Тогда первоначальная покупательская способность ($K_0$), выраженная в количестве единиц товара, которые можно купить на зарплату, равна: $K_0 = \frac{S}{P}$

Случай 1: Повышение зарплаты на 20%

Новая зарплата $S_1$ составит $100\% + 20\% = 120\%$ от старой, то есть: $S_1 = S \cdot 1.2 = 1.2S$

Цена на товары $P_1$ остается без изменений: $P_1 = P$.

Новая покупательская способность $K_1$ будет: $K_1 = \frac{S_1}{P_1} = \frac{1.2S}{P} = 1.2 \cdot \frac{S}{P} = 1.2 K_0$

Это означает, что покупательская способность увеличится на $(1.2 - 1) \cdot 100\% = 20\%$.

Случай 2: Понижение цен на 20%

Зарплата $S_2$ остается без изменений: $S_2 = S$.

Новая цена $P_2$ составит $100\% - 20\% = 80\%$ от старой, то есть: $P_2 = P \cdot 0.8 = 0.8P$

Новая покупательская способность $K_2$ будет: $K_2 = \frac{S_2}{P_2} = \frac{S}{0.8P} = \frac{1}{0.8} \cdot \frac{S}{P} = 1.25 \cdot \frac{S}{P} = 1.25 K_0$

Это означает, что покупательская способность увеличится на $(1.25 - 1) \cdot 100\% = 25\%$.

Сравнивая два результата, $25\% > 20\%$, мы видим, что понижение цен на 20% является более выгодной мерой для граждан, так как оно приводит к большему росту их покупательской способности.

Ответ: Понижение цен на все товары на 20% выгоднее гражданам.

б) На сколько процентов повысилась бы покупательская способность граждан при одновременном введении этих мер?

Теперь рассмотрим ситуацию, когда правительство вводит обе меры одновременно. Мы используем те же начальные условия: зарплата $S$ и цена $P$.

Новая зарплата $S_{нов}$ после повышения на 20% будет: $S_{нов} = 1.2S$

Новая цена $P_{нов}$ после понижения на 20% будет: $P_{нов} = 0.8P$

Новая покупательская способность $K_{нов}$ при одновременном введении этих мер рассчитывается как отношение новой зарплаты к новой цене: $K_{нов} = \frac{S_{нов}}{P_{нов}} = \frac{1.2S}{0.8P} = \frac{1.2}{0.8} \cdot \frac{S}{P} = 1.5 \cdot \frac{S}{P} = 1.5 K_0$

Новая покупательская способность в 1.5 раза больше первоначальной. Чтобы найти, на сколько процентов она повысилась, вычислим разницу в процентах: $(1.5 - 1) \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: Покупательская способность повысилась бы на 50%.

1101. Половина дороги, соединяющей два горных селения, проходит по ровной местности. Автобус едет в гору всегда со скоростью 30 км/ч, на ровном участке — 50 км/ч, а под гору со скоростью 60 км/ч. Найдите расстояние между горными селениями, если путь туда и обратно без остановок занимает ровно 2 ч 15 мин.

Для решения этой задачи обозначим искомое расстояние между двумя горными селениями как $S$ (в км). Согласно условию, дорога состоит из двух равных частей: ровного участка и горного участка. Длина каждого из этих участков равна $S/2$.

Заданы следующие скорости движения автобуса:

• Скорость на ровном участке: $v_{ровно} = 50$ км/ч.
• Скорость в гору: $v_{в \ гору} = 30$ км/ч.
• Скорость под гору: $v_{под \ гору} = 60$ км/ч.

Путь "туда и обратно" состоит из четырех этапов:

1. Движение по ровному участку в одну сторону.
2. Движение по горному участку (например, в гору).
3. Движение по ровному участку в обратную сторону.
4. Движение по горному участку в обратную сторону (соответственно, под гору).

1. Выразим время, затраченное на каждый участок пути.

Общее время в пути $T$ складывается из времени движения на каждом участке. Используем формулу времени $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

• Время на ровном участке "туда и обратно": автобус проезжает расстояние $S/2$ со скоростью 50 км/ч дважды.
  $t_{ровно} = \frac{S/2}{v_{ровно}} + \frac{S/2}{v_{ровно}} = \frac{S/2}{50} + \frac{S/2}{50} = \frac{S}{50}$ ч.
• Время на горном участке "туда и обратно": автобус проезжает расстояние $S/2$ в гору со скоростью 30 км/ч и это же расстояние $S/2$ под гору со скоростью 60 км/ч.
  $t_{гора} = \frac{S/2}{v_{в \ гору}} + \frac{S/2}{v_{под \ гору}} = \frac{S/2}{30} + \frac{S/2}{60} = \frac{S}{60} + \frac{S}{120}$ ч.

2. Составим и решим уравнение.

Общее время в пути составляет 2 ч 15 мин. Переведем это время в часы:
$T = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{1}{4} \text{ ч} = 2.25 \text{ ч}.$

Сложим время, затраченное на все участки, и приравняем к общему времени:
$T = t_{ровно} + t_{гора}$
$2.25 = \frac{S}{50} + \left( \frac{S}{60} + \frac{S}{120} \right)$

Найдем общий знаменатель для дробей (50, 60, 120). Наименьшее общее кратное равно 600.
$2.25 = \frac{12 \cdot S}{600} + \frac{10 \cdot S}{600} + \frac{5 \cdot S}{600}$

Теперь сложим дроби:
$2.25 = \frac{12S + 10S + 5S}{600}$
$2.25 = \frac{27S}{600}$

Выразим $S$:
$S = \frac{2.25 \cdot 600}{27}$

Выполним вычисления:
$S = \frac{1350}{27}$
$S = 50$

Таким образом, расстояние между горными селениями составляет 50 км.

Ответ: 50 км.

1102. Пешеход вышел из пункта A в пункт B со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Через $2,4 \text{ ч}$ навстречу ему из пункта B в пункт A выехал велосипедист со скоростью $11 \text{ км/ч}$. Их встреча произошла ровно на полпути между этими пунктами. Каково расстояние между пунктами A и B?

Каково расстояние между пунктами А и В?

Обозначим искомое расстояние между пунктами A и B как $S$ в километрах. Поскольку встреча произошла ровно на полпути, каждый участник движения преодолел расстояние, равное $S/2$.

Пусть $t$ — время движения велосипедиста до встречи в часах. Скорость велосипедиста $v_в = 11$ км/ч. Пройденное им расстояние: $S/2 = v_в \cdot t = 11t$.

Пешеход вышел на 2,4 часа раньше, следовательно, его время в пути до встречи составило $t + 2,4$ часа. Скорость пешехода $v_п = 5$ км/ч. Пройденное им расстояние: $S/2 = v_п \cdot (t + 2.4) = 5(t + 2.4)$.

Так как оба они прошли одинаковое расстояние ($S/2$), мы можем приравнять выражения для этого расстояния:
$11t = 5(t + 2.4)$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:
$11t = 5t + 5 \cdot 2.4$
$11t = 5t + 12$
$11t - 5t = 12$
$6t = 12$
$t = 12 / 6 = 2$ часа.

Итак, велосипедист ехал до встречи 2 часа. Найдем расстояние, которое он проехал за это время (половину всего пути):
$S/2 = 11 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 22$ км.

Полное расстояние $S$ между пунктами А и В в два раза больше:
$S = 22 \cdot 2 = 44$ км.

Ответ: 44 км.