Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1019. Имеющихся на складе материалов хватит для работы первого цеха на 30 дней или второго цеха на 42 дня. Хватит ли имеющихся на складе материалов для работы двух цехов в течение 18 дней?

Для решения задачи примем весь имеющийся на складе запас материалов за 1 (единицу). Исходя из условия, первый цех за один день расходует $ \frac{1}{30} $ часть всех материалов, а второй цех — $ \frac{1}{42} $ часть.

Чтобы узнать, какую часть материалов цеха расходуют вместе за один день, сложим их дневные нормы расхода. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 30 и 42 равно 210. $ \frac{1}{30} + \frac{1}{42} = \frac{1 \cdot 7}{30 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \frac{7}{210} + \frac{5}{210} = \frac{12}{210} $

Сократим полученную дробь: $ \frac{12 \div 6}{210 \div 6} = \frac{2}{35} $. Таким образом, при совместной работе оба цеха в день расходуют $ \frac{2}{35} $ часть всех материалов.

Теперь вычислим, какая часть материалов потребуется для работы двух цехов в течение 18 дней. Для этого умножим их совместный дневной расход на количество дней: $ \frac{2}{35} \cdot 18 = \frac{36}{35} $

Сравним полученное значение с общим запасом материалов (1). $ \frac{36}{35} = 1\frac{1}{35} $

Так как $ 1\frac{1}{35} > 1 $, то для 18 дней совместной работы потребуется больше материалов, чем есть на складе.

Ответ: нет, не хватит.

1020. Первая бригада, работая отдельно, может выполнить задание за 3 дня, а вместе со второй бригадой — за 2 дня. За сколько дней вторая бригада может выполнить то же задание, работая отдельно?

Для решения этой задачи примем всю работу за 1 (единицу).

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за день).

1. Найдем производительность первой бригады. Так как она выполняет всю работу за 3 дня, ее производительность $P_1$ составляет:
$P_1 = \frac{1}{3}$ (работы в день).

2. Найдем совместную производительность двух бригад. Вместе они выполняют работу за 2 дня, следовательно, их общая производительность $P_{общ}$ равна:
$P_{общ} = \frac{1}{2}$ (работы в день).

3. Совместная производительность равна сумме производительностей каждой бригады: $P_{общ} = P_1 + P_2$, где $P_2$ — производительность второй бригады. Чтобы найти производительность второй бригады, вычтем из общей производительности производительность первой бригады:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю (6) и выполним вычитание:
$P_2 = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$ (работы в день).

5. Теперь, зная производительность второй бригады ($P_2 = \frac{1}{6}$), найдем время $t_2$, за которое она сможет выполнить всю работу самостоятельно. Время вычисляется как отношение всей работы к производительности:
$t_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 1 \cdot 6 = 6$ (дней).

Ответ: вторая бригада может выполнить то же задание за 6 дней, работая отдельно.

1021. Задача Д.Пойу.

Том может выполнить работу за 3 ч, Дик — за 4 ч, а Гарри — за 6 ч. За какое время они могут выполнить эту работу, делая её вместе (предполагается при этом, что они не мешают друг другу)?

Для решения этой задачи необходимо найти производительность каждого работника, а затем их общую производительность. Примем всю работу за 1 (одну целую).

1. Определим производительность каждого работника.

Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Том выполняет всю работу за 3 часа, значит его производительность $P_Т$ равна: $P_Т = \frac{1}{3}$ работы в час.
• Дик выполняет всю работу за 4 часа, его производительность $P_Д$ равна: $P_Д = \frac{1}{4}$ работы в час.
• Гарри выполняет всю работу за 6 часов, его производительность $P_Г$ равна: $P_Г = \frac{1}{6}$ работы в час.

2. Найдем общую производительность.

Когда они работают вместе, их производительности складываются (согласно условию, они не мешают друг другу). Общая производительность $P_{общ}$ будет суммой их индивидуальных производительностей:

$P_{общ} = P_Т + P_Д + P_Г = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 6 равно 12.

$P_{общ} = \frac{1 \cdot 4}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 2}{12} = \frac{4+3+2}{12} = \frac{9}{12}$

Сократим полученную дробь:

$P_{общ} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$ работы в час.

Таким образом, работая вместе, они выполняют $\frac{3}{4}$ всей работы за один час.

3. Найдем общее время выполнения работы.

Время $t$, необходимое для выполнения всей работы, можно найти, разделив объем работы (1) на общую производительность $P_{общ}$:

$t = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$ часа.

Переведем результат в более привычный формат. $\frac{4}{3}$ часа — это $1 \frac{1}{3}$ часа.Поскольку в одном часе 60 минут, то $\frac{1}{3}$ часа составляет $60 \cdot \frac{1}{3} = 20$ минут.

Следовательно, на выполнение всей работы вместе им потребуется 1 час 20 минут.

Ответ: они могут выполнить эту работу вместе за $\frac{4}{3}$ часа, или за 1 час 20 минут.

1022. Разделите число $a$ в отношении $2 : 3$, если:

а) $a = 200$;

б) $a = 355$.

Чтобы разделить число a в заданном отношении, необходимо сначала найти общее количество "частей" в этом отношении. Затем разделить число на это количество частей, чтобы найти величину одной части. Наконец, умножить величину одной части на каждое из чисел в отношении, чтобы найти искомые числа.

Отношение, в котором нужно разделить число, равно 2 : 3.

1. Найдем общее количество частей: $2 + 3 = 5$.

а)

Нужно разделить число $a = 200$ в отношении 2 : 3.

1. Найдем величину одной части, разделив число 200 на общее количество частей (5):
$200 \div 5 = 40$.

2. Теперь найдем первое число, которое соответствует 2 частям:
$40 \times 2 = 80$.

3. Найдем второе число, которое соответствует 3 частям:
$40 \times 3 = 120$.

Проверим результат: сумма чисел $80 + 120 = 200$, а их отношение $80 : 120$ после сокращения на 40 дает $2 : 3$. Решение верное.

Ответ: 80 и 120.

б)

Нужно разделить число $a = 355$ в отношении 2 : 3.

1. Найдем величину одной части, разделив число 355 на общее количество частей (5):
$355 \div 5 = 71$.

2. Найдем первое число (2 части):
$71 \times 2 = 142$.

3. Найдем второе число (3 части):
$71 \times 3 = 213$.

Проверим результат: сумма чисел $142 + 213 = 355$, а их отношение $142 : 213$ после сокращения на 71 дает $2 : 3$. Решение верное.

Ответ: 142 и 213.

1023. Разделите число 777 в отношении $m : n$, если:

а) $m = 3$, $n = 4$;

б) $m = 6$, $n = 1$.

а) Чтобы разделить число 777 в отношении $m:n$, если $m=3$ и $n=4$, нужно разделить число 777 в отношении $3:4$.
1. Сначала найдем общее количество частей. Для этого сложим части отношения:
$3 + 4 = 7$ (частей).
2. Затем найдем, какое значение приходится на одну часть. Для этого разделим исходное число на общее количество частей:
$777 \div 7 = 111$.
3. Теперь найдем каждое из искомых чисел. Для этого умножим значение одной части на соответствующее количество частей:
Первое число: $111 \times 3 = 333$.
Второе число: $111 \times 4 = 444$.
Проверка: $333 + 444 = 777$.
Ответ: 333 и 444.

б) Чтобы разделить число 777 в отношении $m:n$, если $m=6$ и $n=1$, нужно разделить число 777 в отношении $6:1$.
1. Сначала найдем общее количество частей:
$6 + 1 = 7$ (частей).
2. Затем найдем значение одной части:
$777 \div 7 = 111$.
3. Теперь вычислим искомые числа:
Первое число: $111 \times 6 = 666$.
Второе число: $111 \times 1 = 111$.
Проверка: $666 + 111 = 777$.
Ответ: 666 и 111.

1024. Две сестры коллекционируют открытки. У старшей сестры в $n$ раз больше открыток, чем у младшей, а всего у них $m$ открыток. Сколько открыток у каждой, если:

а) $n = 3, m = 280$;

б) $n = 4, m = 395$?

Для решения задачи обозначим количество открыток у младшей сестры за $x$. Тогда у старшей сестры, у которой в $n$ раз больше открыток, будет $n \cdot x$ открыток. Общее количество открыток у обеих сестер равно $m$. Таким образом, мы можем составить общее уравнение:

$x + n \cdot x = m$

Теперь решим задачу для каждого случая, подставив заданные значения $n$ и $m$.

а) n = 3, m = 280;

Пусть у младшей сестры $x$ открыток. Тогда у старшей сестры $3x$ открыток. Всего у них 280 открыток. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 280$

$4x = 280$

$x = 280 / 4$

$x = 70$

Таким образом, у младшей сестры 70 открыток. Найдем, сколько открыток у старшей сестры:

$3 \cdot 70 = 210$ (открыток).

Проверка: $70 + 210 = 280$.

Ответ: у младшей сестры 70 открыток, а у старшей — 210 открыток.

б) n = 4, m = 395;

Пусть у младшей сестры $x$ открыток. Тогда у старшей сестры $4x$ открыток. Всего у них 395 открыток. Составим и решим уравнение:

$x + 4x = 395$

$5x = 395$

$x = 395 / 5$

$x = 79$

Таким образом, у младшей сестры 79 открыток. Найдем, сколько открыток у старшей сестры:

$4 \cdot 79 = 316$ (открыток).

Проверка: $79 + 316 = 395$.

Ответ: у младшей сестры 79 открыток, а у старшей — 316 открыток.

1025. В магазин привезли $m$ кг арбузов и дынь. Масса арбузов была в $n$ раз больше массы дынь. Какова масса дынь, если $m = 600$, $n = 3$?

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса дынь равна $x$ кг.

Согласно условию, масса арбузов была в $n$ раз больше массы дынь. Так как дано, что $n = 3$, то масса арбузов составляет $3 \cdot x = 3x$ кг.

Общая масса арбузов и дынь равна $m$, что по условию составляет 600 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массу дынь и массу арбузов:

$x + 3x = m$

Подставим известное значение $m = 600$ в уравнение:

$x + 3x = 600$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$4x = 600$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{600}{4}$

$x = 150$

Следовательно, масса дынь составляет 150 кг.

Для проверки можно найти массу арбузов: $3 \cdot 150 = 450$ кг. Тогда общая масса будет $150 + 450 = 600$ кг, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 150 кг.

1026. а) Вася решил в 3 раза больше задач, чем Петя, а Петя решил на 12 задач меньше, чем Вася. Сколько задач решил каждый?

б) Вера выучила в $n$ раз меньше стихотворений, чем Поля, а Поля выучила на 6 стихотворений больше, чем Вера. Сколько стихотворений выучила каждая девочка, если $n = 3, 4, 7$?

а)

Обозначим количество задач, которые решил Петя, за $x$.

Из условия известно, что Вася решил в 3 раза больше задач, чем Петя. Следовательно, Вася решил $3x$ задач.

Также в условии сказано, что Петя решил на 12 задач меньше, чем Вася. Это значит, что разница между количеством задач Васи и Пети равна 12. Составим уравнение:

$3x - x = 12$

Решим полученное уравнение:

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, Петя решил 6 задач.

Теперь найдем, сколько задач решил Вася:

$3x = 3 \cdot 6 = 18$

Вася решил 18 задач.

Проверим: $18$ задач (Вася) в 3 раза больше, чем $6$ задач (Петя). Разница составляет $18 - 6 = 12$ задач, что соответствует условию.

Ответ: Петя решил 6 задач, Вася решил 18 задач.

б)

Обозначим количество стихотворений, которые выучила Вера, за $x$.

Из условия известно, что Вера выучила в $n$ раз меньше стихотворений, чем Поля. Это означает, что Поля выучила в $n$ раз больше, то есть $nx$ стихотворений.

Также сказано, что Поля выучила на 6 стихотворений больше, чем Вера. Составим уравнение, выражающее разницу:

$nx - x = 6$

Вынесем $x$ за скобки, чтобы найти общее решение для $x$:

$x(n-1) = 6$

$x = \frac{6}{n-1}$

Теперь, используя эту формулу, найдем количество стихотворений для каждого значения $n$.

1. При $n=3$:

Количество стихотворений, которые выучила Вера: $x = \frac{6}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ стихотворения.

Количество стихотворений, которые выучила Поля: $nx = 3 \cdot 3 = 9$ стихотворений.

(Проверка: $9 - 3 = 6$)

2. При $n=4$:

Количество стихотворений, которые выучила Вера: $x = \frac{6}{4-1} = \frac{6}{3} = 2$ стихотворения.

Количество стихотворений, которые выучила Поля: $nx = 4 \cdot 2 = 8$ стихотворений.

(Проверка: $8 - 2 = 6$)

3. При $n=7$:

Количество стихотворений, которые выучила Вера: $x = \frac{6}{7-1} = \frac{6}{6} = 1$ стихотворение.

Количество стихотворений, которые выучила Поля: $nx = 7 \cdot 1 = 7$ стихотворений.

(Проверка: $7 - 1 = 6$)

Ответ: если $n=3$, то Вера выучила 3 стихотворения, а Поля – 9; если $n=4$, то Вера выучила 2 стихотворения, а Поля – 8; если $n=7$, то Вера выучила 1 стихотворение, а Поля – 7.

1027. Поезд прошёл расстояние $AB$ за $t$ ч со скоростью $v$ км/ч. С какой скоростью должен был бы идти поезд, чтобы прийти в $B$ на $a$ часов раньше, если:

а) $t = 5, v = 80, a = 1;$

б) $t = 6, v = 60, a = 2?$

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей расстояние ($S$), скорость ($v$) и время ($t$): $S = v \cdot t$.

Сначала определим расстояние $AB$, которое проехал поезд. Затем вычислим новое время, за которое он должен был бы пройти это расстояние. Наконец, зная расстояние и новое время, найдем требуемую скорость.

а)

По условию: первоначальное время $t = 5$ ч, первоначальная скорость $v = 80$ км/ч. Поезд должен прибыть на $a = 1$ час раньше.

1. Найдем расстояние $AB$:
$S = v \cdot t = 80 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 400$ км.

2. Найдем новое время в пути, $t_{новое}$. Оно должно быть на 1 час меньше первоначального:
$t_{новое} = t - a = 5 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 4$ ч.

3. Рассчитаем новую скорость, $v_{новая}$, необходимую для прохождения того же расстояния за новое время:
$v_{новая} = \frac{S}{t_{новое}} = \frac{400 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 100$ км/ч.

Ответ: 100 км/ч.

б)

По условию: первоначальное время $t = 6$ ч, первоначальная скорость $v = 60$ км/ч. Поезд должен прибыть на $a = 2$ часа раньше.

1. Найдем расстояние $AB$:
$S = v \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 360$ км.

2. Найдем новое время в пути, $t_{новое}$. Оно должно быть на 2 часа меньше первоначального:
$t_{новое} = t - a = 6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ ч.

3. Рассчитаем новую скорость, $v_{новая}$, необходимую для прохождения того же расстояния за новое время:
$v_{новая} = \frac{S}{t_{новое}} = \frac{360 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 90$ км/ч.

Ответ: 90 км/ч.

1028. Некоторую работу $a$ человек могут выполнить за $c$ дней. За сколько дней эту работу могут выполнить $b$ человек, если:

а) $a = 12, b = 15, c = 30$;

б) $a = 18, b = 20, c = 50$?

Для решения этой задачи используется принцип сохранения общего объема работы. Объем работы можно измерить в "человеко-днях". Это произведение количества работников на количество дней, которое они тратят на работу. Если $a$ человек выполняют работу за $c$ дней, то общий объем работы составляет $W = a \cdot c$ человеко-дней.

Когда эту же работу выполняет другое количество человек, $b$, за искомое количество дней, $x$, общий объем работы остается прежним: $W = b \cdot x$.

Поскольку объем работы в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять эти два выражения:
$a \cdot c = b \cdot x$

Из этого соотношения можно выразить искомое количество дней $x$:
$x = \frac{a \cdot c}{b}$

Теперь решим задачу для каждого случая, подставляя данные значения.

а) Дано: $a = 12$ человек, $b = 15$ человек, $c = 30$ дней.
Найдем, за сколько дней $x$ работу выполнят 15 человек.
Подставим значения в формулу:
$x = \frac{12 \cdot 30}{15}$
Сначала вычислим произведение в числителе: $12 \cdot 30 = 360$.
Теперь разделим полученное значение на 15:
$x = \frac{360}{15} = 24$ дня.
Ответ: 24 дня.

б) Дано: $a = 18$ человек, $b = 20$ человек, $c = 50$ дней.
Найдем, за сколько дней $x$ работу выполнят 20 человек.
Подставим значения в формулу:
$x = \frac{18 \cdot 50}{20}$
Сначала вычислим произведение в числителе: $18 \cdot 50 = 900$.
Теперь разделим полученное значение на 20:
$x = \frac{900}{20} = 45$ дней.
Ответ: 45 дней.

1029. Некоторую работу $a$ человек могут выполнить за $c$ дней. За сколько дней эту работу выполнят такие же работники, если их будет на $b$ человек меньше? Известно, что:

а) $a = 30, b = 10, c = 28;$

б) $a = 42, b = 7, c = 30.$

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем меньше работников, тем больше времени требуется для выполнения того же объема работы. Общий объем работы можно измерить в "человеко-днях". Он равен произведению количества человек на количество дней и остается постоянным.

а)
Дано: $a = 30$ человек, $c = 28$ дней, количество работников уменьшилось на $b = 10$ человек.
1. Вычислим общий объем работы в человеко-днях:
$W = a \cdot c = 30 \cdot 28 = 840$ человеко-дней.
2. Найдем новое количество работников. Их стало на $b$ меньше, чем было:
$a - b = 30 - 10 = 20$ работников.
3. Теперь найдем, за сколько дней 20 работников выполнят тот же объем работы. Для этого разделим общий объем работы на новое количество работников. Пусть $d$ — искомое количество дней.
$d = \frac{W}{a - b} = \frac{840}{20} = 42$ дня.
Ответ: 42 дня.

б)
Дано: $a = 42$ человека, $c = 30$ дней, количество работников уменьшилось на $b = 7$ человек.
1. Вычислим общий объем работы в человеко-днях:
$W = a \cdot c = 42 \cdot 30 = 1260$ человеко-дней.
2. Найдем новое количество работников:
$a - b = 42 - 7 = 35$ работников.
3. Найдем, за сколько дней 35 работников выполнят тот же объем работы. Пусть $d$ — искомое количество дней.
$d = \frac{W}{a - b} = \frac{1260}{35} = 36$ дней.
Ответ: 36 дней.