Страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1009. а) Найдите число, $ \frac{2}{5} $ которого равны $ \frac{3}{5} $ от 600.

б) Найдите число, 0,6 которого равны 0,1 от 120.

а)

Данная задача состоит из двух частей. Сначала нужно найти значение выражения "$\frac{3}{5}$ от 600", а затем найти исходное число, зная, что $\frac{2}{5}$ от него равны полученному значению.

1. Найдем, чему равны $\frac{3}{5}$ от числа 600. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь:

$ 600 \cdot \frac{3}{5} = \frac{600 \cdot 3}{5} = 120 \cdot 3 = 360 $

2. Теперь мы знаем, что $\frac{2}{5}$ искомого числа равны 360. Пусть искомое число это $x$. Тогда мы имеем уравнение:

$ \frac{2}{5}x = 360 $

Чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой части разделить на саму дробь:

$ x = 360 \div \frac{2}{5} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ x = 360 \cdot \frac{5}{2} = \frac{360 \cdot 5}{2} = 180 \cdot 5 = 900 $

Ответ: 900

б)

Решение этой задачи аналогично предыдущей. Сначала находим значение выражения "0,1 от 120", а затем искомое число.

1. Найдем, чему равны 0,1 от числа 120. Для этого умножим 120 на 0,1:

$ 120 \cdot 0,1 = 12 $

2. Теперь мы знаем, что 0,6 искомого числа равны 12. Пусть искомое число это $y$. Составим уравнение:

$ 0,6y = 12 $

Чтобы найти $y$, нужно 12 разделить на 0,6:

$ y = 12 \div 0,6 $

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в делителе, умножив и делимое, и делитель на 10:

$ y = \frac{12}{0,6} = \frac{120}{6} = 20 $

Ответ: 20

1010. а) Найдите 0,13 числа 400.

б) Найдите число, 0,3 которого равны 999.

а) Чтобы найти 0,13 от числа 400, нужно умножить число 400 на эту десятичную дробь.
Выполним вычисление:
$400 \times 0,13 = 52$
Также можно представить десятичную дробь 0,13 в виде обыкновенной дроби $ \frac{13}{100} $ и найти часть от числа:
$400 \times \frac{13}{100} = \frac{400 \times 13}{100} = 4 \times 13 = 52$
Ответ: 52

б) В этой задаче нам дано, что 0,3 некоторого числа равны 999. Обозначим искомое число за $x$. Тогда мы можем составить уравнение:
$0,3 \times x = 999$
Чтобы найти $x$ (целое число по его части), нужно известную часть (999) разделить на долю, которую она составляет (0,3).
Выполним деление:
$x = 999 \div 0,3$
Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом:
$x = 9990 \div 3 = 3330$
Ответ: 3330

1011. а) Найдите $13\%$ числа 40.
б) Найдите число, $12\%$ которого равны 24.
в) Сколько процентов числа 480 составляет число 360?

а) Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби, а затем умножить число на эту дробь. Один процент — это одна сотая часть, поэтому 13% — это 0,13.
Вычислим 13% от числа 40:
$40 \times \frac{13}{100} = 40 \times 0,13 = 5,2$
Ответ: 5,2.

б) Пусть искомое число — это $x$. По условию, 12% от этого числа равны 24. Представим 12% в виде десятичной дроби — это 0,12.
Составим и решим уравнение:
$x \times 0,12 = 24$
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (24) разделить на известный множитель (0,12):
$x = \frac{24}{0,12} = \frac{2400}{12} = 200$
Таким образом, искомое число — 200.
Ответ: 200.

в) Чтобы определить, сколько процентов число 360 составляет от числа 480, нужно составить отношение первого числа ко второму и умножить результат на 100%.
Составим отношение и вычислим:
$\frac{360}{480} \times 100\%$
Сначала сократим дробь $\frac{360}{480}$:
$\frac{360}{480} = \frac{36}{48} = \frac{3 \times 12}{4 \times 12} = \frac{3}{4}$
Теперь умножим полученную дробь на 100%:
$\frac{3}{4} \times 100\% = 0,75 \times 100\% = 75\%$
Ответ: 75%.

1012. a) Число 250 уменьшите на $\frac{2}{5}$ этого числа.

б) Число 300 увеличьте на $\frac{4}{15}$ этого числа.

а)

Чтобы уменьшить число 250 на $\frac{2}{5}$ этого числа, нужно сначала найти значение этой дроби от числа 250. Для этого умножим число на дробь:

$250 \cdot \frac{2}{5} = \frac{250 \cdot 2}{5}$

Сократим 250 и 5. $250 \div 5 = 50$.

$50 \cdot 2 = 100$

Итак, $\frac{2}{5}$ от 250 равно 100. Теперь уменьшим число 250 на 100:

$250 - 100 = 150$

Альтернативный способ: Если число уменьшается на $\frac{2}{5}$, то от него остается $1 - \frac{2}{5} = \frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Найдем $\frac{3}{5}$ от 250:

$250 \cdot \frac{3}{5} = 50 \cdot 3 = 150$

Ответ: 150

б)

Чтобы увеличить число 300 на $\frac{4}{15}$ этого числа, нужно сначала найти значение этой дроби от числа 300. Для этого умножим число на дробь:

$300 \cdot \frac{4}{15} = \frac{300 \cdot 4}{15}$

Сократим 300 и 15. $300 \div 15 = 20$.

$20 \cdot 4 = 80$

Итак, $\frac{4}{15}$ от 300 равно 80. Теперь увеличим число 300 на 80:

$300 + 80 = 380$

Альтернативный способ: Если число увеличивается на $\frac{4}{15}$, то новое число составит $1 + \frac{4}{15} = \frac{15}{15} + \frac{4}{15} = \frac{19}{15}$ от исходного. Найдем $\frac{19}{15}$ от 300:

$300 \cdot \frac{19}{15} = 20 \cdot 19 = 380$

Ответ: 380

1013. a) Число уменьшили на $ \frac{1}{9} $ этого числа и получили 80. Найдите число.

б) Число увеличили на $ \frac{3}{7} $ этого числа и получили 500. Найдите число.

а)

Обозначим искомое число через $x$.

Согласно условию, число $x$ уменьшили на $\frac{1}{9}$ этого же числа, то есть на $\frac{1}{9}x$. В результате получили 80. Составим и решим уравнение:

$x - \frac{1}{9}x = 80$

Чтобы вычесть дроби, приведем $x$ к знаменателю 9. Так как $x = 1 \cdot x = \frac{9}{9}x$, получаем:

$\frac{9}{9}x - \frac{1}{9}x = 80$

$\frac{8}{9}x = 80$

Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить 80 на дробь $\frac{8}{9}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$x = 80 \div \frac{8}{9} = 80 \cdot \frac{9}{8}$

$x = \frac{80 \cdot 9}{8}$

Сократим 80 и 8 на 8:

$x = 10 \cdot 9 = 90$

Таким образом, искомое число равно 90.

Ответ: 90.

б)

Обозначим искомое число через $y$.

Согласно условию, число $y$ увеличили на $\frac{3}{7}$ этого же числа, то есть на $\frac{3}{7}y$. В результате получили 500. Составим и решим уравнение:

$y + \frac{3}{7}y = 500$

Чтобы сложить дроби, приведем $y$ к знаменателю 7. Так как $y = 1 \cdot y = \frac{7}{7}y$, получаем:

$\frac{7}{7}y + \frac{3}{7}y = 500$

$\frac{10}{7}y = 500$

Теперь, чтобы найти $y$, нужно разделить 500 на дробь $\frac{10}{7}$:

$y = 500 \div \frac{10}{7} = 500 \cdot \frac{7}{10}$

$y = \frac{500 \cdot 7}{10}$

Сократим 500 и 10 на 10:

$y = 50 \cdot 7 = 350$

Таким образом, искомое число равно 350.

Ответ: 350.

1014. Сумма 12 000 р. увеличилась на вкладе в банке на 5%.

Какая сумма получилась?

Для решения этой задачи необходимо найти, на какую сумму в рублях увеличился вклад, и затем прибавить эту сумму к первоначальному вкладу.

Первоначальная сумма: 12 000 р.

Процент увеличения: 5%.

Способ 1: Нахождение суммы увеличения.

1. Сначала вычислим, сколько составляет 5% от 12 000 рублей. Для этого можно 12 000 разделить на 100, чтобы найти 1%, и затем умножить на 5.

$(12000 / 100) \cdot 5 = 120 \cdot 5 = 600$ рублей.

Это сумма, на которую увеличился вклад.

2. Теперь прибавим эту сумму к первоначальному вкладу, чтобы найти итоговую сумму.

$12000 + 600 = 12600$ рублей.

Способ 2: Использование множителя.

Первоначальная сумма составляет 100%. После увеличения на 5% итоговая сумма составит $100\% + 5\% = 105\%$ от начальной.

Чтобы найти 105% от числа, нужно умножить это число на 1.05 (поскольку $105\% = 105 / 100 = 1.05$).

$12000 \cdot 1.05 = 12600$ рублей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 12 600 р.

1015. В нашем классе 30 учащихся. В прошлом году $\frac{3}{5}$ класса учились на «4» и «5». В этом году число ребят, которые учатся на «4» и «5», увеличилось на $\frac{1}{9}$. Сколько ребят теперь учатся на «4» и «5»?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала мы найдем, сколько учеников училось на «4» и «5» в прошлом году, а затем вычислим, сколько их стало в этом году.

1. Найдем число ребят, которые учились на «4» и «5» в прошлом году. В классе 30 учащихся, и $\frac{3}{5}$ из них учились на «4» и «5». Чтобы найти эту часть от общего числа, нужно умножить общее число на дробь:

$30 \times \frac{3}{5} = \frac{30 \times 3}{5} = \frac{90}{5} = 18$ (учеников).

Итак, в прошлом году 18 учеников учились на «4» и «5».

2. В этом году число таких ребят увеличилось на $\frac{1}{9}$ от прошлогоднего количества. Найдем, на сколько именно учеников увеличилось их число. Для этого умножим количество учеников прошлого года на $\frac{1}{9}$:

$18 \times \frac{1}{9} = \frac{18 \times 1}{9} = \frac{18}{9} = 2$ (ученика).

3. Теперь найдем, сколько всего ребят учатся на «4» и «5» в этом году. Для этого к числу хорошистов и отличников прошлого года прибавим увеличение:

$18 + 2 = 20$ (учеников).

Ответ: теперь на «4» и «5» учатся 20 ребят.

1016. а) Через первую трубу бассейн наполняется за 12 ч, через вторую трубу — за 24 ч. За сколько часов бассейн наполнится через обе эти трубы?

б) Первая бригада может выполнить задание за 36 дней, а вторая — за 45 дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, работая вместе?

а)

Это задача на совместную работу. Для ее решения необходимо найти производительность каждой трубы (какую часть бассейна они наполняют за единицу времени), затем сложить их производительности, чтобы найти общую, и после этого вычислить общее время.

1. Примем весь объем бассейна за 1.

2. Производительность первой трубы составляет $1/12$ часть бассейна в час.

3. Производительность второй трубы составляет $1/24$ часть бассейна в час.

4. Найдем общую производительность двух труб при совместной работе. Для этого сложим их индивидуальные производительности: $P_{общ} = 1/12 + 1/24$

5. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 24: $1/12 + 1/24 = 2/24 + 1/24 = 3/24$

6. Сократим полученную дробь: $3/24 = 1/8$ Таким образом, работая вместе, две трубы за 1 час наполняют $1/8$ часть бассейна.

7. Чтобы найти время, за которое наполнится весь бассейн (1), нужно разделить объем на общую производительность: $T = 1 / (1/8) = 8$ часов.

Ответ: бассейн наполнится через обе эти трубы за 8 часов.

б)

Эта задача также решается через нахождение производительности и их сложение, как и предыдущая.

1. Примем все задание за 1.

2. Производительность первой бригады составляет $1/36$ часть задания в день.

3. Производительность второй бригады составляет $1/45$ часть задания в день.

4. Найдем общую производительность двух бригад при совместной работе: $P_{общ} = 1/36 + 1/45$

5. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 36 и 45. $36 = 2^2 \cdot 3^2$
$45 = 3^2 \cdot 5$
НОК(36, 45) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Приведем дроби к общему знаменателю 180: $1/36 + 1/45 = 5/180 + 4/180 = 9/180$

6. Сократим результат: $9/180 = 1/20$ Это означает, что работая вместе, две бригады за 1 день выполняют $1/20$ часть всего задания.

7. Теперь найдем общее время, разделив всю работу (1) на общую производительность: $T = 1 / (1/20) = 20$ дней.

Ответ: две бригады выполнят задание, работая вместе, за 20 дней.

1017. а) Два велосипедиста одновременно отправились навстречу друг другу из двух сёл. Первый мог бы проехать расстояние между сёлами за 30 мин, второй — за 45 мин. Через сколько минут они встретятся?

б) Пешеход может пройти расстояние между двумя сёлами за 6 ч, а велосипедист может проехать это расстояние за 3 ч. Через сколько часов они встретятся, если отправятся одновременно из этих сёл навстречу друг другу?

а)

Для решения задачи примем все расстояние между сёлами за 1 (единицу).
Скорость (или производительность) первого велосипедиста составляет $\frac{1}{30}$ всего расстояния в минуту, так как он проезжает весь путь за 30 минут.
Скорость второго велосипедиста составляет $\frac{1}{45}$ всего расстояния в минуту, так как он проезжает весь путь за 45 минут.
Когда велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:
$v_{сближения} = v_1 + v_2 = \frac{1}{30} + \frac{1}{45}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 30 и 45 равен 90.
$v_{сближения} = \frac{3}{90} + \frac{2}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$
Таким образом, за одну минуту велосипедисты вместе проезжают $\frac{1}{18}$ всего расстояния.
Чтобы найти время, через которое они встретятся, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{1}{v_{сближения}} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 1 \cdot 18 = 18$ минут.
Ответ: через 18 минут.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Примем расстояние между сёлами за 1 (единицу).
Скорость пешехода равна $\frac{1}{6}$ всего расстояния в час.
Скорость велосипедиста равна $\frac{1}{3}$ всего расстояния в час.
Найдем их скорость сближения, сложив их скорости:
$v_{сближения} = v_{пешехода} + v_{велосипедиста} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$v_{сближения} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
Это означает, что за один час пешеход и велосипедист вместе преодолевают половину ($\frac{1}{2}$) всего расстояния.
Чтобы найти время до встречи, нужно все расстояние (1) разделить на скорость сближения:
$t_{встречи} = \frac{1}{v_{сближения}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2$ часа.
Ответ: через 2 часа.

1018. Один мастер может выполнить заказ за 2,4 ч, а другой — за 4 ч. За сколько часов они выполнят заказ при совместной работе?

Для решения задачи необходимо определить производительность каждого мастера, то есть какую часть заказа каждый из них выполняет за один час. Весь заказ примем за 1 (одну целую).

1. Производительность первого мастера. Он выполняет весь заказ за 2,4 часа. Его производительность $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{1}{2,4} = \frac{1}{\frac{24}{10}} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ заказа в час.

2. Производительность второго мастера. Он выполняет весь заказ за 4 часа. Его производительность $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{1}{4}$ заказа в час.

3. При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность $P_{общ}$:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{5}{12} + \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$P_{общ} = \frac{5}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ заказа в час.

4. Чтобы найти время $T_{общ}$, за которое мастера выполнят заказ при совместной работе, нужно весь объем работы (1) разделить на их общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = 1,5$ часа.

Ответ: 1,5 ч.