Страница 259 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1041. Из города вышел пешеход со скоростью $a$ км/ч, через $t$ ч вслед за ним вышел второй пешеход со скоростью $b$ км/ч. Через сколько часов после своего выхода второй пешеход догонит первого, если:

а) $a = 5, b = 6, t = 3$;

б) $a = 4, b = 6, t = 4$?

Для решения этой задачи используется понятие скорости сближения. Сначала нужно найти, какое расстояние успел пройти первый пешеход до того, как вышел второй. Это расстояние и будет начальной дистанцией между ними. Затем нужно найти скорость, с которой второй пешеход догоняет первого (скорость сближения), которая равна разности их скоростей. Время, через которое второй догонит первого, равно начальной дистанции, поделенной на скорость сближения.

Пусть $a$ — скорость первого пешехода, $b$ — скорость второго, $t$ — время, которое первый был в пути до выхода второго. Искомое время $T$ можно найти по формуле: $T = \frac{a \cdot t}{b - a}$.

а) Дано: $a = 5$ км/ч, $b = 6$ км/ч, $t = 3$ ч.

1. Найдем расстояние, которое прошел первый пешеход за 3 часа. Это будет фора, которую он имел перед вторым.

$S_{форы} = a \cdot t = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15$ км.

2. Найдем скорость сближения. Так как второй пешеход движется быстрее, он догоняет первого. Скорость сближения равна разности их скоростей.

$v_{сбл} = b - a = 6 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 1$ км/ч.

3. Теперь найдем время, которое потребуется второму пешеходу, чтобы преодолеть начальное расстояние в 15 км со скоростью сближения 1 км/ч.

$T = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{15 \text{ км}}{1 \text{ км/ч}} = 15$ ч.

Ответ: 15 часов.

б) Дано: $a = 4$ км/ч, $b = 6$ км/ч, $t = 4$ ч.

1. Найдем расстояние, которое прошел первый пешеход за 4 часа до выхода второго.

$S_{форы} = a \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 16$ км.

2. Найдем скорость сближения пешеходов.

$v_{сбл} = b - a = 6 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

3. Найдем время, за которое второй пешеход догонит первого.

$T = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{16 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 8$ ч.

Ответ: 8 часов.

1042. Поезд из пункта $A$ в пункт $B$ шёл $t$ ч со скоростью $v$ км/ч. За сколько часов он пройдёт расстояние $AB$, увеличив скорость на $a$ км/ч, если:

а) $t = 3, v = 60, a = 30$;

б) $t = 4, v = 75, a = 25$?

а)
1. Сначала найдем расстояние $S$ между пунктами А и В. Расстояние является произведением скорости $v$ на время $t$.
$S = v \cdot t$
Подставим в формулу значения из условия: $t=3$ ч, $v=60$ км/ч.
$S = 60 \cdot 3 = 180$ км.
2. Теперь найдем новую скорость поезда. По условию, она увеличилась на $a = 30$ км/ч.
$v_{новая} = v + a = 60 + 30 = 90$ км/ч.
3. Наконец, вычислим время, которое потребуется поезду, чтобы пройти то же расстояние $S$ с новой скоростью.
$t_{новое} = \frac{S}{v_{новая}} = \frac{180}{90} = 2$ ч.
Ответ: 2 часа.

б)
1. Аналогично пункту а), найдем расстояние $S$ для новых условий.
Подставим в формулу $S = v \cdot t$ значения: $t=4$ ч, $v=75$ км/ч.
$S = 75 \cdot 4 = 300$ км.
2. Теперь найдем новую скорость поезда. Она увеличилась на $a = 25$ км/ч.
$v_{новая} = v + a = 75 + 25 = 100$ км/ч.
3. Вычислим время, которое потребуется поезду, чтобы пройти расстояние $S$ с новой скоростью.
$t_{новое} = \frac{S}{v_{новая}} = \frac{300}{100} = 3$ ч.
Ответ: 3 часа.

1043. Два пешехода вышли из одного пункта одновременно в одном направлении со скоростями 4,5 км/ч и 6 км/ч. Какое расстояние будет между ними через $t$ ч, если:

а) $t = 2$;

б) $t = 3,2$;

в) $t = 2,4$?

Для того чтобы найти расстояние между двумя пешеходами, движущимися в одном направлении из одного пункта, необходимо сначала найти их скорость удаления. Скорость удаления вычисляется как разность их скоростей. Затем, умножив скорость удаления на время в пути, мы получим искомое расстояние.

Скорость первого пешехода $v_1 = 4,5$ км/ч.

Скорость второго пешехода $v_2 = 6$ км/ч.

1. Найдем скорость удаления ($v_{уд}$), которая показывает, на сколько километров расстояние между пешеходами увеличивается каждый час:

$v_{уд} = v_2 - v_1 = 6 \text{ км/ч} - 4,5 \text{ км/ч} = 1,5$ км/ч.

2. Теперь найдем расстояние ($S$) между пешеходами для каждого значения времени $t$ по формуле $S = v_{уд} \times t$.

а) если $t = 2$ ч:

$S = 1,5 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 3$ км.

Ответ: 3 км.

б) если $t = 3,2$ ч:

$S = 1,5 \text{ км/ч} \times 3,2 \text{ ч} = 4,8$ км.

Ответ: 4,8 км.

в) если $t = 2,4$ ч:

$S = 1,5 \text{ км/ч} \times 2,4 \text{ ч} = 3,6$ км.

Ответ: 3,6 км.

1044. Из города А выехала грузовая машина со скоростью 60 км/ч. Через $t$ ч вслед за ней из того же города выехала легковая машина со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов легковая машина догонит грузовую, если:

a) $t = 2$;

б) $t = 2,5$;

в) $t = 3,4$?

Для решения задачи воспользуемся понятием скорости сближения. Скорость грузовой машины $v_1 = 60$ км/ч, а скорость легковой машины $v_2 = 80$ км/ч.

Поскольку легковая машина выезжает на $t$ часов позже, к моменту ее старта грузовая машина уже успевает отъехать на некоторое расстояние. Это расстояние (фора) равно: $S_ф = v_1 \cdot t = 60t$ км.

Легковая машина движется быстрее, поэтому она будет догонять грузовую. Скорость, с которой сокращается расстояние между ними (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{сбл} = v_2 - v_1 = 80 - 60 = 20$ км/ч.

Время $T$, которое потребуется легковой машине, чтобы догнать грузовую, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на скорость сближения: $T = \frac{S_ф}{v_{сбл}} = \frac{60t}{20} = 3t$. Это общая формула для решения задачи. Теперь подставим в нее конкретные значения $t$ из каждого пункта.

а) При $t = 2$ ч, время погони составит:
$T = 3 \cdot 2 = 6$ ч.
Ответ: 6 часов.

б) При $t = 2,5$ ч, время погони составит:
$T = 3 \cdot 2,5 = 7,5$ ч.
Ответ: 7,5 часов.

в) При $t = 3,4$ ч, время погони составит:
$T = 3 \cdot 3,4 = 10,2$ ч.
Ответ: 10,2 часа.

1045. Старинная задача. Взрослому работнику платят в неделю $a$ р., а мальчику — на $b$ р. меньше. Сколько заработали они вместе, если первый работал $a$ недель, а второй — $b$ недель, при:

а) $a = 5, b = 3$;

б) $a = 6, b = 4$?

Для решения задачи сначала определим заработок каждого работника, а затем сложим их.

Заработок взрослого работника в неделю составляет $a$ р. Он работал $a$ недель, следовательно, его общий заработок равен $a \times a = a^2$ р.

Заработок мальчика в неделю на $b$ р. меньше, чем у взрослого, то есть $a - b$ р. Он работал $b$ недель, следовательно, его общий заработок равен $(a - b) \times b$ р.

Общий заработок обоих работников равен сумме их заработков: $S = a^2 + (a - b) \times b$.

а) Подставим значения $a = 5$ и $b = 3$:

1. Заработок взрослого в неделю: $a = 5$ р.

2. Заработок мальчика в неделю: $a - b = 5 - 3 = 2$ р.

3. Общий заработок взрослого за $a = 5$ недель: $5 \times 5 = 25$ р.

4. Общий заработок мальчика за $b = 3$ недели: $2 \times 3 = 6$ р.

5. Всего они заработали вместе: $25 + 6 = 31$ р.

Ответ: 31 р.

б) Подставим значения $a = 6$ и $b = 4$:

1. Заработок взрослого в неделю: $a = 6$ р.

2. Заработок мальчика в неделю: $a - b = 6 - 4 = 2$ р.

3. Общий заработок взрослого за $a = 6$ недель: $6 \times 6 = 36$ р.

4. Общий заработок мальчика за $b = 4$ недели: $2 \times 4 = 8$ р.

5. Всего они заработали вместе: $36 + 8 = 44$ р.

Ответ: 44 р.

1046. Старинная задача. Купец купил $b$ пудов товара за $c$ р., а продал каждый пуд за $a$ р. Сколько прибыли он получил, если:

а) $a = 3, b = 20, c = 50;$

б) $a = 0,84, b = 25, c = 18,6?$

Для решения задачи необходимо найти разницу между общей выручкой от продажи товара и затратами на его покупку. Это и будет прибыль.

Общие затраты на покупку $b$ пудов товара составляют $c$ рублей.

Общая выручка от продажи товара вычисляется как произведение цены одного пуда ($a$ рублей) на количество пудов ($b$).

Таким образом, формула для расчета прибыли (П) имеет вид:

$П = (a \cdot b) - c$

а)

Подставим в формулу значения $a = 3$, $b = 20$ и $c = 50$.

1. Сначала вычислим общую выручку от продажи 20 пудов товара по 3 рубля за пуд:

Выручка = $a \cdot b = 3 \cdot 20 = 60$ (рублей).

2. Теперь вычтем из выручки затраты на покупку, которые составили 50 рублей:

Прибыль = $60 - 50 = 10$ (рублей).

Ответ: 10 рублей.

б)

Подставим в формулу значения $a = 0,84$, $b = 25$ и $c = 18,6$.

1. Сначала вычислим общую выручку от продажи 25 пудов товара по 0,84 рубля за пуд:

Выручка = $a \cdot b = 0,84 \cdot 25 = 21$ (рубль).

2. Теперь вычтем из выручки затраты на покупку, которые составили 18,6 рублей:

Прибыль = $21 - 18,6 = 2,4$ (рубля).

Ответ: 2,4 рубля.

1047. Поезд за $t$ ч проходит $s$ км. Какой путь прошёл бы поезд за то же время при скорости, большей первоначальной на $a$ км/ч, если:

а) $a = 10, s = 210, t = 3;$

б) $a = 20, s = 240, t = 4?$

Для решения этой задачи необходимо сначала определить первоначальную скорость поезда. Затем найти новую, увеличенную скорость. После этого можно вычислить новый путь, который поезд проедет за то же время, но с новой скоростью.

Основная формула, связывающая путь ($s$), скорость ($v$) и время ($t$), выглядит так: $s = v \cdot t$. Из нее можно выразить скорость: $v = \frac{s}{t}$.

а)

Дано: $a = 10$ км/ч, $s = 210$ км, $t = 3$ ч.

1. Найдем первоначальную скорость поезда ($v_1$):

$v_1 = \frac{s}{t} = \frac{210}{3} = 70$ (км/ч).

2. Теперь найдем новую скорость ($v_2$), которая на $a$ км/ч больше первоначальной:

$v_2 = v_1 + a = 70 + 10 = 80$ (км/ч).

3. Вычислим новый путь ($s_2$), который поезд пройдет за то же время $t=3$ ч с новой скоростью $v_2$:

$s_2 = v_2 \cdot t = 80 \cdot 3 = 240$ (км).

Ответ: 240 км.

б)

Дано: $a = 20$ км/ч, $s = 240$ км, $t = 4$ ч.

1. Найдем первоначальную скорость поезда ($v_1$):

$v_1 = \frac{s}{t} = \frac{240}{4} = 60$ (км/ч).

2. Теперь найдем новую скорость ($v_2$), которая на $a$ км/ч больше первоначальной:

$v_2 = v_1 + a = 60 + 20 = 80$ (км/ч).

3. Вычислим новый путь ($s_2$), который поезд пройдет за то же время $t=4$ ч с новой скоростью $v_2$:

$s_2 = v_2 \cdot t = 80 \cdot 4 = 320$ (км).

Ответ: 320 км.

1048. Некто занял денег. Через месяц он вернул $a$ р., ещё через месяц $-$ $b$ р., выплатив за 2 месяца $\frac{1}{n}$ всей суммы. Сколько денег он ещё остался должен, если:

a) $a = 50, b = 40, n = 5$;

б) $a = 80, b = 30, n = 7$?

а)

1. Сначала найдем, какую сумму человек вернул за два месяца. Для этого сложим выплаты за первый и второй месяцы, используя значения $a = 50$ р. и $b = 40$ р.:
$a + b = 50 + 40 = 90$ р.

2. По условию, эта сумма (90 р.) составляет $\frac{1}{n}$ всей суммы долга, где $n = 5$. Значит, 90 р. — это $\frac{1}{5}$ от всего долга. Чтобы найти полную сумму долга (обозначим ее $S$), нужно выплаченную часть умножить на знаменатель $n$:
$S = 90 \cdot 5 = 450$ р.

3. Теперь, когда мы знаем полную сумму долга (450 р.) и сумму, которая уже выплачена (90 р.), мы можем найти остаток долга, вычтя одно из другого:
$450 - 90 = 360$ р.

Ответ: 360 р.

б)

1. Аналогично найдем, какую сумму человек вернул за два месяца, используя значения $a = 80$ р. и $b = 30$ р.:
$a + b = 80 + 30 = 110$ р.

2. Эта сумма составляет $\frac{1}{n}$ от всего долга, где $n = 7$. То есть, 110 р. — это $\frac{1}{7}$ от всего долга. Найдем полную сумму долга $S$:
$S = 110 \cdot 7 = 770$ р.

3. Найдем остаток долга, вычтя из полной суммы уже выплаченную часть:
$770 - 110 = 660$ р.

Ответ: 660 р.

1049. Некоторую работу $a$ человек могут выполнить за $c$ дней.

Сколько человек могут выполнить ту же работу за $d$ дней, если:

а) $a = 15, c = 12, d = 18;$

б) $a = 24, c = 27, d = 18?$

Эта задача на обратную пропорциональность. Общий объем работы постоянен. Он равен произведению количества работников на время, затраченное на работу. Если $a$ человек выполняют работу за $c$ дней, а искомое количество человек $x$ выполняют ту же работу за $d$ дней, то мы можем составить равенство:

$a \cdot c = x \cdot d$

Это равенство показывает, что объем работы, измеряемый в человеко-днях, остается неизменным. Из этой формулы мы можем выразить искомое количество человек $x$:

$x = \frac{a \cdot c}{d}$

Теперь, используя эту формулу, решим оба пункта задачи.

а)

В данном случае у нас есть следующие значения: $a = 15$ человек, $c = 12$ дней, $d = 18$ дней.

Подставляем эти значения в нашу формулу для нахождения $x$:

$x = \frac{15 \cdot 12}{18}$

Выполним вычисления. Сначала умножим числа в числителе:

$15 \cdot 12 = 180$

Теперь разделим полученный результат на знаменатель:

$x = \frac{180}{18} = 10$

Таким образом, для выполнения работы за 18 дней потребуется 10 человек.

Ответ: 10 человек.

б)

В данном случае у нас есть следующие значения: $a = 24$ человека, $c = 27$ дней, $d = 18$ дней.

Подставляем эти значения в формулу для нахождения $x$:

$x = \frac{24 \cdot 27}{18}$

Чтобы упростить вычисления, можно сократить дробь. Сократим числитель 24 и знаменатель 18 на их наибольший общий делитель, который равен 6:

$x = \frac{(24:6) \cdot 27}{(18:6)} = \frac{4 \cdot 27}{3}$

Теперь можно сократить 27 и 3 на 3:

$x = 4 \cdot (27:3) = 4 \cdot 9 = 36$

Таким образом, для выполнения работы за 18 дней потребуется 36 человек.

Ответ: 36 человек.