Страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1075. Рядовой Иванов может почистить котёл картошки за 4 ч, а рядовой Петров — за 6 ч. У рядового Иванова 10% картошки идёт в очистки, а у рядового Петрова — 15%. Однажды они сели вместе чистить котёл картошки. Сколько процентов картошки уйдёт в очистки при совместной работе?

Для решения этой задачи нужно определить, какую долю работы выполняет каждый рядовой при совместной чистке, и затем вычислить средневзвешенный процент очистков.

1. Найдем производительность каждого рядового.

Примем весь объём работы (один котёл картошки) за 1.

Производительность рядового Иванова ($P_И$) составляет: $P_И = \frac{1}{4}$ котла в час.

Производительность рядового Петрова ($P_П$) составляет: $P_П = \frac{1}{6}$ котла в час.

2. Найдем соотношение их вкладов в общую работу.

Когда они работают вместе, их вклад в общую работу пропорционален их производительности. Найдем отношение их производительностей:

$P_И : P_П = \frac{1}{4} : \frac{1}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 6), то есть на 12:

$(\frac{1}{4} \cdot 12) : (\frac{1}{6} \cdot 12) = 3 : 2$

Это означает, что за одно и то же время Иванов выполняет 3 части работы, а Петров — 2 части. Всего 5 частей ($3+2=5$).

3. Определим долю работы каждого.

Доля Иванова в общей работе составляет $\frac{3}{5}$ всего объёма.

Доля Петрова в общей работе составляет $\frac{2}{5}$ всего объёма.

4. Рассчитаем общий процент очистков.

Общий процент очистков будет равен сумме процентов очистков от каждого рядового, взвешенных по их доле в общей работе.

Очистки от Иванова: $10\%$ от его доли работы, т.е. $10\% \cdot \frac{3}{5}$.

Очистки от Петрова: $15\%$ от его доли работы, т.е. $15\% \cdot \frac{2}{5}$.

Суммарный процент очистков от всего котла:

$\frac{3}{5} \cdot 10\% + \frac{2}{5} \cdot 15\% = \frac{30}{5}\% + \frac{30}{5}\% = 6\% + 6\% = 12\%$

Ответ: При совместной работе в очистки уйдёт 12% картошки.

1076. Число уменьшили на $p\%$, полученное число уменьшили ещё раз на $q\%$. На сколько процентов уменьшили число, если:

а) $p = 20, q = 20$;

б) $p = 30, q = 40$?

Чтобы решить задачу, обозначим исходное число за $x$. Уменьшение числа на $p\%$ означает, что от числа останется $(100-p)\%$, то есть оно будет умножено на коэффициент $(1 - \frac{p}{100})$. Последовательное уменьшение на $p\%$, а затем на $q\%$ означает, что исходное число $x$ будет последовательно умножено на два коэффициента.

а) $p = 20, q = 20$

Пусть исходное число равно $x$. После первого уменьшения на 20% число станет равным: $x_1 = x \cdot (1 - \frac{20}{100}) = x \cdot 0.8 = 0.8x$.

Затем полученное число $x_1$ уменьшаем еще на 20%: $x_2 = x_1 \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 0.8x \cdot 0.8 = 0.64x$.

Конечное число $x_2$ составляет 0.64 от исходного числа $x$, то есть 64%. Чтобы найти, на сколько процентов уменьшилось исходное число, найдем разницу между 100% и 64%: $100\% - 64\% = 36\%$. Другой способ — найти абсолютное уменьшение $x - 0.64x = 0.36x$ и выразить его в процентах от исходного числа: $\frac{0.36x}{x} \times 100\% = 36\%$.

Ответ: на 36%.

б) $p = 30, q = 40$

Пусть исходное число равно $x$. После первого уменьшения на 30% число станет равным: $x_1 = x \cdot (1 - \frac{30}{100}) = x \cdot 0.7 = 0.7x$.

Затем полученное число $x_1$ уменьшаем еще на 40%: $x_2 = x_1 \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 0.7x \cdot 0.6 = 0.42x$.

Конечное число $x_2$ составляет 0.42 от исходного числа $x$, то есть 42%. Найдем общее уменьшение в процентах: $100\% - 42\% = 58\%$. Также можно вычислить через абсолютное уменьшение: $x - 0.42x = 0.58x$, что составляет $\frac{0.58x}{x} \times 100\% = 58\%$.

Ответ: на 58%.

1077. Трава при сушке теряет $p\%$ своей массы. Сколько сена получится из $m$ т свежей травы, если:

а) $p = 80, m = 6;$

б) $p = 75, m = 8?$

Для решения задачи нужно сначала определить, какой процент массы остается после сушки, а затем вычислить эту долю от начальной массы травы.
Оставшаяся масса в процентах вычисляется по формуле: $100\% - p\%$.
Масса сена ( $m_{сена}$ ) вычисляется по формуле: $m_{сена} = m \cdot \frac{100 - p}{100}$.

а) Дано: $p = 80$, $m = 6$ т.
1. Найдем, какой процент массы остается после сушки:
$100\% - 80\% = 20\%$
2. Теперь найдем, сколько это составляет от 6 тонн. Для этого нужно умножить массу травы на долю оставшейся массы:
$6 \cdot \frac{20}{100} = 6 \cdot 0,2 = 1,2$ т.
Ответ: 1,2 т сена.

б) Дано: $p = 75$, $m = 8$ т.
1. Найдем, какой процент массы остается после сушки:
$100\% - 75\% = 25\%$
2. Теперь найдем, сколько это составляет от 8 тонн.
$8 \cdot \frac{25}{100} = 8 \cdot 0,25 = 2$ т.
Ответ: 2 т сена.

1078. Виноград при сушке теряет $p\%$ своей массы. Сколько свежего винограда нужно взять, чтобы получить $n$ кг изюма (сушёного винограда), если:

а) $p = 75$, $n = 3$;

б) $p = 80$, $n = 5$?

Пусть $x$ кг — это начальная масса свежего винограда. При сушке виноград теряет $p\%$ своей массы, следовательно, масса оставшегося изюма составляет $(100 - p)\%$ от начальной массы. Масса изюма, $n$ кг, вычисляется как $x \cdot \frac{100 - p}{100}$. Отсюда можно выразить искомую массу свежего винограда: $x = \frac{n \cdot 100}{100 - p}$.

а) p = 75, n = 3

При сушке теряется $75\%$ массы, значит, в изюме остается $100\% - 75\% = 25\%$ от начальной массы свежего винограда. Пусть $x$ кг — это необходимая масса свежего винограда. Тогда масса полученного изюма составит $25\%$ от $x$, то есть $0,25x$ кг. Нам нужно получить $3$ кг изюма, поэтому составим уравнение: $0,25 \cdot x = 3$ $x = \frac{3}{0,25}$ $x = 12$ кг.
Ответ: 12 кг.

б) p = 80, n = 5

При сушке теряется $80\%$ массы, значит, в изюме остается $100\% - 80\% = 20\%$ от начальной массы свежего винограда. Пусть $x$ кг — это необходимая масса свежего винограда. Тогда масса полученного изюма составит $20\%$ от $x$, то есть $0,20x$ кг. Нам нужно получить $5$ кг изюма, поэтому составим уравнение: $0,20 \cdot x = 5$ $x = \frac{5}{0,20}$ $x = 25$ кг.
Ответ: 25 кг.

1079. На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на $p\%$. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

Пусть $S$ — расстояние на данном участке пути, $v_1$ — начальная скорость поезда, а $t_1$ — время, за которое поезд проходил этот участок с начальной скоростью.

Тогда верно равенство: $S = v_1 \cdot t_1$.

По условию, машинист уменьшил скорость поезда на $p\%$. Новая скорость $v_2$ будет равна:

$v_2 = v_1 - v_1 \cdot \frac{p}{100} = v_1 \left(1 - \frac{p}{100}\right) = v_1 \frac{100 - p}{100}$

Пусть $t_2$ — новое время, за которое поезд пройдет тот же участок $S$ с новой скоростью $v_2$.

Тогда $S = v_2 \cdot t_2$.

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части выражений:

$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$

Подставим в это равенство выражение для $v_2$:

$v_1 \cdot t_1 = \left(v_1 \frac{100 - p}{100}\right) \cdot t_2$

Сократим $v_1$ (так как $v_1 \neq 0$):

$t_1 = \frac{100 - p}{100} \cdot t_2$

Выразим новое время $t_2$ через начальное $t_1$:

$t_2 = t_1 \cdot \frac{100}{100 - p}$

Теперь найдем, на сколько процентов увеличилось время. Для этого найдем разницу между новым и старым временем и разделим ее на старое время, а затем умножим на 100%.

Процентное увеличение времени $= \frac{t_2 - t_1}{t_1} \cdot 100\%$

Подставим выражение для $t_2$:

$\frac{t_1 \cdot \frac{100}{100 - p} - t_1}{t_1} \cdot 100\% = \frac{t_1 \left(\frac{100}{100 - p} - 1\right)}{t_1} \cdot 100\%$

Сократим $t_1$ и приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\left(\frac{100 - (100 - p)}{100 - p}\right) \cdot 100\% = \left(\frac{100 - 100 + p}{100 - p}\right) \cdot 100\% = \frac{p}{100 - p} \cdot 100\%$

Таким образом, время движения увеличится на $\frac{100p}{100-p}\%$.

Ответ: $\frac{100p}{100-p}\%$

1080. Яблоки содержат $p\%$ воды, после сушки они содержат $q\%$ воды. Сколько сушёных яблок получится из $m$ кг свежих, если:

a) $p = 70, m = 30, q = 40;$

б) $p = 65, m = 80, q = 20?$

Основной принцип решения этой задачи заключается в том, что в процессе сушки из яблок испаряется только вода, а масса сухого вещества остается неизменной. Будем использовать этот факт для нахождения массы сушёных яблок.

а) Дано: $p = 70$, $m = 30$ кг, $q = 40$.

1. Сначала найдем, сколько сухого вещества содержится в $30$ кг свежих яблок. Если вода составляет $p=70\%$, то сухое вещество составляет $100\% - 70\% = 30\%$.
Масса сухого вещества в свежих яблоках: $30 \text{ кг} \cdot \frac{30}{100} = 30 \cdot 0.3 = 9$ кг.

2. После сушки масса сухого вещества осталась той же, то есть $9$ кг. В сушёных яблоках вода составляет $q=40\%$, значит, сухое вещество составляет $100\% - 40\% = 60\%$.

3. Теперь масса в $9$ кг составляет $60\%$ от новой общей массы сушёных яблок. Пусть $x$ – масса сушёных яблок. Тогда:
$x \cdot \frac{60}{100} = 9$
$x = \frac{9 \cdot 100}{60} = \frac{90}{6} = 15$ кг.

Ответ: 15 кг.

б) Дано: $p = 65$, $m = 80$ кг, $q = 20$.

1. Найдем массу сухого вещества в $80$ кг свежих яблок. Если вода составляет $p=65\%$, то сухое вещество составляет $100\% - 65\% = 35\%$.
Масса сухого вещества в свежих яблоках: $80 \text{ кг} \cdot \frac{35}{100} = 80 \cdot 0.35 = 28$ кг.

2. Эта масса сухого вещества ($28$ кг) сохраняется и в сушёных яблоках. В них вода составляет $q=20\%$, значит, сухое вещество составляет $100\% - 20\% = 80\%$.

3. Масса в $28$ кг составляет $80\%$ от новой общей массы сушёных яблок. Пусть $x$ – масса сушёных яблок. Тогда:
$x \cdot \frac{80}{100} = 28$
$x = \frac{28 \cdot 100}{80} = \frac{280}{8} = 35$ кг.

Ответ: 35 кг.

1081. Груши содержат $p\%$ воды, после сушки они содержат $q\%$ воды. Сколько свежих груш надо взять для получения $n$ кг сушёных, если:

а) $p = 70, n = 36, q = 20;$

б) $p = 65, n = 35, q = 25?$

Ключевой момент в решении задачи состоит в том, что в процессе сушки испаряется только вода, а масса сухого вещества (клетчатки, витаминов, сахаров и т.д.) остается неизменной. Решим задачу, основываясь на этом принципе.

а)

Дано: содержание воды в свежих грушах $p = 70\%$, в сушёных — $q = 20\%$. Требуется получить $n = 36$ кг сушёных груш.

1. Найдём массу сухого вещества в 36 кг сушёных груш.
Если в сушёных грушах 20% воды, то процент сухого вещества составляет:
$100\% - 20\% = 80\%$
Масса сухого вещества в сушёных грушах:
$36 \cdot \frac{80}{100} = 36 \cdot 0,8 = 28,8$ кг.

2. Эта же масса сухого вещества (28,8 кг) содержалась и в свежих грушах. В свежих грушах было 70% воды, следовательно, доля сухого вещества в них составляла:
$100\% - 70\% = 30\%$

3. Теперь найдём, какую массу свежих груш ($x$) нужно взять, чтобы в них содержалось 28,8 кг сухого вещества, что составляет 30% от их общей массы. Составим пропорцию:
28,8 кг — это 30%
$x$ кг — это 100%
$x = \frac{28,8 \cdot 100}{30} = \frac{2880}{30} = 96$ кг.
Ответ: 96 кг.

б)

Дано: содержание воды в свежих грушах $p = 65\%$, в сушёных — $q = 25\%$. Требуется получить $n = 35$ кг сушёных груш.

1. Найдём массу сухого вещества в 35 кг сушёных груш.
Процент сухого вещества в сушёных грушах:
$100\% - 25\% = 75\%$
Масса сухого вещества в сушёных грушах:
$35 \cdot \frac{75}{100} = 35 \cdot 0,75 = 26,25$ кг.

2. Эта же масса сухого вещества (26,25 кг) содержалась и в свежих грушах. В свежих грушах было 65% воды, следовательно, доля сухого вещества в них составляла:
$100\% - 65\% = 35\%$

3. Найдём массу свежих груш ($x$), в которых 26,25 кг сухого вещества составляют 35% от их общей массы. Составим пропорцию:
26,25 кг — это 35%
$x$ кг — это 100%
$x = \frac{26,25 \cdot 100}{35} = \frac{2625}{35} = 75$ кг.
Ответ: 75 кг.

1082. Яблоки, содержащие $p\%$ воды, при сушке потеряли $q\%$ своей массы. Сколько процентов воды содержат сушёные яблоки, если:

a) $p = 66, q = 60$;

б) $p = 64, q = 55?$

Для решения задачи в общем виде, обозначим начальную массу яблок как $M$.

Масса воды в свежих яблоках составляет $p\%$ от общей массы, то есть $M_{вода\_нач} = \frac{p}{100} M$.

Масса сухого вещества (не воды) составляет $M_{сух} = M - M_{вода\_нач} = M - \frac{p}{100} M = (1 - \frac{p}{100})M$.

При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества остается неизменной.

Масса яблок уменьшается на $q\%$, то есть потеря массы составляет $\Delta M = \frac{q}{100}M$. Эта потеря массы — это масса испарившейся воды.

Новая масса яблок после сушки: $M_{нов} = M - \Delta M = M - \frac{q}{100}M = (1 - \frac{q}{100})M$.

Новая масса воды в яблоках: $M_{вода\_нов} = M_{вода\_нач} - \Delta M = \frac{p}{100}M - \frac{q}{100}M = \frac{p-q}{100}M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках вычисляется как отношение новой массы воды к новой общей массе, умноженное на $100\%$.

Процент воды = $\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{\frac{p-q}{100}M}{(1-\frac{q}{100})M} \times 100\% = \frac{\frac{p-q}{100}}{\frac{100-q}{100}} \times 100\% = \frac{p-q}{100-q} \times 100\%$.

Теперь подставим конкретные значения.

а) $p = 66, q = 60$

Масса сухого вещества в начальной массе $M$ составляет $100\% - 66\% = 34\%$, или $0.34M$.

После сушки масса яблок уменьшилась на $60\%$, значит, новая масса составляет $100\% - 60\% = 40\%$ от начальной, или $0.40M$.

Масса сухого вещества не изменилась и по-прежнему составляет $0.34M$.

Масса воды в сушеных яблоках равна разнице между новой общей массой и массой сухого вещества: $M_{вода\_нов} = 0.40M - 0.34M = 0.06M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках:

$\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{0.06M}{0.40M} \times 100\% = \frac{6}{40} \times 100\% = \frac{3}{20} \times 100\% = 15\%$.

Используя общую формулу:

Процент воды = $\frac{66-60}{100-60} \times 100\% = \frac{6}{40} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = 15\%$.

Ответ: $15\%$.

б) $p = 64, q = 55$

Масса сухого вещества в начальной массе $M$ составляет $100\% - 64\% = 36\%$, или $0.36M$.

После сушки масса яблок уменьшилась на $55\%$, новая масса составляет $100\% - 55\% = 45\%$ от начальной, или $0.45M$.

Масса сухого вещества осталась прежней: $0.36M$.

Масса воды в сушеных яблоках: $M_{вода\_нов} = 0.45M - 0.36M = 0.09M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках:

$\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{0.09M}{0.45M} \times 100\% = \frac{9}{45} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Используя общую формулу:

Процент воды = $\frac{64-55}{100-55} \times 100\% = \frac{9}{45} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: $20\%$.

1083. До просушки влажность зерна составляла $p\%$, а после просушки составила $q\%$. Сколько процентов потеряло зерно в массе, если:

а) $p = 19$, $q = 10$;

б) $p = 23$, $q = 12$?

Основной принцип решения этой задачи заключается в том, что при просушке зерна испаряется только вода, а масса сухого вещества остается неизменной.

Пусть $M_1$ — начальная масса зерна, а $M_2$ — масса зерна после просушки. Массу сухого вещества обозначим как $M_с$.

До просушки влажность составляла $p=19\%$. Это означает, что доля сухого вещества в общей массе $M_1$ была $100\% - 19\% = 81\%$. Таким образом, массу сухого вещества можно выразить через начальную массу:

$M_с = (1 - \frac{19}{100}) \cdot M_1 = 0.81 \cdot M_1$

После просушки влажность составила $q=10\%$. Теперь доля сухого вещества в общей массе $M_2$ составляет $100\% - 10\% = 90\%$. Выразим массу сухого вещества через конечную массу:

$M_с = (1 - \frac{10}{100}) \cdot M_2 = 0.90 \cdot M_2$

Так как масса сухого вещества не изменилась, мы можем приравнять два полученных выражения для $M_с$:

$0.81 \cdot M_1 = 0.90 \cdot M_2$

Отсюда выразим массу зерна после просушки $M_2$ через начальную массу $M_1$:

$M_2 = \frac{0.81}{0.90} \cdot M_1 = 0.9 \cdot M_1$

Это означает, что конечная масса составляет 90% от начальной. Потеря массы равна разности начальной и конечной массы: $\Delta M = M_1 - M_2 = M_1 - 0.9 \cdot M_1 = 0.1 \cdot M_1$.

Чтобы найти, сколько процентов потеряло зерно в массе, нужно разделить потерю массы на начальную массу и умножить на 100%:

$\text{Процент потери} = \frac{\Delta M}{M_1} \times 100\% = \frac{0.1 \cdot M_1}{M_1} \times 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

Действуем аналогично предыдущему пункту. Пусть $M_1$ — начальная масса зерна, $M_2$ — конечная масса, а $M_с$ — неизменная масса сухого вещества.

Изначальная влажность зерна составляла $p = 23\%$. Доля сухого вещества была $100\% - 23\% = 77\%$. Масса сухого вещества:

$M_с = (1 - \frac{23}{100}) \cdot M_1 = 0.77 \cdot M_1$

После просушки влажность стала $q = 12\%$. Доля сухого вещества стала $100\% - 12\% = 88\%$. Масса сухого вещества:

$M_с = (1 - \frac{12}{100}) \cdot M_2 = 0.88 \cdot M_2$

Приравниваем выражения для массы сухого вещества:

$0.77 \cdot M_1 = 0.88 \cdot M_2$

Выразим конечную массу $M_2$ через начальную $M_1$:

$M_2 = \frac{0.77}{0.88} M_1 = \frac{7}{8} M_1 = 0.875 \cdot M_1$

Потеря массы составляет $\Delta M = M_1 - M_2 = M_1 - 0.875 \cdot M_1 = 0.125 \cdot M_1$.

Процент потери массы равен:

$\text{Процент потери} = \frac{\Delta M}{M_1} \times 100\% = \frac{0.125 \cdot M_1}{M_1} \times 100\% = 12.5\%$

Ответ: 12.5%.

1084. Три брата поместили разные суммы на вклад в банке. Первый поместил $a$ р. под $p\%$ годовых, второй — $2a$ р. под $\frac{p}{2}\%$ годовых, третий — $\frac{a}{2}$ р. под $2p\%$ годовых. Докажите, что через год доходы братьев от вложения денег будут одинаковые.

Для того чтобы доказать, что доходы братьев будут одинаковыми, необходимо рассчитать годовой доход для каждого из них. Доход от вклада по простым процентам вычисляется по формуле:

$Доход = Сумма \ вклада \times \frac{Процентная \ ставка}{100}$

Доход первого брата

Первый брат вложил сумму $a$ рублей под $p\%$ годовых. Его доход за год составит:

$Д_1 = a \cdot \frac{p}{100} = \frac{ap}{100}$

Доход второго брата

Второй брат вложил сумму $2a$ рублей под $\frac{p}{2}\%$ годовых. Его доход за год составит:

$Д_2 = 2a \cdot \frac{\frac{p}{2}}{100} = 2a \cdot \frac{p}{2 \cdot 100} = \frac{2ap}{200} = \frac{ap}{100}$

Доход третьего брата

Третий брат вложил сумму $\frac{a}{2}$ рублей под $2p\%$ годовых. Его доход за год составит:

$Д_3 = \frac{a}{2} \cdot \frac{2p}{100} = \frac{a \cdot 2p}{2 \cdot 100} = \frac{2ap}{200} = \frac{ap}{100}$

Сравнивая доходы всех трех братьев, мы видим, что они равны:

$Д_1 = Д_2 = Д_3 = \frac{ap}{100}$

Ответ: Расчеты показывают, что доходы всех трех братьев через год будут одинаковыми и составят $\frac{ap}{100}$ рублей, что и требовалось доказать.