Номер 1082, страница 262 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1082, страница 262.

Условие.

1082. Яблоки, содержащие $p\%$ воды, при сушке потеряли $q\%$ своей массы. Сколько процентов воды содержат сушёные яблоки, если:

a) $p = 66, q = 60$;

б) $p = 64, q = 55?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи в общем виде, обозначим начальную массу яблок как $M$.

Масса воды в свежих яблоках составляет $p\%$ от общей массы, то есть $M_{вода\_нач} = \frac{p}{100} M$.

Масса сухого вещества (не воды) составляет $M_{сух} = M - M_{вода\_нач} = M - \frac{p}{100} M = (1 - \frac{p}{100})M$.

При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества остается неизменной.

Масса яблок уменьшается на $q\%$, то есть потеря массы составляет $\Delta M = \frac{q}{100}M$. Эта потеря массы — это масса испарившейся воды.

Новая масса яблок после сушки: $M_{нов} = M - \Delta M = M - \frac{q}{100}M = (1 - \frac{q}{100})M$.

Новая масса воды в яблоках: $M_{вода\_нов} = M_{вода\_нач} - \Delta M = \frac{p}{100}M - \frac{q}{100}M = \frac{p-q}{100}M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках вычисляется как отношение новой массы воды к новой общей массе, умноженное на $100\%$.

Процент воды = $\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{\frac{p-q}{100}M}{(1-\frac{q}{100})M} \times 100\% = \frac{\frac{p-q}{100}}{\frac{100-q}{100}} \times 100\% = \frac{p-q}{100-q} \times 100\%$.

Теперь подставим конкретные значения.

а) $p = 66, q = 60$

Масса сухого вещества в начальной массе $M$ составляет $100\% - 66\% = 34\%$, или $0.34M$.

После сушки масса яблок уменьшилась на $60\%$, значит, новая масса составляет $100\% - 60\% = 40\%$ от начальной, или $0.40M$.

Масса сухого вещества не изменилась и по-прежнему составляет $0.34M$.

Масса воды в сушеных яблоках равна разнице между новой общей массой и массой сухого вещества: $M_{вода\_нов} = 0.40M - 0.34M = 0.06M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках:

$\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{0.06M}{0.40M} \times 100\% = \frac{6}{40} \times 100\% = \frac{3}{20} \times 100\% = 15\%$.

Используя общую формулу:

Процент воды = $\frac{66-60}{100-60} \times 100\% = \frac{6}{40} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = 15\%$.

Ответ: $15\%$.

б) $p = 64, q = 55$

Масса сухого вещества в начальной массе $M$ составляет $100\% - 64\% = 36\%$, или $0.36M$.

После сушки масса яблок уменьшилась на $55\%$, новая масса составляет $100\% - 55\% = 45\%$ от начальной, или $0.45M$.

Масса сухого вещества осталась прежней: $0.36M$.

Масса воды в сушеных яблоках: $M_{вода\_нов} = 0.45M - 0.36M = 0.09M$.

Процентное содержание воды в сушеных яблоках:

$\frac{M_{вода\_нов}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{0.09M}{0.45M} \times 100\% = \frac{9}{45} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Используя общую формулу:

Процент воды = $\frac{64-55}{100-55} \times 100\% = \frac{9}{45} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: $20\%$.