Номер 1085, страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1085, страница 263.

Условие.

1085. Два брата поместили на 2 года разные суммы на вклад в банке. Первый поместил $a$ р. под $p\%$ годовых, второй — $2a$ р. под $\frac{p}{2}\%$ годовых. Чей доход от вложенных денег окажется больше, если по прошествии каждого года начисляются проценты на всю сумму вклада?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для решения задачи нам нужно рассчитать доход каждого из братьев за два года и сравнить полученные величины. В условии сказано, что проценты начисляются на всю сумму вклада, что соответствует схеме сложных процентов.

Формула для расчета итоговой суммы при сложных процентах: $S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$, где $S_0$ — начальная сумма вклада, $r$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.

Доход (Д) вычисляется как разница между итоговой и начальной суммой: $Д = S - S_0$.

Расчет дохода первого брата

Начальные условия для первого брата:

• Начальная сумма: $S_{0,1} = a$ р.
• Процентная ставка: $r_1 = p\%$ годовых.
• Срок вклада: $n = 2$ года.

Итоговая сумма на вкладе первого брата через 2 года составит:

$S_1 = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Доход первого брата ($Д_1$) равен:

$Д_1 = S_1 - S_{0,1} = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 - a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$Д_1 = a \cdot \left(1 + \frac{2p}{100} + \frac{p^2}{100^2}\right) - a = a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000} - a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000}$

Расчет дохода второго брата

Начальные условия для второго брата:

• Начальная сумма: $S_{0,2} = 2a$ р.
• Процентная ставка: $r_2 = \frac{p}{2}\%$ годовых.
• Срок вклада: $n = 2$ года.

Итоговая сумма на вкладе второго брата через 2 года составит:

$S_2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{p/2}{100}\right)^2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^2$

Доход второго брата ($Д_2$) равен:

$Д_2 = S_2 - S_{0,2} = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^2 - 2a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$Д_2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{2p}{200} + \frac{p^2}{200^2}\right) - 2a = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{100} + \frac{p^2}{40000}\right) - 2a = 2a + \frac{2ap}{100} + \frac{2ap^2}{40000} - 2a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20000}$

Сравнение доходов

Теперь сравним полученные доходы:

$Д_1 = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000}$

$Д_2 = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20000}$

Первые слагаемые в выражениях для $Д_1$ и $Д_2$ одинаковы. Поэтому для сравнения доходов нам достаточно сравнить вторые слагаемые: $\frac{ap^2}{10000}$ и $\frac{ap^2}{20000}$.

Так как сумма вклада $a > 0$ и процентная ставка $p > 0$, то числитель $ap^2$ является положительным числом в обоих случаях. Сравним знаменатели: $10000 < 20000$.

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$\frac{ap^2}{10000} > \frac{ap^2}{20000}$

Это означает, что $Д_1 > Д_2$.

Ответ: доход от вложенных денег окажется больше у первого брата.