Страница 263 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1085. Два брата поместили на 2 года разные суммы на вклад в банке. Первый поместил $a$ р. под $p\%$ годовых, второй — $2a$ р. под $\frac{p}{2}\%$ годовых. Чей доход от вложенных денег окажется больше, если по прошествии каждого года начисляются проценты на всю сумму вклада?

Для решения задачи нам нужно рассчитать доход каждого из братьев за два года и сравнить полученные величины. В условии сказано, что проценты начисляются на всю сумму вклада, что соответствует схеме сложных процентов.

Формула для расчета итоговой суммы при сложных процентах: $S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$, где $S_0$ — начальная сумма вклада, $r$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.

Доход (Д) вычисляется как разница между итоговой и начальной суммой: $Д = S - S_0$.

Расчет дохода первого брата

Начальные условия для первого брата:

• Начальная сумма: $S_{0,1} = a$ р.
• Процентная ставка: $r_1 = p\%$ годовых.
• Срок вклада: $n = 2$ года.

Итоговая сумма на вкладе первого брата через 2 года составит:

$S_1 = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$

Доход первого брата ($Д_1$) равен:

$Д_1 = S_1 - S_{0,1} = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 - a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$Д_1 = a \cdot \left(1 + \frac{2p}{100} + \frac{p^2}{100^2}\right) - a = a + \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000} - a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000}$

Расчет дохода второго брата

Начальные условия для второго брата:

• Начальная сумма: $S_{0,2} = 2a$ р.
• Процентная ставка: $r_2 = \frac{p}{2}\%$ годовых.
• Срок вклада: $n = 2$ года.

Итоговая сумма на вкладе второго брата через 2 года составит:

$S_2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{p/2}{100}\right)^2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^2$

Доход второго брата ($Д_2$) равен:

$Д_2 = S_2 - S_{0,2} = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^2 - 2a$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$Д_2 = 2a \cdot \left(1 + \frac{2p}{200} + \frac{p^2}{200^2}\right) - 2a = 2a \cdot \left(1 + \frac{p}{100} + \frac{p^2}{40000}\right) - 2a = 2a + \frac{2ap}{100} + \frac{2ap^2}{40000} - 2a = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20000}$

Сравнение доходов

Теперь сравним полученные доходы:

$Д_1 = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{10000}$

$Д_2 = \frac{2ap}{100} + \frac{ap^2}{20000}$

Первые слагаемые в выражениях для $Д_1$ и $Д_2$ одинаковы. Поэтому для сравнения доходов нам достаточно сравнить вторые слагаемые: $\frac{ap^2}{10000}$ и $\frac{ap^2}{20000}$.

Так как сумма вклада $a > 0$ и процентная ставка $p > 0$, то числитель $ap^2$ является положительным числом в обоих случаях. Сравним знаменатели: $10000 < 20000$.

Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$\frac{ap^2}{10000} > \frac{ap^2}{20000}$

Это означает, что $Д_1 > Д_2$.

Ответ: доход от вложенных денег окажется больше у первого брата.

1086. Частный инвестор купил 200 акций известной фирмы по 100 р. за акцию. Когда цена каждой акции увеличилась на $p\%$, он продал половину акций. А когда цена каждой акции увеличилась ещё на $q\%$, он продал остальные акции. Вычислите прибыль, полученную частным инвестором от продажи всех купленных им акций.

Для решения задачи необходимо пошагово вычислить все финансовые операции инвестора: первоначальные затраты, выручку от двух продаж, и, наконец, общую прибыль.

1. Вычисление первоначальных затрат.

Инвестор купил 200 акций по 100 рублей за каждую. Общая сумма, потраченная на покупку, составляет:

Затраты = $200 \text{ акций} \times 100 \text{ р./акция} = 20000 \text{ р.}$

2. Первая продажа акций.

Цена каждой акции увеличилась на $p\%$. Новая цена акции ($C_1$) составила:

$C_1 = 100 + 100 \times \frac{p}{100} = 100 + p \text{ р.}$

Инвестор продал половину акций, то есть $200 / 2 = 100$ акций. Выручка от этой продажи ($V_1$) равна:

$V_1 = 100 \text{ акций} \times (100 + p) \text{ р./акция} = 10000 + 100p \text{ р.}$

3. Вторая продажа акций.

После первой продажи цена акции, которая составляла $C_1 = (100+p)$ р., увеличилась ещё на $q\%$. Новая цена ($C_2$) рассчитывается от текущей цены $C_1$:

$C_2 = C_1 \times (1 + \frac{q}{100}) = (100+p) \times (1 + \frac{q}{100}) \text{ р.}$

Инвестор продал оставшиеся $200 - 100 = 100$ акций по цене $C_2$. Выручка от второй продажи ($V_2$) составляет:

$V_2 = 100 \text{ акций} \times C_2 = 100 \times (100+p) \times (1 + \frac{q}{100})$

Раскроем скобки для вычисления выручки:

$V_2 = (10000 + 100p) \times (1 + \frac{q}{100}) = 10000 + 100p + (10000+100p)\frac{q}{100}$

$V_2 = 10000 + 100p + 100q + pq \text{ р.}$

4. Вычисление общей прибыли.

Общая выручка ($V_{общ}$) — это сумма выручки от первой и второй продаж:

$V_{общ} = V_1 + V_2 = (10000 + 100p) + (10000 + 100p + 100q + pq)$

$V_{общ} = 20000 + 200p + 100q + pq \text{ р.}$

Прибыль — это разница между общей выручкой и первоначальными затратами:

Прибыль = $V_{общ} - \text{Затраты}$

Прибыль = $(20000 + 200p + 100q + pq) - 20000$

Прибыль = $200p + 100q + pq \text{ р.}$

Ответ: $200p + 100q + pq$

1087. Отцу и сыну вместе 52 года. Пять лет тому назад отец был в 5 раз старше сына. Сколько лет каждому?

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений. Обозначим текущий возраст отца как $О$, а текущий возраст сына как $С$.

Из первого условия задачи известно, что сумма их возрастов равна 52 годам. Это можно записать в виде уравнения:

$О + С = 52$

Второе условие гласит, что пять лет тому назад отец был в 5 раз старше сына. Пять лет назад возраст отца был $О - 5$ лет, а возраст сына — $С - 5$ лет. Запишем это соотношение в виде второго уравнения:

$О - 5 = 5 \cdot (С - 5)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} О + С = 52 \\ О - 5 = 5(С - 5) \end{cases} $

Выразим $О$ из первого уравнения:

$О = 52 - С$

Теперь подставим это выражение для $О$ во второе уравнение:

$(52 - С) - 5 = 5(С - 5)$

Упростим и решим полученное уравнение:

$47 - С = 5С - 25$

Перенесем все члены с переменной $С$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую:

$47 + 25 = 5С + С$

$72 = 6С$

Теперь найдем возраст сына $С$:

$С = \frac{72}{6}$

$С = 12$

Итак, возраст сына — 12 лет. Чтобы найти возраст отца, подставим значение $С$ в первое уравнение:

$О = 52 - 12$

$О = 40$

Возраст отца — 40 лет.

Проверка:

Сумма возрастов: $40 + 12 = 52$ года (верно).

Пять лет назад: отцу было $40 - 5 = 35$ лет, сыну было $12 - 5 = 7$ лет. Отец был старше сына в $35 \div 7 = 5$ раз (верно).

Ответ: отцу 40 лет, сыну 12 лет.

1088. Двум туристам необходимо доехать от мотеля до станции технического обслуживания. Первый ехал со скоростью $50 \text{ км/ч}$ и успел на станцию за $2 \text{ ч}$ до её закрытия. Второй, выехавший одновременно с первым, ехал со скоростью $35 \text{ км/ч}$ и опоздал на $1 \text{ ч}$. На каком расстоянии от мотеля находилась станция технического обслуживания?

Пусть $S$ (в км) — искомое расстояние от мотеля до станции технического обслуживания.

Скорость первого туриста $v_1 = 50$ км/ч, а скорость второго туриста $v_2 = 35$ км/ч.

Время, которое затратил на дорогу первый турист, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{50}$ часов.

Время, которое затратил на дорогу второй турист, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{35}$ часов.

Согласно условию, туристы выехали одновременно. Первый турист прибыл на станцию за 2 часа до её закрытия, а второй — через 1 час после её закрытия. Это значит, что время в пути второго туриста было на $2 + 1 = 3$ часа больше, чем время в пути первого туриста.

Таким образом, мы можем составить уравнение, отражающее разницу во времени:

$t_2 - t_1 = 3$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{S}{35} - \frac{S}{50} = 3$

Для решения уравнения приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 35 и 50 — это 350. Умножим обе части уравнения на 350:

$350 \cdot (\frac{S}{35}) - 350 \cdot (\frac{S}{50}) = 3 \cdot 350$

$10S - 7S = 1050$

$3S = 1050$

Теперь найдём $S$, разделив обе части уравнения на 3:

$S = \frac{1050}{3}$

$S = 350$

Следовательно, расстояние от мотеля до станции технического обслуживания составляет 350 км.

Ответ: 350 км.

Двое выехали одновременно из одного города в другой. Первый ехал по 12 вёрст в час и приехал на место двумя часами раньше второго, который ехал по 9 вёрст в час. Каково расстояние между городами?

Для решения этой задачи можно составить уравнение, основанное на связи между расстоянием, скоростью и временем ($S = v \cdot t$).

Пусть $S$ – это искомое расстояние между городами в вёрстах.

Скорость первого путника $v_1 = 12$ вёрст/час.

Скорость второго путника $v_2 = 9$ вёрст/час.

Время, которое первый путник затратил на дорогу, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{12}$ часов.

Время, которое второй путник затратил на дорогу, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{9}$ часов.

Из условия известно, что первый путник приехал на 2 часа раньше второго. Это значит, что время в пути у второго было на 2 часа больше, чем у первого. Составим уравнение, отражающее эту разницу во времени:

$t_2 - t_1 = 2$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$ через $S$:

$\frac{S}{9} - \frac{S}{12} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 12 равен 36. Умножим первую дробь на 4, а вторую на 3:

$\frac{4S}{36} - \frac{3S}{36} = 2$

$\frac{4S - 3S}{36} = 2$

$\frac{S}{36} = 2$

Теперь найдём $S$, умножив обе части уравнения на 36:

$S = 2 \cdot 36$

$S = 72$

Проверка:

Время первого путника: $t_1 = \frac{72}{12} = 6$ часов.

Время второго путника: $t_2 = \frac{72}{9} = 8$ часов.

Разница во времени: $8 - 6 = 2$ часа. Решение верное.

Ответ: расстояние между городами 72 версты.

1090. Старинная задача. Продавая аршин сукна по 5 р., торговец получил бы на всём остатке этого сукна 12 р. прибыли. Продавая же по 3 р., он получил бы 4 р. убытку. Как велик остаток этого сукна и почём ему самому обошёлся аршин его?

Для решения этой задачи можно использовать арифметический метод, который позволяет последовательно ответить на оба вопроса.

Как велик остаток этого сукна

Сначала найдем разницу в цене продажи за один аршин сукна в двух случаях: $5 - 3 = 2$ рубля. Затем найдем, как изменился финансовый результат торговца. В первом случае он получил бы 12 рублей прибыли, а во втором — 4 рубля убытка. Общее изменение (разница между прибылью и убытком) составляет $12 - (-4) = 12 + 4 = 16$ рублей. Эта общая разница в 16 рублей образовалась исключительно из-за изменения цены продажи каждого аршина на 2 рубля. Следовательно, чтобы найти количество аршин, нужно общую разницу в результате разделить на разницу в цене за один аршин:

Остаток сукна = $\frac{\text{Общее изменение результата}}{\text{Изменение цены за аршин}} = \frac{16}{2} = 8$ аршин.

Ответ: Остаток этого сукна составляет 8 аршин.

почём ему самому обошёлся аршин его?

Теперь, зная, что остаток сукна равен 8 аршинам, мы можем рассчитать его себестоимость. Воспользуемся первым условием: продавая 8 аршин по 5 рублей, торговец получил бы общую выручку в размере $8 \times 5 = 40$ рублей. Поскольку его прибыль при этом составила бы 12 рублей, то общая себестоимость всего сукна равна разнице между выручкой и прибылью:

Общая себестоимость = $40 - 12 = 28$ рублей.

Чтобы найти, почём торговцу обошёлся один аршин, разделим общую себестоимость на количество аршин:

Себестоимость одного аршина = $\frac{28}{8} = 3.5$ рубля.

Это эквивалентно 3 рублям 50 копейкам.

Ответ: Аршин сукна обошёлся ему самому в 3,5 рубля.

1091. Поезд прошёл расстояние от пункта $A$ до пункта $B$ за 5 ч. На обратном пути он увеличил скорость на $20 \text{ км/ч}$ и прошёл это расстояние за 4 ч. Определите скорость поезда на пути из пункта $A$ в пункт $B$ и расстояние от пункта $A$ до пункта $B$.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $v$ (км/ч) — это скорость поезда на пути из пункта А в пункт В.

Расстояние $S$ от пункта А до пункта В, которое поезд прошел за 5 часов, можно выразить формулой:

$S = 5 \cdot v$

На обратном пути из пункта В в пункт А скорость поезда была на 20 км/ч больше, то есть $(v + 20)$ км/ч. Это же расстояние поезд прошел за 4 часа. Таким образом, расстояние $S$ можно также выразить формулой:

$S = 4 \cdot (v + 20)$

Поскольку расстояние в обе стороны одинаково, мы можем приравнять правые части двух уравнений:

$5v = 4(v + 20)$

Теперь, решив это уравнение, мы можем найти скорость поезда и расстояние.

Скорость поезда на пути из пункта А в пункт В

Решим составленное уравнение относительно $v$:

$5v = 4v + 80$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в одну сторону:

$5v - 4v = 80$

$v = 80$

Таким образом, скорость поезда на пути из пункта А в пункт В составляет 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

Расстояние от пункта А до пункта В

Теперь, когда мы знаем скорость, мы можем вычислить расстояние. Подставим значение $v = 80$ в первое уравнение для расстояния:

$S = 5 \cdot v = 5 \cdot 80 = 400$

Для проверки можно подставить скорость и во второе уравнение. Скорость на обратном пути равна $80 + 20 = 100$ км/ч.

$S = 4 \cdot 100 = 400$

Результаты совпадают. Таким образом, расстояние от пункта А до пункта В составляет 400 км.

Ответ: 400 км.

1092. Велосипедист выехал из города и ехал по трассе со скоростью 12 км/ч. Через некоторое время он проколол шину и отправился назад пешком со скоростью 4 км/ч. Как далеко от города уехал велосипедист, если на путь туда и обратно он затратил 2,4 ч?

Для решения задачи обозначим искомое расстояние от города до места прокола шины как $S$ (в километрах).

Скорость велосипедиста на пути из города была $v_1 = 12$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, можно выразить по формуле $t = S/v$. Таким образом, время на путь туда составляет: $t_1 = S/12$ часов.

На обратном пути велосипедист шел пешком со скоростью $v_2 = 4$ км/ч, преодолевая то же расстояние $S$. Время, затраченное на обратный путь, составляет: $t_2 = S/4$ часов.

По условию задачи, общее время, затраченное на весь путь туда и обратно, составляет 2,4 часа. Мы можем составить уравнение, сложив время движения туда и время движения обратно: $t_1 + t_2 = 2,4$

Подставим в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$, которые мы получили ранее: $S/12 + S/4 = 2,4$

Теперь решим это уравнение относительно $S$. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 12 и 4 — это 12. Домножим вторую дробь на 3: $S/12 + (3 \cdot S)/(3 \cdot 4) = 2,4$ $S/12 + 3S/12 = 2,4$

Сложим дроби в левой части уравнения: $(S + 3S)/12 = 2,4$ $4S/12 = 2,4$

Сократим дробь $4/12$ на 4: $S/3 = 2,4$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 3: $S = 2,4 \cdot 3$ $S = 7,2$ км.

Таким образом, велосипедист отъехал от города на расстояние 7,2 км.

Ответ: 7,2 км.

1093. Велосипедист подсчитал, что если он поедет со скоростью 6 км/ч, то опоздает на 1 ч; если поедет со скоростью 9 км/ч, то приедет на 1 ч раньше намеченного срока. Определите:

а) через какое время надо приехать;

б) каково расстояние;

в) с какой скоростью надо ехать, чтобы приехать вовремя.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $S$ (в км) – искомое расстояние.

Пусть $t$ (в часах) – запланированное время, за которое нужно приехать.

Основная формула, связывающая эти величины: $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. При скорости $v_1 = 6$ км/ч велосипедист опоздает на 1 час. Это значит, что он затратит на путь время $t_1 = t + 1$ ч. Уравнение для расстояния: $S = 6 \cdot (t + 1)$.

2. При скорости $v_2 = 9$ км/ч велосипедист приедет на 1 час раньше. Это значит, что он затратит на путь время $t_2 = t - 1$ ч. Уравнение для расстояния: $S = 9 \cdot (t - 1)$.

Так как расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части уравнений:

$6 \cdot (t + 1) = 9 \cdot (t - 1)$

а) через какое время надо приехать;

Решим полученное уравнение, чтобы найти запланированное время $t$. Раскроем скобки:

$6t + 6 = 9t - 9$

Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$9 + 6 = 9t - 6t$

$15 = 3t$

Отсюда находим $t$:

$t = \frac{15}{3} = 5$

Следовательно, запланированное время прибытия составляет 5 часов. Ответ: 5 ч.

б) каково расстояние;

Теперь, зная запланированное время $t=5$ ч, мы можем вычислить расстояние $S$, подставив значение $t$ в любое из двух исходных выражений:

Используя первое выражение: $S = 6 \cdot (t + 1) = 6 \cdot (5 + 1) = 6 \cdot 6 = 36$ км.

Для проверки используем второе выражение: $S = 9 \cdot (t - 1) = 9 \cdot (5 - 1) = 9 \cdot 4 = 36$ км.

Результаты совпадают. Расстояние составляет 36 километров. Ответ: 36 км.

в) с какой скоростью надо ехать, чтобы приехать вовремя.

Чтобы приехать вовремя, необходимо преодолеть расстояние $S = 36$ км за запланированное время $t = 5$ ч. Искомую скорость $v$ находим по формуле $v = \frac{S}{t}$.

$v = \frac{36}{5} = 7.2$ км/ч.

Чтобы приехать вовремя, нужно ехать со скоростью 7,2 км/ч. Ответ: 7,2 км/ч.