Страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1111. Брат и сестра одновременно начали сбор малины: брат собирал ягоды в четырёхлитровую корзину, а сестра — в трёхлитровую. Брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поменялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно.

Сколько литров ягод собрал брат за всё время?

Сколько литров ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_с$ — скорость сбора ягод сестрой (в литрах в час), а $v_б$ — скорость сбора ягод братом. По условию, брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры, следовательно, $v_б = 1.5 \cdot v_с$.

Обозначим время, в течение которого они собирали ягоды до обмена корзинами, как $t_1$, а время после обмена — как $t_2$.

На первом этапе (до обмена, время $t_1$):

• Брат собирал в четырехлитровую корзину. Количество собранных им ягод: $Q_{б1} = v_б \cdot t_1 = 1.5 v_с t_1$.
• Сестра собирала в трехлитровую корзину. Количество собранных ею ягод: $Q_{с1} = v_с \cdot t_1$.

На втором этапе (после обмена, время $t_2$):

• Брат собирал в трехлитровую корзину. Количество собранных им ягод: $Q_{б2} = v_б \cdot t_2 = 1.5 v_с t_2$.
• Сестра собирала в четырехлитровую корзину. Количество собранных ею ягод: $Q_{с2} = v_с \cdot t_2$.

По условию, они закончили сбор одновременно, что означает, что к концу общего времени обе корзины были наполнены.Общий объем ягод в четырехлитровой корзине равен сумме того, что собрал брат до обмена, и того, что собрала сестра после обмена.$Q_{б1} + Q_{с2} = 4$, что в наших переменных выглядит так:$1.5 v_с t_1 + v_с t_2 = 4$.

Аналогично, общий объем ягод в трехлитровой корзине равен сумме того, что собрала сестра до обмена, и того, что собрал брат после обмена.$Q_{с1} + Q_{б2} = 3$, что в наших переменных выглядит так:$v_с t_1 + 1.5 v_с t_2 = 3$.

Мы получили систему из двух уравнений. Вынесем $v_с$ за скобки:$v_с(1.5 t_1 + t_2) = 4$$v_с(t_1 + 1.5 t_2) = 3$

Для удобства решения введем новые переменные: $A = v_с t_1$ (количество ягод, собранное сестрой до обмена) и $B = v_с t_2$ (количество ягод, собранное сестрой после обмена).Система уравнений примет вид:$1.5 A + B = 4$$A + 1.5 B = 3$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $B$: $B = 4 - 1.5 A$.Подставим это выражение во второе уравнение:$A + 1.5(4 - 1.5 A) = 3$$A + 6 - 2.25 A = 3$$-1.25 A = 3 - 6$$-1.25 A = -3$$A = \frac{-3}{-1.25} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5} = 2.4$

Теперь найдем значение $B$:$B = 4 - 1.5 A = 4 - 1.5 \cdot 2.4 = 4 - 3.6 = 0.4$

Таким образом, мы нашли, что $v_с t_1 = 2.4$ и $v_с t_2 = 0.4$. Этой информации достаточно, чтобы ответить на вопросы задачи.

Общее количество ягод, которое собрал брат, равно сумме собранного им до и после обмена корзинами: $Q_б = Q_{б1} + Q_{б2}$.$Q_{б1} = 1.5 v_с t_1 = 1.5 \cdot A = 1.5 \cdot 2.4 = 3.6$ литра.$Q_{б2} = 1.5 v_с t_2 = 1.5 \cdot B = 1.5 \cdot 0.4 = 0.6$ литра.Общее количество:$Q_б = 3.6 + 0.6 = 4.2$ литра.

Ответ: 4,2 литра.

Количество ягод, собранных сестрой до обмена, это $Q_{с1}$.$Q_{с1} = v_с \cdot t_1 = A$.Мы уже вычислили, что $A = 2.4$.

Ответ: 2,4 литра.

1112. Отец и сын принялись косить два соседних участка. Когда сын выкосил половину меньшего участка, они присели отдохнуть и подсчитали, что отец косит в 2 раза быстрее сына и что если они будут работать так же хорошо, но поменяются участками, то закончат работу одновременно. Определите площадь каждого участка, если один из них больше другого на 1 сотку.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Пусть $S_м$ — площадь меньшего участка в сотках.
• Пусть $S_б$ — площадь большего участка в сотках.
• Пусть $v_с$ — скорость (производительность) работы сына (соток/час).
• Пусть $v_о$ — скорость (производительность) работы отца (соток/час).

Исходя из условий задачи, мы можем составить следующие соотношения:

1. Один участок больше другого на 1 сотку: $S_б = S_м + 1$.
2. Отец косит в 2 раза быстрее сына: $v_о = 2v_с$. Для удобства, обозначим $v_с = v$, тогда $v_о = 2v$.

Разберем процесс работы по этапам.

Сын выкосил половину меньшего участка. Это значит, что он работал на меньшем участке. Отец в это же время работал на большем участке.

Работа, выполненная сыном: $A_с = 0.5 \cdot S_м$.

Время, которое сын затратил на эту работу: $t_1 = \frac{A_с}{v_с} = \frac{0.5 \cdot S_м}{v}$.

За это же время $t_1$ отец работал на своем (большем) участке. Вычислим, какую площадь он выкосил за это время:

$A_о = v_о \cdot t_1 = (2v) \cdot \left(\frac{0.5 \cdot S_м}{v}\right) = 2 \cdot 0.5 \cdot S_м = S_м$.

Итак, к моменту отдыха было выкошено:

• На меньшем участке: $0.5 \cdot S_м$. Осталось выкосить: $S_м - 0.5 \cdot S_м = 0.5 \cdot S_м$.
• На большем участке: $S_м$. Осталось выкосить: $S_б - S_м = (S_м + 1) - S_м = 1$ сотка.

После отдыха они поменялись участками. Теперь отец будет докашивать меньший участок, а сын — больший.

Отцу осталось выкосить на меньшем участке $0.5 \cdot S_м$. Время, которое ему на это потребуется:

$t_{отец} = \frac{\text{оставшаяся работа}}{\text{скорость отца}} = \frac{0.5 \cdot S_м}{v_о} = \frac{0.5 \cdot S_м}{2v}$.

Сыну осталось выкосить на большем участке 1 сотку. Время, которое ему на это потребуется:

$t_{сын} = \frac{\text{оставшаяся работа}}{\text{скорость сына}} = \frac{1}{v_с} = \frac{1}{v}$.

По условию, после смены участками они закончат работу одновременно. Это значит, что время, которое они потратят на втором этапе, одинаково:

$t_{отец} = t_{сын}$

$\frac{0.5 \cdot S_м}{2v} = \frac{1}{v}$

Мы можем сократить $v$ в обеих частях уравнения (так как $v \neq 0$):

$\frac{0.5 \cdot S_м}{2} = 1$

$0.5 \cdot S_м = 2$

$S_м = \frac{2}{0.5}$

$S_м = 4$

Таким образом, площадь меньшего участка составляет 4 сотки.

Теперь найдем площадь большего участка:

$S_б = S_м + 1 = 4 + 1 = 5$.

Площадь большего участка составляет 5 соток.

Проверка:

Меньший участок - 4 сотки, больший - 5 соток. Скорость сына $v$, скорость отца $2v$.

Этап 1: Сын косит половину меньшего участка ($0.5 \cdot 4 = 2$ сотки). Время: $t_1 = \frac{2}{v}$.

За это же время отец на большем участке выкосит: $A_о = 2v \cdot \frac{2}{v} = 4$ сотки.

Остатки: на меньшем участке осталось $4 - 2 = 2$ сотки, на большем $5 - 4 = 1$ сотка.

Этап 2 (меняются): Отец косит 2 сотки на меньшем участке. Время: $t_{отец} = \frac{2}{2v} = \frac{1}{v}$.

Сын косит 1 сотку на большем участке. Время: $t_{сын} = \frac{1}{v}$.

Время совпадает ($t_{отец} = t_{сын}$), значит, решение верное.

Ответ: Площадь меньшего участка составляет 4 сотки, а площадь большего участка — 5 соток.

1113. Девушка подошла к роднику с двумя кувшинами. Вода из родника текла двумя струями — одна давала в 3 раза больше воды, чем другая. Девушка поставила одновременно два кувшина под струи, и, когда набралась половина меньшего кувшина, она поменяла кувшины местами. Как это ни удивительно, но кувшины наполнились одновременно. Определите объём каждого кувшина, если вместе они вмещают 8 л.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть производительность (скорость потока) слабой струи равна $v$ литров в единицу времени. Тогда производительность сильной струи, которая в 3 раза больше, будет равна $3v$.

Обозначим объемы кувшинов как $V_1$ и $V_2$. Согласно условию, их суммарный объем составляет 8 литров:

$V_1 + V_2 = 8$

Пусть $V_M$ — это объем меньшего кувшина, а $V_Б$ — объем большего кувшина. Процесс наполнения разделен на два этапа. Первый этап длится до тех пор, пока меньший кувшин не наполнится наполовину. После этого девушка меняет кувшины местами, и второй этап продолжается до их полного и одновременного заполнения.

Рассмотрим один из двух возможных начальных сценариев. Допустим, на первом этапе меньший кувшин ($V_M$) был поставлен под сильную струю ($3v$), а больший ($V_Б$) — под слабую ($v$).

Этап 1: Наполнение до половины меньшего кувшина

Время $t_1$, необходимое для наполнения меньшего кувшина на половину ($V_M/2$) из сильной струи ($3v$), вычисляется как:

$t_1 = \frac{V_M / 2}{3v} = \frac{V_M}{6v}$

За это же время $t_1$ в больший кувшин из слабой струи ($v$) нальется следующий объем воды:

$v \cdot t_1 = v \cdot \frac{V_M}{6v} = \frac{V_M}{6}$

Этап 2: Наполнение после смены кувшинов

После смены кувшинов меньший ($V_M$) оказывается под слабой струей ($v$), а больший ($V_Б$) — под сильной ($3v$).

• Оставшийся объем для заполнения в меньшем кувшине: $V_M - \frac{V_M}{2} = \frac{V_M}{2}$
• Оставшийся объем для заполнения в большем кувшине: $V_Б - \frac{V_M}{6}$

По условию, оба кувшина наполнились одновременно. Это означает, что время второго этапа $t_2$ для обоих кувшинов одинаково.

Время наполнения остатка меньшего кувшина: $t_2 = \frac{V_M/2}{v} = \frac{V_M}{2v}$

Время наполнения остатка большего кувшина: $t_2 = \frac{V_Б - V_M/6}{3v}$

Приравниваем выражения для времени $t_2$:

$\frac{V_M}{2v} = \frac{V_Б - V_M/6}{3v}$

Сокращаем $v$ в обеих частях уравнения и решаем его, чтобы найти соотношение между объемами кувшинов:

$\frac{V_M}{2} = \frac{V_Б - V_M/6}{3}$

$3 \cdot \frac{V_M}{2} = V_Б - \frac{V_M}{6}$

$V_Б = \frac{3V_M}{2} + \frac{V_M}{6} = \frac{9V_M}{6} + \frac{V_M}{6} = \frac{10V_M}{6}$

$V_Б = \frac{5}{3}V_M$

Таким образом, объем большего кувшина в $5/3$ раза больше объема меньшего кувшина. (Примечание: если бы мы рассмотрели второй начальный сценарий, где меньший кувшин стоял под слабой струей, мы бы пришли к точно такому же соотношению).

Определение объемов кувшинов

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$V_Б = \frac{5}{3}V_M$

$V_M + V_Б = 8$

Подставим первое уравнение во второе:

$V_M + \frac{5}{3}V_M = 8$

$\frac{3V_M}{3} + \frac{5V_M}{3} = 8$

$\frac{8V_M}{3} = 8$

$V_M = 3$

Итак, объем меньшего кувшина равен 3 литрам. Тогда объем большего кувшина:

$V_Б = 8 - V_M = 8 - 3 = 5$

Объемы кувшинов равны 3 и 5 литров.

Ответ: объемы кувшинов составляют 3 л и 5 л.

1114. Старинная задача. Торговец, имея сотню лимонов, раздал их трём разносчикам, с тем чтобы они продавали их по одной и той же цене. Возвратясь домой, первый отдаёт хозяину вырученные от продажи 1 р. 80 к. и оставшиеся непроданными 4 лимона, второй отдаёт 1 р. 60 к. и 3 лимона, третий отдаёт 1 р. 20 к. и 1 лимон. Сколько лимонов дано было каждому для продажи?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x_1$, $x_2$ и $x_3$ — количество лимонов, которое получил каждый из трёх разносчиков соответственно. По условию, общее количество лимонов равно 100, значит:

$x_1 + x_2 + x_3 = 100$

Все разносчики продавали лимоны по одной и той же цене, обозначим эту цену как $p$ копеек за один лимон. Переведем выручку каждого разносчика в копейки:

• Первый: 1 р. 80 к. = 180 копеек.
• Второй: 1 р. 60 к. = 160 копеек.
• Третий: 1 р. 20 к. = 120 копеек.

Теперь определим, сколько лимонов продал каждый разносчик:

• Первый разносчик получил $x_1$ лимонов и у него осталось 4. Значит, он продал $(x_1 - 4)$ лимонов.
• Второй разносчик получил $x_2$ лимонов и у него осталось 3. Значит, он продал $(x_2 - 3)$ лимона.
• Третий разносчик получил $x_3$ лимонов и у него остался 1. Значит, он продал $(x_3 - 1)$ лимон.

Составим уравнения, связывающие количество проданных лимонов, цену и выручку для каждого разносчика:

1. $(x_1 - 4) \cdot p = 180$
2. $(x_2 - 3) \cdot p = 160$
3. $(x_3 - 1) \cdot p = 120$

Из этих уравнений видно, что цена $p$ должна быть общим делителем чисел 180, 160 и 120. Найдем наибольший общий делитель (НОД) этих чисел:

НОД(180, 160, 120) = НОД(НОД(180, 160), 120) = НОД(20, 120) = 20.

Таким образом, возможные значения цены $p$ (в копейках) являются делителями числа 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Проверим эти возможные значения цены, чтобы найти количество лимонов у каждого разносчика и проверить, сходится ли их сумма к 100.

Выразим количество проданных лимонов через цену $p$:

• Продано первым: $x_1 - 4 = 180/p$
• Продано вторым: $x_2 - 3 = 160/p$
• Продано третьим: $x_3 - 1 = 120/p$

Отсюда, начальное количество лимонов у каждого:

• $x_1 = 180/p + 4$
• $x_2 = 160/p + 3$
• $x_3 = 120/p + 1$

Подставим эти выражения в основное уравнение $x_1 + x_2 + x_3 = 100$:

$(180/p + 4) + (160/p + 3) + (120/p + 1) = 100$

$(180 + 160 + 120)/p + (4 + 3 + 1) = 100$

$460/p + 8 = 100$

$460/p = 92$

$p = 460 / 92$

$p = 5$

Мы нашли, что цена одного лимона составляет 5 копеек. Это значение является одним из делителей числа 20, так что оно допустимо.

Теперь, зная цену, найдем, сколько лимонов было у каждого разносчика:

• Первый разносчик: $x_1 = 180/5 + 4 = 36 + 4 = 40$ лимонов.
• Второй разносчик: $x_2 = 160/5 + 3 = 32 + 3 = 35$ лимонов.
• Третий разносчик: $x_3 = 120/5 + 1 = 24 + 1 = 25$ лимонов.

Проверим, равно ли общее количество лимонов 100:

$40 + 35 + 25 = 100$

Условие выполняется.

Ответ: Первому разносчику было дано 40 лимонов, второму — 35 лимонов, а третьему — 25 лимонов.

1115. a) Если к натуральному числу приписать справа нуль, то оно увеличится на 333. Найдите это число.

б) Если в записи натурального числа зачеркнуть последнюю цифру 0, то оно уменьшится на 666. Найдите это число.

а)

Пусть искомое натуральное число — это $x$. Когда к числу приписывают справа нуль, это равносильно умножению числа на 10. Таким образом, новое число равно $10x$. Согласно условию, новое число на 333 больше исходного. Мы можем составить уравнение:
$10x = x + 333$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения, чтобы сгруппировать переменные:
$10x - x = 333$
$9x = 333$
Теперь найдем $x$, разделив обе части на 9:
$x = \frac{333}{9}$
$x = 37$
Проверка: Исходное число — 37. Приписав нуль, получаем 370. Разница составляет $370 - 37 = 333$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 37

б)

Пусть искомое натуральное число — это $y$. По условию, его последняя цифра — 0. Это означает, что число $y$ делится на 10. Мы можем представить его как $y = 10x$, где $x$ — это натуральное число, которое получается, если в числе $y$ зачеркнуть последнюю цифру 0.
Согласно условию, после зачеркивания нуля число уменьшилось на 666. Это значит, что разница между исходным числом $y$ и новым числом $x$ равна 666. Составим уравнение:
$y - x = 666$
Подставим в это уравнение выражение $y = 10x$:
$10x - x = 666$
$9x = 666$
Теперь найдем $x$, разделив обе части на 9:
$x = \frac{666}{9}$
$x = 74$
Число $x=74$ — это число, которое получается после зачеркивания нуля. Искомое же число — это $y$. Найдем его:
$y = 10x = 10 \cdot 74 = 740$
Проверка: Исходное число — 740. Зачеркнув последнюю цифру 0, получаем 74. Разница составляет $740 - 74 = 666$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 740

1116. а) Если к натуральному числу приписать справа цифру 6, то оно увеличится на 672. Найдите это число.

б) Если в записи числа зачеркнуть последнюю цифру 9, то оно уменьшится на 612. Найдите это число.

а)

Пусть искомое натуральное число — это $x$. Когда мы приписываем к числу справа цифру 6, это математически эквивалентно умножению исходного числа на 10 и прибавлению 6. Таким образом, новое число равно $10x + 6$.

По условию задачи, новое число больше исходного на 672. Составим уравнение:

$10x + 6 = x + 672$

Теперь решим это уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$10x - x = 672 - 6$

$9x = 666$

$x = \frac{666}{9}$

$x = 74$

Проверим: если к числу 74 приписать справа 6, получится 746. Разница между новым и старым числом: $746 - 74 = 672$. Условие выполняется.

Ответ: 74

б)

Пусть искомое число заканчивается на цифру 9. Обозначим число, которое получается после зачеркивания последней цифры 9, как $x$. Тогда исходное число можно представить в виде $10x + 9$.

По условию задачи, после зачеркивания последней цифры 9 число уменьшилось на 612. Это означает, что разница между исходным числом и новым числом равна 612. Составим уравнение:

$(10x + 9) - x = 612$

Решим это уравнение:

$9x + 9 = 612$

$9x = 612 - 9$

$9x = 603$

$x = \frac{603}{9}$

$x = 67$

Мы нашли число без последней девятки. Чтобы найти исходное число, нужно к $x$ приписать справа 9, то есть выполнить операцию $10x + 9$:

Исходное число = $10 \cdot 67 + 9 = 670 + 9 = 679$.

Проверим: исходное число 679. Зачеркиваем последнюю цифру 9, получаем 67. Разница: $679 - 67 = 612$. Условие выполняется.

Ответ: 679

1117. a) Если к данному двузначному натуральному числу приписать справа или слева цифру 2, то полученные трёхзначные числа будут равны. Найдите двузначное число.

б) Если к записи данного пятизначного натурального числа приписать справа цифру 2 и полученное таким образом число разделить на число, полученное из данного приписыванием цифры 2 слева, то получится 3. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное натуральное число равно $x$.
Когда к числу $x$ приписывают справа цифру 2, новое число можно выразить как $10x + 2$. Например, если число 54, то получится 542, что равно $10 \cdot 54 + 2$.
Когда к двузначному числу $x$ приписывают слева цифру 2, эта цифра занимает разряд сотен, поэтому новое число равно $200 + x$. Например, если число 54, то получится 254, что равно $200 + 54$.
По условию задачи, эти два полученных трёхзначных числа равны. Составим уравнение:
$10x + 2 = 200 + x$
Решим это уравнение:
$10x - x = 200 - 2$
$9x = 198$
$x = \frac{198}{9}$
$x = 22$
Таким образом, искомое двузначное число — это 22.
Ответ: 22

Пусть искомое пятизначное натуральное число равно $y$.
Когда к числу $y$ приписывают справа цифру 2, новое число становится равным $10y + 2$.
Когда к пятизначному числу $y$ приписывают слева цифру 2, эта цифра занимает разряд сотен тысяч, так как в $y$ уже есть 5 разрядов. Новое число равно $2 \cdot 10^5 + y$, то есть $200000 + y$.
По условию, если разделить первое полученное число на второе, получится 3. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{10y + 2}{200000 + y} = 3$
Для решения уравнения умножим обе части на знаменатель $(200000 + y)$:
$10y + 2 = 3 \cdot (200000 + y)$
$10y + 2 = 600000 + 3y$
Теперь соберём все слагаемые с $y$ в левой части, а постоянные члены — в правой:
$10y - 3y = 600000 - 2$
$7y = 599998$
Найдём $y$:
$y = \frac{599998}{7}$
$y = 85714$
Следовательно, искомое пятизначное число — это 85714.
Ответ: 85714

1118. Старший брат сказал младшему: «Дай мне 8 орехов, тогда у меня орехов будет вдвое больше, чем у тебя». А младший брат сказал старшему: «Ты дай мне 8 орехов, тогда у нас будет поровну». Сколько орехов у каждого?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество орехов, которое было у старшего брата, а $y$ — количество орехов у младшего брата.

Рассмотрим первое условие, которое выдвинул старший брат: «Дай мне 8 орехов, тогда у меня орехов будет вдвое больше, чем у тебя». Если младший брат отдаст 8 орехов, то у него останется $y - 8$ орехов, а у старшего брата станет $x + 8$ орехов. По условию, количество орехов у старшего брата будет в два раза больше. Составим первое уравнение:

$x + 8 = 2 \cdot (y - 8)$

Теперь рассмотрим второе условие, которое выдвинул младший брат: «Ты дай мне 8 орехов, тогда у нас будет поровну». Если старший брат отдаст 8 орехов, то у него останется $x - 8$ орехов, а у младшего станет $y + 8$ орехов. По условию, количество орехов у них станет одинаковым. Составим второе уравнение:

$x - 8 = y + 8$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} x + 8 = 2(y - 8) \\ x - 8 = y + 8 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из второго уравнения:

$x = y + 8 + 8$

$x = y + 16$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 16) + 8 = 2(y - 8)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$y + 24 = 2y - 16$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$24 + 16 = 2y - y$

$40 = y$

Таким образом, у младшего брата было 40 орехов.

Теперь найдем, сколько орехов было у старшего брата, подставив значение $y$ в выражение $x = y + 16$:

$x = 40 + 16 = 56$

Итак, у старшего брата было 56 орехов.

Выполним проверку:

1. Если младший (40) даст 8 орехов старшему (56), то у младшего останется $40-8=32$, а у старшего станет $56+8=64$. При этом $64 = 2 \cdot 32$. Условие выполнено.

2. Если старший (56) даст 8 орехов младшему (40), то у старшего останется $56-8=48$, а у младшего станет $40+8=48$. Количество орехов у них станет равным. Условие выполнено.

Ответ: у старшего брата было 56 орехов, у младшего брата — 40 орехов.