Номер 1113, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1113, страница 266.

Условие.

1113. Девушка подошла к роднику с двумя кувшинами. Вода из родника текла двумя струями — одна давала в 3 раза больше воды, чем другая. Девушка поставила одновременно два кувшина под струи, и, когда набралась половина меньшего кувшина, она поменяла кувшины местами. Как это ни удивительно, но кувшины наполнились одновременно. Определите объём каждого кувшина, если вместе они вмещают 8 л.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть производительность (скорость потока) слабой струи равна $v$ литров в единицу времени. Тогда производительность сильной струи, которая в 3 раза больше, будет равна $3v$.

Обозначим объемы кувшинов как $V_1$ и $V_2$. Согласно условию, их суммарный объем составляет 8 литров:

$V_1 + V_2 = 8$

Пусть $V_M$ — это объем меньшего кувшина, а $V_Б$ — объем большего кувшина. Процесс наполнения разделен на два этапа. Первый этап длится до тех пор, пока меньший кувшин не наполнится наполовину. После этого девушка меняет кувшины местами, и второй этап продолжается до их полного и одновременного заполнения.

Рассмотрим один из двух возможных начальных сценариев. Допустим, на первом этапе меньший кувшин ($V_M$) был поставлен под сильную струю ($3v$), а больший ($V_Б$) — под слабую ($v$).

Этап 1: Наполнение до половины меньшего кувшина

Время $t_1$, необходимое для наполнения меньшего кувшина на половину ($V_M/2$) из сильной струи ($3v$), вычисляется как:

$t_1 = \frac{V_M / 2}{3v} = \frac{V_M}{6v}$

За это же время $t_1$ в больший кувшин из слабой струи ($v$) нальется следующий объем воды:

$v \cdot t_1 = v \cdot \frac{V_M}{6v} = \frac{V_M}{6}$

Этап 2: Наполнение после смены кувшинов

После смены кувшинов меньший ($V_M$) оказывается под слабой струей ($v$), а больший ($V_Б$) — под сильной ($3v$).

• Оставшийся объем для заполнения в меньшем кувшине: $V_M - \frac{V_M}{2} = \frac{V_M}{2}$
• Оставшийся объем для заполнения в большем кувшине: $V_Б - \frac{V_M}{6}$

По условию, оба кувшина наполнились одновременно. Это означает, что время второго этапа $t_2$ для обоих кувшинов одинаково.

Время наполнения остатка меньшего кувшина: $t_2 = \frac{V_M/2}{v} = \frac{V_M}{2v}$

Время наполнения остатка большего кувшина: $t_2 = \frac{V_Б - V_M/6}{3v}$

Приравниваем выражения для времени $t_2$:

$\frac{V_M}{2v} = \frac{V_Б - V_M/6}{3v}$

Сокращаем $v$ в обеих частях уравнения и решаем его, чтобы найти соотношение между объемами кувшинов:

$\frac{V_M}{2} = \frac{V_Б - V_M/6}{3}$

$3 \cdot \frac{V_M}{2} = V_Б - \frac{V_M}{6}$

$V_Б = \frac{3V_M}{2} + \frac{V_M}{6} = \frac{9V_M}{6} + \frac{V_M}{6} = \frac{10V_M}{6}$

$V_Б = \frac{5}{3}V_M$

Таким образом, объем большего кувшина в $5/3$ раза больше объема меньшего кувшина. (Примечание: если бы мы рассмотрели второй начальный сценарий, где меньший кувшин стоял под слабой струей, мы бы пришли к точно такому же соотношению).

Определение объемов кувшинов

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$V_Б = \frac{5}{3}V_M$

$V_M + V_Б = 8$

Подставим первое уравнение во второе:

$V_M + \frac{5}{3}V_M = 8$

$\frac{3V_M}{3} + \frac{5V_M}{3} = 8$

$\frac{8V_M}{3} = 8$

$V_M = 3$

Итак, объем меньшего кувшина равен 3 литрам. Тогда объем большего кувшина:

$V_Б = 8 - V_M = 8 - 3 = 5$

Объемы кувшинов равны 3 и 5 литров.

Ответ: объемы кувшинов составляют 3 л и 5 л.