Номер 1111, страница 266 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1111, страница 266.

Условие.

1111. Брат и сестра одновременно начали сбор малины: брат собирал ягоды в четырёхлитровую корзину, а сестра — в трёхлитровую. Брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры. В какой-то момент они поменялись корзинами и закончили сбор ягод одновременно.

Сколько литров ягод собрал брат за всё время?

Сколько литров ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_с$ — скорость сбора ягод сестрой (в литрах в час), а $v_б$ — скорость сбора ягод братом. По условию, брат собирал ягоды в 1,5 раза быстрее сестры, следовательно, $v_б = 1.5 \cdot v_с$.

Обозначим время, в течение которого они собирали ягоды до обмена корзинами, как $t_1$, а время после обмена — как $t_2$.

На первом этапе (до обмена, время $t_1$):

• Брат собирал в четырехлитровую корзину. Количество собранных им ягод: $Q_{б1} = v_б \cdot t_1 = 1.5 v_с t_1$.
• Сестра собирала в трехлитровую корзину. Количество собранных ею ягод: $Q_{с1} = v_с \cdot t_1$.

На втором этапе (после обмена, время $t_2$):

• Брат собирал в трехлитровую корзину. Количество собранных им ягод: $Q_{б2} = v_б \cdot t_2 = 1.5 v_с t_2$.
• Сестра собирала в четырехлитровую корзину. Количество собранных ею ягод: $Q_{с2} = v_с \cdot t_2$.

По условию, они закончили сбор одновременно, что означает, что к концу общего времени обе корзины были наполнены.Общий объем ягод в четырехлитровой корзине равен сумме того, что собрал брат до обмена, и того, что собрала сестра после обмена.$Q_{б1} + Q_{с2} = 4$, что в наших переменных выглядит так:$1.5 v_с t_1 + v_с t_2 = 4$.

Аналогично, общий объем ягод в трехлитровой корзине равен сумме того, что собрала сестра до обмена, и того, что собрал брат после обмена.$Q_{с1} + Q_{б2} = 3$, что в наших переменных выглядит так:$v_с t_1 + 1.5 v_с t_2 = 3$.

Мы получили систему из двух уравнений. Вынесем $v_с$ за скобки:$v_с(1.5 t_1 + t_2) = 4$$v_с(t_1 + 1.5 t_2) = 3$

Для удобства решения введем новые переменные: $A = v_с t_1$ (количество ягод, собранное сестрой до обмена) и $B = v_с t_2$ (количество ягод, собранное сестрой после обмена).Система уравнений примет вид:$1.5 A + B = 4$$A + 1.5 B = 3$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $B$: $B = 4 - 1.5 A$.Подставим это выражение во второе уравнение:$A + 1.5(4 - 1.5 A) = 3$$A + 6 - 2.25 A = 3$$-1.25 A = 3 - 6$$-1.25 A = -3$$A = \frac{-3}{-1.25} = \frac{3}{5/4} = \frac{12}{5} = 2.4$

Теперь найдем значение $B$:$B = 4 - 1.5 A = 4 - 1.5 \cdot 2.4 = 4 - 3.6 = 0.4$

Таким образом, мы нашли, что $v_с t_1 = 2.4$ и $v_с t_2 = 0.4$. Этой информации достаточно, чтобы ответить на вопросы задачи.

Сколько литров ягод собрал брат за всё время?

Общее количество ягод, которое собрал брат, равно сумме собранного им до и после обмена корзинами: $Q_б = Q_{б1} + Q_{б2}$.$Q_{б1} = 1.5 v_с t_1 = 1.5 \cdot A = 1.5 \cdot 2.4 = 3.6$ литра.$Q_{б2} = 1.5 v_с t_2 = 1.5 \cdot B = 1.5 \cdot 0.4 = 0.6$ литра.Общее количество:$Q_б = 3.6 + 0.6 = 4.2$ литра.

Ответ: 4,2 литра.

Сколько литров ягод собрала сестра до обмена корзинами?

Количество ягод, собранных сестрой до обмена, это $Q_{с1}$.$Q_{с1} = v_с \cdot t_1 = A$.Мы уже вычислили, что $A = 2.4$.

Ответ: 2,4 литра.