Страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1050. Некоторую работу $a$ человек могут выполнить за $c$ дней. Сколько человек ещё надо пригласить, чтобы выполнить эту работу на $d$ дней раньше, если:

a) $a = 12, c = 14, d = 2$;

б) $a = 28, c = 30, d = 9$?

а)

1. Найдем общий объем работы, который измеряется в человеко-днях. Это произведение количества человек на количество дней. Изначально $a=12$ человек должны были работать $c=14$ дней. Общий объем работы составляет: $W = a \times c = 12 \times 14 = 168$ человеко-дней.

2. Определим новый, сокращенный срок выполнения работы. Работу нужно выполнить на $d=2$ дня раньше. Новый срок: $c - d = 14 - 2 = 12$ дней.

3. Рассчитаем, сколько всего человек потребуется, чтобы выполнить тот же объем работы за новый срок. Пусть это будет $x$ человек. $x \times 12 = 168$ $x = \frac{168}{12} = 14$ человек.

4. Теперь найдем, сколько человек нужно пригласить дополнительно. Изначально было 12 человек, а теперь требуется 14. Количество дополнительных людей: $14 - 12 = 2$ человека.

Ответ: 2 человека.

б)

1. Аналогично найдем общий объем работы для этого случая. Изначально $a=28$ человек должны были работать $c=30$ дней. Общий объем работы составляет: $W = a \times c = 28 \times 30 = 840$ человеко-дней.

2. Определим новый срок выполнения работы. Работу нужно выполнить на $d=9$ дней раньше. Новый срок: $c - d = 30 - 9 = 21$ день.

3. Рассчитаем, сколько всего человек потребуется для выполнения работы за 21 день. Пусть это будет $x$ человек. $x \times 21 = 840$ $x = \frac{840}{21} = 40$ человек.

4. Найдем, сколько человек нужно пригласить дополнительно. Изначально было 28 человек, а теперь требуется 40. Количество дополнительных людей: $40 - 28 = 12$ человек.

Ответ: 12 человек.

1051. Старинная задача. Половину некоторой работы $a$ человек совершили в $c$ дней, после чего для окончания этой работы к ним прибыло ещё $b$ человек, работавших с таким же успехом, как и первые. Сколько времени длилась вся работа?

Давайте решим эту задачу пошагово. Обозначим весь объем работы, который необходимо выполнить, за 1.

Этап 1: Первая половина работы

По условию, $a$ человек выполнили половину работы, то есть объем $1/2$, за $c$ дней. Общий объем труда, затраченный на этом этапе, можно выразить в "человеко-днях". Он равен произведению числа людей на количество дней.

Труд на первую половину работы = $a \cdot c$ человеко-дней.

Таким образом, мы знаем, что для выполнения половины работы требуется $ac$ человеко-дней.

Этап 2: Вторая половина работы

На выполнение второй половины работы, объем которой также равен $1/2$, требуется затратить такой же объем труда, то есть $ac$ человеко-дней.

По условию, к первым $a$ работникам присоединилось еще $b$ человек. Значит, вторую половину работы выполняла группа из $a+b$ человек.

Пусть $t_2$ — это время в днях, которое потребовалось новой группе для завершения работы. Объем труда, выполненный этой группой, равен $(a+b) \cdot t_2$ человеко-дней.

Расчет времени для второго этапа

Приравняем требуемый и выполненный объем труда для второй половины работы:

$(a+b) \cdot t_2 = ac$

Отсюда выразим время $t_2$:

$t_2 = \frac{ac}{a+b}$ дней.

Расчет общего времени

Общее время, затраченное на выполнение всей работы, складывается из времени, потраченного на первую и вторую половины.

$T_{общ} = (\text{время на первую половину}) + (\text{время на вторую половину})$

$T_{общ} = c + t_2 = c + \frac{ac}{a+b}$

Можно привести это выражение к общему знаменателю, чтобы получить более компактную формулу:

$T_{общ} = \frac{c(a+b)}{a+b} + \frac{ac}{a+b} = \frac{ac + bc + ac}{a+b} = \frac{2ac + bc}{a+b} = \frac{c(2a+b)}{a+b}$

Оба выражения для общего времени являются верными.

Ответ: Вся работа длилась $c + \frac{ac}{a+b}$ дней, или, в упрощенном виде, $\frac{c(2a+b)}{a+b}$ дней.

1052. Колонна солдат длиной $s$ км движется со скоростью $x$ км/ч. Из конца колонны в её начало отправился сержант со скоростью $y$ км/ч, затем с той же скоростью он возвратился в конец колонны. Сколько времени затратил сержант на путь туда и обратно, если:

а) $s = 0,45$, $x = 4$, $y = 5$;

б) $s = 0,55$, $x = 5$, $y = 6$?

Для решения задачи нам нужно вычислить время, которое сержант потратил на путь к началу колонны, а затем на путь обратно к ее концу, и сложить эти два значения.

Обозначим:
$s$ — длина колонны в км,
$x$ — скорость колонны в км/ч,
$y$ — скорость сержанта в км/ч.

1. Время движения к началу колонны ($t_1$).
Когда сержант идет от конца колонны к ее началу, он движется в том же направлении, что и колонна. Его скорость относительно головы колонны (скорость сближения) равна разности их скоростей: $y - x$. За это время ему нужно преодолеть расстояние, равное длине колонны $s$.
Формула для времени: $t_1 = \frac{s}{y-x}$.

2. Время движения к концу колонны ($t_2$).
Когда сержант возвращается от начала колонны к ее концу, он движется навстречу хвосту колонны. Их скорость сближения равна сумме скоростей: $y + x$. Расстояние, которое нужно преодолеть, также равно длине колонны $s$.
Формула для времени: $t_2 = \frac{s}{y+x}$.

Общее время $T$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$: $T = t_1 + t_2$.

а)

Подставим значения: $s = 0,45$ км, $x = 4$ км/ч, $y = 5$ км/ч.

1. Время на путь к началу колонны:
$t_1 = \frac{0,45}{5 - 4} = \frac{0,45}{1} = 0,45$ часа.

2. Время на путь к концу колонны:
$t_2 = \frac{0,45}{5 + 4} = \frac{0,45}{9} = 0,05$ часа.

3. Общее время:
$T = t_1 + t_2 = 0,45 + 0,05 = 0,5$ часа.
Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $0,5 \times 60 = 30$ минут.

Ответ: 0,5 часа (30 минут).

б)

Подставим значения: $s = 0,55$ км, $x = 5$ км/ч, $y = 6$ км/ч.

1. Время на путь к началу колонны:
$t_1 = \frac{0,55}{6 - 5} = \frac{0,55}{1} = 0,55$ часа.

2. Время на путь к концу колонны:
$t_2 = \frac{0,55}{6 + 5} = \frac{0,55}{11} = 0,05$ часа.

3. Общее время:
$T = t_1 + t_2 = 0,55 + 0,05 = 0,6$ часа.
Чтобы перевести в минуты, умножим на 60: $0,6 \times 60 = 36$ минут.

Ответ: 0,6 часа (36 минут).

1053. Два путника вышли одновременно навстречу друг другу из городов $A$ и $B$ и встретились через $a$ часов. Ещё через $b$ часов первый путник пришёл в город $B$. Через сколько часов после встречи второй путник придёт в город $A$, если:

а) $a = 3, b = 2;$

б) $a = 2, b = 3?$

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения. Пусть $v_1$ — скорость первого путника (вышедшего из города А), а $v_2$ — скорость второго путника (вышедшего из города В). Путники встретились через $a$ часов.

За время $a$ до встречи первый путник прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot a$.

За то же время $a$ второй путник прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot a$.

После встречи первому путнику, чтобы добраться до города В, нужно было пройти оставшееся расстояние, которое равно $S_2$. По условию, он затратил на это $b$ часов. Следовательно, $S_2 = v_1 \cdot b$.

Второму путнику, чтобы добраться до города А, нужно пройти расстояние $S_1$. Обозначим время, которое он на это затратит, как $t$. Следовательно, $S_1 = v_2 \cdot t$.

Теперь у нас есть система из двух пар уравнений:

$S_1 = v_1 \cdot a$ и $S_1 = v_2 \cdot t$

$S_2 = v_2 \cdot a$ и $S_2 = v_1 \cdot b$

Приравняем правые части уравнений для $S_1$ и $S_2$:

$v_1 \cdot a = v_2 \cdot t \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{a}$

$v_2 \cdot a = v_1 \cdot b \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$

Поскольку левые части полученных пропорций равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{t}{a} = \frac{a}{b}$

Выразим отсюда искомое время $t$:

$t = \frac{a^2}{b}$

Теперь используем эту общую формулу для решения конкретных пунктов задачи.

а) a = 3, b = 2;

Подставим заданные значения $a=3$ и $b=2$ в нашу формулу:

$t = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ часа.

Ответ: через 4,5 часа.

б) a = 2, b = 3?

Подставим заданные значения $a=2$ и $b=3$ в нашу формулу:

$t = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$ часа.

Это время можно также представить как $1\frac{1}{3}$ часа, или 1 час и 20 минут.

Ответ: через $\frac{4}{3}$ часа.

1054. Два путника вышли одновременно навстречу друг другу из городов A и B и встретились через $a$ часов. Ещё через $b$ часов первый пришёл в город B. Сколько времени второй путник шёл из города B в город A, если:

а) $a = 2, b = 1$;

б) $a = 4, b = 8?$

Для решения задачи сначала выведем общую формулу. Введем следующие обозначения: $S$ – расстояние между городами A и B; $v_1$ – скорость первого путника (из A в B); $v_2$ – скорость второго путника (из B в A); $a$ – время до встречи путников; $b$ – дополнительное время первого путника до города B после встречи; $t_2$ – искомое общее время в пути для второго путника.

До момента встречи первый путник прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot a$, а второй – $S_2 = v_2 \cdot a$. Вместе они прошли все расстояние $S$, поэтому:
$S = S_1 + S_2 = (v_1 + v_2) \cdot a$.

После встречи первому путнику осталось пройти расстояние, которое до встречи прошел второй путник, то есть $S_2$. По условию, он прошел это расстояние за $b$ часов. Следовательно:
$S_2 = v_1 \cdot b$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $S_2$:
$v_2 \cdot a = v_1 \cdot b$.
Отсюда можно выразить соотношение скоростей путников:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$.

Общее время, которое второй путник затратил на весь путь из B в A, равно $t_2 = \frac{S}{v_2}$. Подставим в эту формулу выражение для $S$:
$t_2 = \frac{(v_1 + v_2) \cdot a}{v_2} = (\frac{v_1}{v_2} + 1) \cdot a$.

Теперь подставим найденное соотношение скоростей $\frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$ в выражение для $t_2$:
$t_2 = (\frac{a}{b} + 1) \cdot a = (\frac{a+b}{b}) \cdot a = \frac{a(a+b)}{b}$.
Мы получили общую формулу для нахождения времени второго путника. Теперь решим задачу для конкретных значений.

а) $a = 2, b = 1$

Подставим значения $a=2$ и $b=1$ в выведенную формулу:
$t_2 = \frac{2(2+1)}{1} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6$ часов.

Детальное решение:
Путь, который прошел второй путник до встречи за 2 часа, равен $2v_2$. Этот же путь первый путник прошел после встречи за 1 час, то есть $1v_1$. Приравнивая, получаем $2v_2 = 1v_1$, или $v_1 = 2v_2$.
Общее расстояние $S = (v_1+v_2) \cdot a = (2v_2+v_2) \cdot 2 = 3v_2 \cdot 2 = 6v_2$.
Время в пути для второго путника: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6v_2}{v_2} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.

б) $a = 4, b = 8$

Подставим значения $a=4$ и $b=8$ в выведенную формулу:
$t_2 = \frac{4(4+8)}{8} = \frac{4 \cdot 12}{8} = \frac{48}{8} = 6$ часов.

Детальное решение:
Путь, который прошел второй путник до встречи за 4 часа, равен $4v_2$. Этот же путь первый путник прошел после встречи за 8 часов, то есть $8v_1$. Приравнивая, получаем $4v_2 = 8v_1$, или $v_1 = \frac{4}{8}v_2 = \frac{1}{2}v_2$.
Общее расстояние $S = (v_1+v_2) \cdot a = (\frac{1}{2}v_2+v_2) \cdot 4 = \frac{3}{2}v_2 \cdot 4 = 6v_2$.
Время в пути для второго путника: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6v_2}{v_2} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.

1055. На распродаже товаров цены будут снижены на 25%. Сколько будет стоить товар, цена которого сейчас $a$ р., если:

а) $a = 50$;

б) $a = 120?$

По условию задачи, цены на товары снижены на 25%. Это означает, что новая цена товара составит $100\% - 25\% = 75\%$ от его первоначальной цены $a$.

Чтобы найти 75% от числа, нужно это число умножить на 0,75. Таким образом, новая цена будет равна $a \times 0,75$.

а) Если первоначальная цена товара $a = 50$ р., то его новая цена на распродаже будет:

Способ 1: Нахождение 75% от цены.
$50 \times 0,75 = 37,5$ р.

Способ 2: Вычитание скидки.
1. Сначала найдем размер скидки в рублях, которая составляет 25% от 50 р.:
$50 \times \frac{25}{100} = 50 \times 0,25 = 12,5$ р.
2. Теперь вычтем размер скидки из первоначальной цены:
$50 - 12,5 = 37,5$ р.
Ответ: 37,5 р.

б) Если первоначальная цена товара $a = 120$ р., то его новая цена на распродаже будет:

Способ 1: Нахождение 75% от цены.
$120 \times 0,75 = 90$ р.

Способ 2: Вычитание скидки.
1. Сначала найдем размер скидки в рублях, которая составляет 25% от 120 р.:
$120 \times \frac{25}{100} = 120 \times 0,25 = 30$ р.
2. Теперь вычтем размер скидки из первоначальной цены:
$120 - 30 = 90$ р.
Ответ: 90 р.

1056. Сколько процентов числа $a$ составляет число $b$, если:

а) $a = 40, b = 50$;

б) $a = 50, b = 40?$

а) Чтобы найти, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, необходимо найти отношение числа $b$ к числу $a$ и умножить его на 100%.

Общая формула: $\frac{b}{a} \times 100\%$.

Подставим заданные значения $a = 40$ и $b = 50$:

$\frac{50}{40} \times 100\% = 1,25 \times 100\% = 125\%$.

Таким образом, число 50 составляет 125% от числа 40.

Ответ: 125%

б) Применим ту же формулу для значений $a = 50$ и $b = 40$:

$\frac{40}{50} \times 100\% = 0,8 \times 100\% = 80\%$.

Таким образом, число 40 составляет 80% от числа 50.

Ответ: 80%

1057. Увеличьте число $a$ на $p\%$, уменьшите число $a$ на $p\%$, если:

а) $a = 40, p = 10$;

б) $a = 50, p = 50$.

а)

Даны значения: $a = 40$ и $p = 10$.

1. Увеличим число $a$ на $p\%$.
Чтобы увеличить число на определенный процент, нужно найти это процентное значение от числа и прибавить его к исходному числу. Формула для увеличения числа $a$ на $p\%$ выглядит так: $a_{new} = a + \frac{p}{100} \cdot a = a \cdot (1 + \frac{p}{100})$.
Найдем $10\%$ от $40$:
$40 \cdot \frac{10}{100} = 40 \cdot 0.1 = 4$.
Теперь увеличим число $40$ на полученное значение $4$:
$40 + 4 = 44$.

2. Уменьшим число $a$ на $p\%$.
Чтобы уменьшить число на определенный процент, нужно найти это процентное значение от числа и вычесть его из исходного числа. Формула для уменьшения числа $a$ на $p\%$ выглядит так: $a_{new} = a - \frac{p}{100} \cdot a = a \cdot (1 - \frac{p}{100})$.
$10\%$ от $40$ равно $4$.
Теперь уменьшим число $40$ на $4$:
$40 - 4 = 36$.

Ответ: при увеличении числа 40 на 10% получится 44; при уменьшении числа 40 на 10% получится 36.

б)

Даны значения: $a = 50$ и $p = 50$.

1. Увеличим число $a$ на $p\%$.
Используем формулу для увеличения: $a_{new} = a \cdot (1 + \frac{p}{100})$.
Найдем $50\%$ от $50$:
$50 \cdot \frac{50}{100} = 50 \cdot 0.5 = 25$.
Теперь увеличим число $50$ на $25$:
$50 + 25 = 75$.

2. Уменьшим число $a$ на $p\%$.
Используем формулу для уменьшения: $a_{new} = a \cdot (1 - \frac{p}{100})$.
$50\%$ от $50$ равно $25$.
Теперь уменьшим число $50$ на $25$:
$50 - 25 = 25$.

Ответ: при увеличении числа 50 на 50% получится 75; при уменьшении числа 50 на 50% получится 25.

1058. Увеличьте число $a$ на $p$%. Полученное число увеличьте ещё раз на $p$%, если:

a) $a = 400$, $p = 20$;

б) $a = 200$, $p = 30$.

а) Увеличим число $a = 400$ на $p = 20\%$.

Чтобы найти $p\%$ от числа, нужно это число умножить на $\frac{p}{100}$. Таким образом, $20\%$ от $400$ составляют:

$400 \cdot \frac{20}{100} = 400 \cdot 0.2 = 80$

Увеличиваем число $400$ на $80$:

$400 + 80 = 480$

Теперь полученное число $480$ нужно увеличить еще раз на $20\%$. Найдем $20\%$ от $480$:

$480 \cdot \frac{20}{100} = 480 \cdot 0.2 = 96$

Увеличиваем число $480$ на $96$:

$480 + 96 = 576$

Другой способ решения — это использование формулы сложных процентов. Увеличение числа $a$ на $p\%$ эквивалентно умножению его на коэффициент $(1 + \frac{p}{100})$. Так как увеличение происходит дважды, мы применяем этот коэффициент два раза:

$a_{конечное} = a \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = a \cdot (1 + \frac{p}{100})^2$

Подставим наши значения:

$400 \cdot (1 + \frac{20}{100})^2 = 400 \cdot (1 + 0.2)^2 = 400 \cdot (1.2)^2 = 400 \cdot 1.44 = 576$

Ответ: 576

б) Увеличим число $a = 200$ на $p = 30\%$.

Сначала найдем $30\%$ от $200$:

$200 \cdot \frac{30}{100} = 200 \cdot 0.3 = 60$

Увеличиваем число $200$ на $60$:

$200 + 60 = 260$

Теперь полученное число $260$ увеличиваем еще раз на $30\%$. Найдем $30\%$ от $260$:

$260 \cdot \frac{30}{100} = 260 \cdot 0.3 = 78$

Увеличиваем число $260$ на $78$:

$260 + 78 = 338$

Используем тот же второй способ с формулой:

$a_{конечное} = a \cdot (1 + \frac{p}{100})^2$

Подставим значения для этого пункта:

$200 \cdot (1 + \frac{30}{100})^2 = 200 \cdot (1 + 0.3)^2 = 200 \cdot (1.3)^2 = 200 \cdot 1.69 = 338$

Ответ: 338

1059. Торговец получил товар по оптовой цене $a$ р., увеличил цену на $20\%$. Для проверки он уменьшил новую цену на $20\%$ и удивился, так как не получил прежнего результата. Должен ли получиться прежний результат?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо последовательно выполнить математические операции с ценой товара и сравнить конечный результат с начальным. Ошибка торговца заключается в интуитивном предположении, что увеличение и последующее уменьшение на одинаковый процент должны вернуть исходное значение. Однако это не так, потому что проценты вычисляются от разных базовых сумм.

Должен ли получиться прежний результат?

Давайте проведем расчеты шаг за шагом.

Пусть первоначальная оптовая цена товара равна $a$ рублей.

1. Увеличение цены на 20%

Чтобы увеличить число на 20%, нужно умножить его на 1.2 (что соответствует 100% + 20% = 120%).

Новая цена, назовем ее $P_1$, будет равна:

$P_1 = a \times (1 + \frac{20}{100}) = a \times 1.2 = 1.2a$

Итак, после увеличения цена товара стала $1.2a$.

2. Уменьшение новой цены на 20%

Теперь торговец уменьшает на 20% не первоначальную цену $a$, а новую цену $P_1 = 1.2a$. Это ключевой момент.

Чтобы уменьшить число на 20%, нужно умножить его на 0.8 (что соответствует 100% - 20% = 80%).

Итоговая цена, назовем ее $P_2$, будет равна:

$P_2 = P_1 \times (1 - \frac{20}{100}) = 1.2a \times 0.8 = 0.96a$

3. Сравнение результатов

Первоначальная цена была $a$.

Итоговая цена стала $0.96a$.

Сравнивая эти два значения, мы видим, что $0.96a \neq a$. Более того, итоговая цена оказалась на 4% ниже, чем первоначальная, так как $a - 0.96a = 0.04a$.

Причина в том, что 20% от первоначальной цены $a$ (это $0.2a$) и 20% от увеличенной цены $1.2a$ (это $0.24a$) — это разные по абсолютной величине суммы. Так как база для вычисления скидки была больше, то и сама скидка в денежном выражении оказалась больше, чем первоначальная наценка.

Ответ: Нет, прежний результат получиться не должен. Итоговая цена ($0.96a$) будет на 4% ниже первоначальной цены ($a$), так как процентные изменения применялись к разным базовым значениям.

1060. Увеличьте положительное число $a$ на $p\%$. Полученное число уменьшите на $p\%$. Получится ли снова число $a$? Почему?

Для ответа на этот вопрос выполним последовательно математические операции.

Увеличение положительного числа $a$ на $p$%

Чтобы увеличить число $a$ на $p$%, необходимо к исходному числу прибавить $p$% от него. Величина $p$% от числа $a$ вычисляется как $a \cdot \frac{p}{100}$.

Таким образом, новое число, назовем его $b$, будет равно:

$b = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Уменьшение полученного числа на $p$%

Теперь необходимо уменьшить полученное число $b$ на $p$%. Для этого из числа $b$ нужно вычесть $p$% от него. Величина $p$% от числа $b$ вычисляется как $b \cdot \frac{p}{100}$.

Итоговое число, назовем его $c$, будет равно:

$c = b - b \cdot \frac{p}{100} = b \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Получится ли снова число $a$? Почему?

Чтобы понять, равно ли итоговое число $c$ исходному числу $a$, подставим выражение для $b$ из первого шага в формулу для $c$:

$c = a \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Мы видим выражение, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x=1$ и $y=\frac{p}{100}$.

Применяя формулу, получаем:

$c = a \left(1^2 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) = a \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$

Теперь сравним результат $c$ с исходным числом $a$. Равенство $c = a$ будет верным только в том случае, если множитель $\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$ равен 1. Это возможно, только если $\frac{p^2}{10000} = 0$, то есть при $p=0$.

Поскольку в задаче речь идет об увеличении и уменьшении на определенный процент, подразумевается, что $p > 0$. Если $p > 0$, то $\frac{p^2}{10000}$ также является положительным числом. Следовательно, выражение $\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$ всегда будет меньше 1.

Это означает, что итоговое число $c$ всегда будет меньше исходного числа $a$ (при $a > 0$ и $p > 0$).

Причина этого в том, что база для вычисления процентов меняется. Увеличение на $p$% рассчитывается от исходного числа $a$, а уменьшение на $p$% — от нового, уже увеличенного числа $b$, которое больше, чем $a$. Так как $p$% от большего числа — это большая величина, то вычитаемое значение оказывается больше, чем прибавляемое на первом шаге. В результате итоговое число получается меньше исходного.

Ответ: Нет, снова число $a$ не получится. Итоговое число всегда будет меньше $a$ (при $p>0$), потому что уменьшение на $p$% происходит от большей базы (числа, которое уже было увеличено на $p$%), и в абсолютном выражении это уменьшение оказывается больше, чем первоначальное увеличение.

1061. На сколько процентов число $a$ больше числа $b$, если:

а) $a = 50$, $b = 40$;

б) $a = 80$, $b = 40$?

Чтобы определить, на сколько процентов число $a$ больше числа $b$, нужно найти их разность, разделить эту разность на число $b$ (так как сравнение идет с числом $b$) и затем умножить результат на 100%, чтобы выразить его в процентах. Общая формула выглядит так:

$$ \text{Процентное увеличение} = \frac{a - b}{b} \times 100\% $$

Применим эту формулу для каждого случая.

a) $a = 50$, $b = 40$

1. Сначала найдем, на сколько единиц число $a$ больше числа $b$. Это их разность:

$a - b = 50 - 40 = 10$

2. Теперь разделим полученную разность на число $b$, чтобы узнать, какую долю от $b$ составляет эта разность:

$\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0.25$

3. Наконец, умножим эту долю на 100%, чтобы выразить ее в процентах:

$0.25 \times 100\% = 25\%$

Таким образом, число 50 больше числа 40 на 25%.

Ответ: на 25%.

б) $a = 80$, $b = 40$

1. Найдем разность чисел $a$ и $b$:

$a - b = 80 - 40 = 40$

2. Разделим разность на число $b$:

$\frac{40}{40} = 1$

3. Умножим результат на 100%:

$1 \times 100\% = 100\%$

Таким образом, число 80 больше числа 40 на 100% (то есть в два раза больше).

Ответ: на 100%.