Номер 1060, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1060, страница 260.

Условие.

1060. Увеличьте положительное число $a$ на $p\%$. Полученное число уменьшите на $p\%$. Получится ли снова число $a$? Почему?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для ответа на этот вопрос выполним последовательно математические операции.

Увеличение положительного числа $a$ на $p$%

Чтобы увеличить число $a$ на $p$%, необходимо к исходному числу прибавить $p$% от него. Величина $p$% от числа $a$ вычисляется как $a \cdot \frac{p}{100}$.

Таким образом, новое число, назовем его $b$, будет равно:

$b = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Уменьшение полученного числа на $p$%

Теперь необходимо уменьшить полученное число $b$ на $p$%. Для этого из числа $b$ нужно вычесть $p$% от него. Величина $p$% от числа $b$ вычисляется как $b \cdot \frac{p}{100}$.

Итоговое число, назовем его $c$, будет равно:

$c = b - b \cdot \frac{p}{100} = b \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Получится ли снова число $a$? Почему?

Чтобы понять, равно ли итоговое число $c$ исходному числу $a$, подставим выражение для $b$ из первого шага в формулу для $c$:

$c = a \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{p}{100}\right)$

Мы видим выражение, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x=1$ и $y=\frac{p}{100}$.

Применяя формулу, получаем:

$c = a \left(1^2 - \left(\frac{p}{100}\right)^2\right) = a \left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$

Теперь сравним результат $c$ с исходным числом $a$. Равенство $c = a$ будет верным только в том случае, если множитель $\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$ равен 1. Это возможно, только если $\frac{p^2}{10000} = 0$, то есть при $p=0$.

Поскольку в задаче речь идет об увеличении и уменьшении на определенный процент, подразумевается, что $p > 0$. Если $p > 0$, то $\frac{p^2}{10000}$ также является положительным числом. Следовательно, выражение $\left(1 - \frac{p^2}{10000}\right)$ всегда будет меньше 1.

Это означает, что итоговое число $c$ всегда будет меньше исходного числа $a$ (при $a > 0$ и $p > 0$).

Причина этого в том, что база для вычисления процентов меняется. Увеличение на $p$% рассчитывается от исходного числа $a$, а уменьшение на $p$% — от нового, уже увеличенного числа $b$, которое больше, чем $a$. Так как $p$% от большего числа — это большая величина, то вычитаемое значение оказывается больше, чем прибавляемое на первом шаге. В результате итоговое число получается меньше исходного.

Ответ: Нет, снова число $a$ не получится. Итоговое число всегда будет меньше $a$ (при $p>0$), потому что уменьшение на $p$% происходит от большей базы (числа, которое уже было увеличено на $p$%), и в абсолютном выражении это уменьшение оказывается больше, чем первоначальное увеличение.