Номер 1054, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1054, страница 260.

Условие.

1054. Два путника вышли одновременно навстречу друг другу из городов A и B и встретились через $a$ часов. Ещё через $b$ часов первый пришёл в город B. Сколько времени второй путник шёл из города B в город A, если:

а) $a = 2, b = 1$;

б) $a = 4, b = 8?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи сначала выведем общую формулу. Введем следующие обозначения: $S$ – расстояние между городами A и B; $v_1$ – скорость первого путника (из A в B); $v_2$ – скорость второго путника (из B в A); $a$ – время до встречи путников; $b$ – дополнительное время первого путника до города B после встречи; $t_2$ – искомое общее время в пути для второго путника.

До момента встречи первый путник прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot a$, а второй – $S_2 = v_2 \cdot a$. Вместе они прошли все расстояние $S$, поэтому:
$S = S_1 + S_2 = (v_1 + v_2) \cdot a$.

После встречи первому путнику осталось пройти расстояние, которое до встречи прошел второй путник, то есть $S_2$. По условию, он прошел это расстояние за $b$ часов. Следовательно:
$S_2 = v_1 \cdot b$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $S_2$:
$v_2 \cdot a = v_1 \cdot b$.
Отсюда можно выразить соотношение скоростей путников:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$.

Общее время, которое второй путник затратил на весь путь из B в A, равно $t_2 = \frac{S}{v_2}$. Подставим в эту формулу выражение для $S$:
$t_2 = \frac{(v_1 + v_2) \cdot a}{v_2} = (\frac{v_1}{v_2} + 1) \cdot a$.

Теперь подставим найденное соотношение скоростей $\frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$ в выражение для $t_2$:
$t_2 = (\frac{a}{b} + 1) \cdot a = (\frac{a+b}{b}) \cdot a = \frac{a(a+b)}{b}$.
Мы получили общую формулу для нахождения времени второго путника. Теперь решим задачу для конкретных значений.

а) $a = 2, b = 1$

Подставим значения $a=2$ и $b=1$ в выведенную формулу:
$t_2 = \frac{2(2+1)}{1} = \frac{2 \cdot 3}{1} = 6$ часов.

Детальное решение:
Путь, который прошел второй путник до встречи за 2 часа, равен $2v_2$. Этот же путь первый путник прошел после встречи за 1 час, то есть $1v_1$. Приравнивая, получаем $2v_2 = 1v_1$, или $v_1 = 2v_2$.
Общее расстояние $S = (v_1+v_2) \cdot a = (2v_2+v_2) \cdot 2 = 3v_2 \cdot 2 = 6v_2$.
Время в пути для второго путника: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6v_2}{v_2} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.

б) $a = 4, b = 8$

Подставим значения $a=4$ и $b=8$ в выведенную формулу:
$t_2 = \frac{4(4+8)}{8} = \frac{4 \cdot 12}{8} = \frac{48}{8} = 6$ часов.

Детальное решение:
Путь, который прошел второй путник до встречи за 4 часа, равен $4v_2$. Этот же путь первый путник прошел после встречи за 8 часов, то есть $8v_1$. Приравнивая, получаем $4v_2 = 8v_1$, или $v_1 = \frac{4}{8}v_2 = \frac{1}{2}v_2$.
Общее расстояние $S = (v_1+v_2) \cdot a = (\frac{1}{2}v_2+v_2) \cdot 4 = \frac{3}{2}v_2 \cdot 4 = 6v_2$.
Время в пути для второго путника: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{6v_2}{v_2} = 6$ часов.
Ответ: 6 часов.