Номер 1053, страница 260 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Текстовые задачи. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 1053, страница 260.

Условие.

1053. Два путника вышли одновременно навстречу друг другу из городов $A$ и $B$ и встретились через $a$ часов. Ещё через $b$ часов первый путник пришёл в город $B$. Через сколько часов после встречи второй путник придёт в город $A$, если:

а) $a = 3, b = 2;$

б) $a = 2, b = 3?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнения. Пусть $v_1$ — скорость первого путника (вышедшего из города А), а $v_2$ — скорость второго путника (вышедшего из города В). Путники встретились через $a$ часов.

За время $a$ до встречи первый путник прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot a$.

За то же время $a$ второй путник прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot a$.

После встречи первому путнику, чтобы добраться до города В, нужно было пройти оставшееся расстояние, которое равно $S_2$. По условию, он затратил на это $b$ часов. Следовательно, $S_2 = v_1 \cdot b$.

Второму путнику, чтобы добраться до города А, нужно пройти расстояние $S_1$. Обозначим время, которое он на это затратит, как $t$. Следовательно, $S_1 = v_2 \cdot t$.

Теперь у нас есть система из двух пар уравнений:

$S_1 = v_1 \cdot a$ и $S_1 = v_2 \cdot t$

$S_2 = v_2 \cdot a$ и $S_2 = v_1 \cdot b$

Приравняем правые части уравнений для $S_1$ и $S_2$:

$v_1 \cdot a = v_2 \cdot t \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{a}$

$v_2 \cdot a = v_1 \cdot b \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{a}{b}$

Поскольку левые части полученных пропорций равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{t}{a} = \frac{a}{b}$

Выразим отсюда искомое время $t$:

$t = \frac{a^2}{b}$

Теперь используем эту общую формулу для решения конкретных пунктов задачи.

а) a = 3, b = 2;

Подставим заданные значения $a=3$ и $b=2$ в нашу формулу:

$t = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ часа.

Ответ: через 4,5 часа.

б) a = 2, b = 3?

Подставим заданные значения $a=2$ и $b=3$ в нашу формулу:

$t = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$ часа.

Это время можно также представить как $1\frac{1}{3}$ часа, или 1 час и 20 минут.

Ответ: через $\frac{4}{3}$ часа.