Страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

999. Ищем информацию. Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о С. А. Рачинском и его книге «1001 задача для умственного счёта».

Сергей Александрович Рачинский: учёный и педагог-просветитель

Сергей Александрович Рачинский (1833–1902) — выдающаяся личность в истории русской науки и педагогики XIX века. Изначально он сделал блестящую научную карьеру: окончив естественное отделение физико-математического факультета Московского университета, он стал профессором ботаники, его труды были высоко оценены в научном сообществе, что подтверждается его избранием членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

Однако в 1872 году, в возрасте 39 лет, на пике своей карьеры, Рачинский принимает кардинальное решение, которое определило всю его дальнейшую жизнь. Он оставляет профессуру в Москве и возвращается в своё родовое имение Татево в Смоленской губернии, чтобы посвятить себя делу народного просвещения. Движимый идеями служения простому народу, он на собственные средства строит образцовую сельскую школу с общежитием для крестьянских детей.

Педагогическая система Рачинского была уникальной для своего времени. Он считал, что обучение должно быть неразрывно связано с духовно-нравственным воспитанием на основе православных ценностей. В его школе большое внимание уделялось не только грамоте и счёту, но и церковному пению, трудовому воспитанию и развитию творческих способностей учеников. Рачинский также был активным борцом за народную трезвость, организовывал общества трезвости и своим примером показывал важность здорового образа жизни.

Образ этого удивительного человека и его педагогической деятельности был увековечен его знаменитым учеником, художником Николаем Богдановым-Бельским, в картине «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского». На полотне изображён сам Рачинский, решающий с крестьянскими ребятами сложную арифметическую задачу.

Ответ:

Книга «1001 задача для умственного счёта»

Книга «1001 задача для умственного счёта. Пособие для учителей сельских школ», опубликованная в 1899 году, стала обобщением многолетнего педагогического опыта С. А. Рачинского. Это не просто сборник задач, а целая методическая система, направленная на развитие у детей навыков устного счёта, математической смекалки и логического мышления.

Рачинский был убеждён, что устный счёт — это «гимнастика для ума». Он помогает развить концентрацию внимания, память, быстроту реакции и, что самое важное, позволяет ученикам почувствовать внутреннюю красоту и гармонию чисел, увидеть за формальными правилами живую и увлекательную науку. Поэтому задачи в его книге — это не сухие примеры, а интересные арифметические головоломки, часто облечённые в форму, близкую и понятную крестьянским детям: они связаны с сельским бытом, календарём, природой.

Особенность задач Рачинского в том, что они часто построены на свойствах чисел и элегантных вычислительных приёмах, а не на механическом счёте. Это учит детей искать нестандартные пути решения. Классическим примером является та самая задача, которую решают ученики на картине Богданова-Бельского:

Вычислить: $\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}$

Решение этой задачи в уме требует последовательных действий:
1. Возводим числа в квадрат: $10^2 = 100$; $11^2 = 121$; $12^2 = 144$; $13^2 = 169$; $14^2 = 196$.
2. Суммируем полученные результаты: $100 + 121 + 144 + 169 + 196 = 730$.
3. Делим сумму на 365: $\frac{730}{365} = 2$.

Многие задачи в сборнике рассчитаны на использование удобных приёмов счёта, например, формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Например, чтобы устно вычислить $47 \times 53$, можно представить это как $(50-3)(50+3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

Книга Рачинского и его педагогические методы не утратили своей актуальности и сегодня, они служат прекрасным примером того, как можно сделать уроки математики по-настоящему живыми, развивающими и полезными для жизни.

Ответ:

1000. Скорость течения реки 2,5 км/ч. За сколько часов катер, имеющий собственную скорость 20 км/ч, проплывёт расстояние между пристанями 12,6 км туда и обратно?

Для решения задачи нужно вычислить время, которое катер затратит на путь по течению реки и на путь против течения, а затем сложить полученные значения.

1. Найдем скорость катера по течению реки и время в пути.
Когда катер плывет по течению, его скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.
$V_{по\;теч.} = V_{собств.} + V_{теч.} = 20\;км/ч + 2,5\;км/ч = 22,5\;км/ч$.
Теперь найдем время, которое катер затратит на путь по течению, используя формулу $t = S / V$ :
$t_{по\;теч.} = \frac{12,6\;км}{22,5\;км/ч} = 0,56\;ч$.

2. Найдем скорость катера против течения реки и время в пути.
Когда катер плывет против течения, его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения реки.
$V_{против\;теч.} = V_{собств.} - V_{теч.} = 20\;км/ч - 2,5\;км/ч = 17,5\;км/ч$.
Найдем время, которое катер затратит на обратный путь:
$t_{против\;теч.} = \frac{12,6\;км}{17,5\;км/ч} = 0,72\;ч$.

3. Найдем общее время в пути.
Чтобы найти общее время, которое катер потратит на путь туда и обратно, сложим время движения по течению и против течения.
$t_{общ.} = t_{по\;теч.} + t_{против\;теч.} = 0,56\;ч + 0,72\;ч = 1,28\;ч$.

Ответ: 1,28 часа.

1001. Скорость лодки по течению 12 км/ч, а против течения 9 км/ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость лодки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_л$ — это собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), а $v_т$ — скорость течения реки.

Когда лодка движется по течению, ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения. По условию, эта скорость составляет 12 км/ч. Получаем первое уравнение:

$v_л + v_т = 12$

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения. По условию, эта скорость равна 9 км/ч. Получаем второе уравнение:

$v_л - v_т = 9$

Таким образом, у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_л + v_т = 12 \\ v_л - v_т = 9 \end{cases}$

Решив эту систему, мы найдем искомые скорости.

Скорость течения реки

Чтобы найти скорость течения реки, вычтем второе уравнение системы из первого:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 12 - 9$

$v_л + v_т - v_л + v_т = 3$

$2v_т = 3$

$v_т = \frac{3}{2} = 1,5$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 1,5 км/ч.

Собственная скорость лодки

Чтобы найти собственную скорость лодки, сложим оба уравнения системы:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 12 + 9$

$2v_л = 21$

$v_л = \frac{21}{2} = 10,5$ км/ч.

Также можно было подставить найденное значение $v_т = 1,5$ км/ч в первое уравнение:

$v_л + 1,5 = 12$

$v_л = 12 - 1,5 = 10,5$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 10,5 км/ч.

1002. a) Расстояние, равное 42 км, лодка проплывает по течению за 1,4 ч, а против течения за 1,6 ч. Какова скорость течения реки и собственная скорость лодки?

б) Расстояние между пристанями, равное 42 км, теплоход проходит по течению за 1,2 ч, а против течения за 1,4 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

Обозначим собственную скорость лодки как $v_л$, а скорость течения реки как $v_т$. Расстояние $S$ равно 42 км.

Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$.

Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_л - v_т$.

Используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, найдем скорость лодки по течению и против течения.

Скорость по течению:

$v_{по} = \frac{42 \text{ км}}{1.4 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$

Скорость против течения:

$v_{пр} = \frac{42 \text{ км}}{1.6 \text{ ч}} = 26.25 \text{ км/ч}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$v_л + v_т = 30$

$v_л - v_т = 26.25$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти собственную скорость лодки:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) = 30 + 26.25$

$2v_л = 56.25$

$v_л = \frac{56.25}{2} = 28.125 \text{ км/ч}$

Теперь подставим найденное значение $v_л$ в первое уравнение, чтобы найти скорость течения:

$28.125 + v_т = 30$

$v_т = 30 - 28.125 = 1.875 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость течения реки равна 1.875 км/ч, а собственная скорость лодки — 28.125 км/ч.

Обозначим собственную скорость теплохода как $v_т$, а скорость течения реки как $v_{теч}$. Расстояние $S$ равно 42 км.

Сначала найдем скорость течения реки. Для этого определим скорость теплохода по течению и против течения.

Скорость по течению:

$v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{42 \text{ км}}{1.2 \text{ ч}} = 35 \text{ км/ч}$

Скорость против течения:

$v_{пр} = \frac{S}{t_{пр}} = \frac{42 \text{ км}}{1.4 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$

Скорость по течению равна $v_т + v_{теч}$, а скорость против течения равна $v_т - v_{теч}$. Получаем систему уравнений:

$v_т + v_{теч} = 35$

$v_т - v_{теч} = 30$

Чтобы найти скорость течения $v_{теч}$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_т + v_{теч}) - (v_т - v_{теч}) = 35 - 30$

$2v_{теч} = 5$

$v_{теч} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ км/ч}$

Плоты не имеют собственной скорости, поэтому они плывут со скоростью течения реки. Значит, скорость плотов равна $2.5$ км/ч.

Теперь найдем, за сколько часов плоты проплывут расстояние 42 км:

$t_{плотов} = \frac{S}{v_{теч}} = \frac{42 \text{ км}}{2.5 \text{ км/ч}} = \frac{420}{25} = 16.8 \text{ ч}$

Ответ: Плоты проплывут это расстояние за 16.8 часов.

1003. Старинная задача. Некто, отправляясь в лавку, взял с собой 10 р. Если бы он издержал ещё четверть тех денег, которые у него остались после покупки, то у него от взятых с собой денег осталось бы только 75 к. Сколько он издержал?

Для решения задачи переведем все денежные суммы в одну единицу измерения — копейки. В одном рубле 100 копеек.

Изначальная сумма: $10 \text{ р.} = 10 \cdot 100 \text{ к.} = 1000 \text{ к.}$

Оставшаяся по условию сумма: $75 \text{ к.}$

Будем решать задачу с конца. Пусть $x$ — это сумма денег, которая осталась у некто после покупки.

По условию, если бы он потратил еще четверть от этой оставшейся суммы ($ \frac{1}{4}x $), то у него осталось бы 75 к. Это означает, что 75 к. составляют оставшиеся три четверти от суммы $x$.

Математически это можно записать так:

$x - \frac{1}{4}x = 75$

$\frac{3}{4}x = 75$

Теперь найдем, какая сумма осталась у него после покупки на самом деле:

$x = 75 \cdot \frac{4}{3}$

$x = 25 \cdot 4$

$x = 100 \text{ к.}$

Итак, после покупки у него осталось 100 копеек, или 1 рубль.

Чтобы найти, сколько денег он издержал, нужно из первоначальной суммы вычесть оставшуюся сумму:

$1000 \text{ к.} - 100 \text{ к.} = 900 \text{ к.}$

Переведем результат обратно в рубли:

$900 \text{ к.} = 9 \text{ р.}$

Ответ: 9 р.

1004. Дачник пришёл от дачи на станцию за 13 мин до отхода поезда. Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин больше, то пришёл бы за 1 мин до отправления поезда. Далеко ли от станции живёт дачник?

Обозначим искомое расстояние от дачи до станции через $S$ (в километрах).
Пусть $t$ — это время в минутах, которое дачник тратил на прохождение одного километра в первом случае. Тогда общее время, затраченное на дорогу, составляет $T_1 = S \cdot t$ минут.

По условию, если бы дачник тратил на каждый километр на 3 минуты больше, то время на прохождение одного километра составило бы $t + 3$ минуты. В этом случае общее время в пути было бы $T_2 = S \cdot (t + 3)$ минут.

В первом случае дачник пришел за 13 минут до отправления поезда, а во втором (гипотетическом) — за 1 минуту до отправления. Это значит, что второй путь занял бы на $13 - 1 = 12$ минут больше, чем первый.
Следовательно, мы можем записать разницу во времени:
$T_2 - T_1 = 12$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $T_1$ и $T_2$ и решим его относительно $S$:
$S \cdot (t + 3) - S \cdot t = 12$
$S \cdot t + 3S - S \cdot t = 12$
$3S = 12$
$S = \frac{12}{3}$
$S = 4$

Таким образом, расстояние от дачи до станции равно 4 км.

Ответ: дачник живет на расстоянии 4 км от станции.

1005. Старинная задача. Если предположить, что лошадь бежит втрое медленнее поезда железной дороги, то она будет от него отставать на одну версту каждые 3 мин. Определите скорость поезда. Выразите ответ в километрах в час с точностью до десятых. (1 верста $ \approx 1,067 $ км.)

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_п$ — скорость поезда, $v_л$ — скорость лошади.

Из условия задачи известно, что лошадь бежит втрое медленнее поезда. Это можно записать в виде формулы:

$v_л = \frac{v_п}{3}$

Также в условии сказано, что лошадь отстает от поезда на одну версту каждые 3 минуты. Это означает, что разница скоростей поезда и лошади (так называемая скорость отставания) составляет 1 версту за 3 минуты. Найдем скорость отставания, выразив ее через скорость поезда:

$v_{отст} = v_п - v_л = v_п - \frac{v_п}{3} = \frac{3v_п - v_п}{3} = \frac{2}{3}v_п$

С другой стороны, скорость отставания можно вычислить напрямую из данных задачи:

$v_{отст} = \frac{1 \text{ верста}}{3 \text{ мин}} = \frac{1}{3} \frac{\text{верст}}{\text{мин}}$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для скорости отставания, чтобы найти скорость поезда $v_п$ в верстах в минуту:

$\frac{2}{3}v_п = \frac{1}{3} \frac{\text{верст}}{\text{мин}}$

Домножим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$2v_п = 1 \frac{\text{верста}}{\text{мин}}$

Выразим отсюда скорость поезда:

$v_п = \frac{1}{2} \frac{\text{верст}}{\text{мин}} = 0.5 \frac{\text{верст}}{\text{мин}}$

Скорость поезда составляет 0,5 версты в минуту. Теперь необходимо выразить эту скорость в километрах в час, используя данные из условия: 1 верста ≈ 1,067 км, а в 1 часе 60 минут.

Переведем скорость из "верст в минуту" в "километры в час". Для этого умножим значение скорости на коэффициент перевода верст в километры и на количество минут в часе:

$v_п = 0.5 \frac{\text{верст}}{\text{мин}} \cdot 1.067 \frac{\text{км}}{\text{верста}} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}}$

Выполним вычисления:

$v_п = 0.5 \cdot 1.067 \cdot 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 30 \cdot 1.067 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 32.01 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Согласно условию, ответ нужно выразить с точностью до десятых. Округляем полученное значение:

$32.01 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \approx 32.0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: 32,0 км/ч.

1006. От Москвы до Курска $537 \text{ км}$. Из Москвы в Курск вышел поезд со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Через $6 \text{ ч}$, в $20 \text{ ч } 55 \text{ мин}$, на промежуточной станции первый поезд встретился с поездом, вышедшим из Курска в Москву в $17 \text{ ч } 55 \text{ мин}$. Определите, с какой скоростью двигался до встречи второй поезд.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных вычислений.

1. Найдем расстояние, которое проехал первый поезд (из Москвы в Курск) до момента встречи. Известно, что его скорость $v_1 = 60$ км/ч, и он находился в пути $t_1 = 6$ часов. Расстояние $S_1$, пройденное первым поездом, вычисляется по формуле:

$S_1 = v_1 \times t_1 = 60 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 360$ км.

2. Теперь определим расстояние, которое проехал второй поезд (из Курска в Москву) до встречи. Общее расстояние между городами составляет $S_{общ} = 537$ км. Так как поезда двигались навстречу друг другу с разных концов пути, расстояние, пройденное вторым поездом $S_2$, равно разности общего расстояния и пути, пройденного первым поездом:

$S_2 = S_{общ} - S_1 = 537 \text{ км} - 360 \text{ км} = 177$ км.

3. Далее вычислим, сколько времени второй поезд был в пути до встречи. Он выехал из Курска в 17 ч 55 мин, а встреча произошла в 20 ч 55 мин. Время в пути второго поезда $t_2$ равно:

$t_2 = 20 \text{ ч } 55 \text{ мин} - 17 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 3$ часа.

4. Наконец, зная расстояние ($S_2 = 177$ км) и время ($t_2 = 3$ ч), которые преодолел второй поезд, мы можем рассчитать его скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{177 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 59$ км/ч.

Ответ: скорость второго поезда до встречи была 59 км/ч.

1007. К приезду начальника на станцию обычно присылают машину. Приехал он однажды на час раньше, пошёл пешком и, встретив посланную за ним машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз скорость машины больше скорости начальника?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, за счет чего была сэкономлена часть времени. Начальник прибыл на место назначения на 10 минут раньше обычного. Эта экономия времени в 10 минут возникла из-за того, что автомобилю не пришлось ехать от точки встречи с начальником до станции и обратно.

Обозначим место встречи начальника и машины как точку M.

Таким образом, сэкономленные 10 минут – это время, которое машина потратила бы на путь от точки М до станции и обратно до точки М. Следовательно, путь в одну сторону, от точки М до станции, машина проезжает за половину этого времени:

$t_{машины} = 10 \text{ мин} / 2 = 5 \text{ минут}$

Машина выезжает по обычному расписанию, чтобы встретить начальника на станции в запланированное время. Встреча с начальником произошла на 5 минут раньше, чем машина должна была прибыть на станцию.

Начальник же приехал на станцию на 1 час (60 минут) раньше и сразу пошел пешком в сторону места назначения. Он шел до тех пор, пока не встретил машину.

Время, которое начальник шел пешком, можно рассчитать как разницу между его ранним прибытием и временем, оставшимся машине до планового прибытия на станцию:

$t_{начальника} = 60 \text{ минут} - 5 \text{ минут} = 55 \text{ минут}$

За эти 55 минут начальник прошел пешком расстояние от станции до точки встречи М. Машина то же самое расстояние (от точки М до станции) проезжает за 5 минут.

Пусть $S$ – это расстояние от станции до точки М, $v_м$ – скорость машины, а $v_н$ – скорость начальника. Тогда мы можем записать:

$S = v_н \cdot 55 \text{ мин}$

$S = v_м \cdot 5 \text{ мин}$

Поскольку расстояния равны, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$v_н \cdot 55 = v_м \cdot 5$

Теперь найдем, во сколько раз скорость машины больше скорости начальника, то есть найдем отношение $\frac{v_м}{v_н}$:

$\frac{v_м}{v_н} = \frac{55}{5} = 11$

Ответ: Скорость машины больше скорости начальника в 11 раз.

1008. а) Найдите $\frac{3}{4}$ от числа 324.

б) Найдите число, $\frac{3}{4}$ которого равны 324.

в) Какую часть числа 450 составляет число 180?

а) Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить это число на данную дробь. Для нахождения $\frac{3}{4}$ от числа 324, выполним умножение:
$324 \cdot \frac{3}{4} = \frac{324 \cdot 3}{4}$
Можно сначала разделить 324 на 4, а затем умножить на 3:
$324 \div 4 = 81$
$81 \cdot 3 = 243$
Таким образом, $\frac{3}{4}$ от числа 324 равны 243.
Ответ: 243.

б) Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на данную дробь. Нам дано, что $\frac{3}{4}$ искомого числа равны 324. Для нахождения всего числа, разделим 324 на $\frac{3}{4}$. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь ($\frac{4}{3}$).
$324 \div \frac{3}{4} = 324 \cdot \frac{4}{3} = \frac{324 \cdot 4}{3}$
Можно сначала разделить 324 на 3, а затем умножить на 4:
$324 \div 3 = 108$
$108 \cdot 4 = 432$
Следовательно, искомое число равно 432.
Ответ: 432.

в) Чтобы выяснить, какую часть одно число составляет от другого, необходимо составить их отношение, то есть разделить первое число на второе. В данном случае нужно найти отношение 180 к 450, что можно записать в виде дроби:
$\frac{180}{450}$
Теперь необходимо сократить эту дробь. Сначала можно сократить на 10, убрав по нулю в числителе и знаменателе:
$\frac{180}{450} = \frac{18}{45}$
Далее, заметим, что и 18, и 45 делятся на 9. Сократим дробь на 9:
$\frac{18 \div 9}{45 \div 9} = \frac{2}{5}$
Значит, число 180 составляет $\frac{2}{5}$ от числа 450.
Ответ: $\frac{2}{5}$.