Страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем (959–960).

959. В «Арифметике» Диофанта (III в.) содержится много тождеств. Докажите два из них, данные в современной записи:

а) $ \frac{144}{x^4 - 60x^2 + 900} \cdot 30 + \frac{60}{x^2 - 30} = \frac{60x^2 + 2520}{x^4 - 60x^2 + 900} $

б) $ \frac{96}{x^4 - 12x^2 + 36} - \frac{12}{6 - x^2} = \frac{12x^2 + 24}{x^4 - 12x^2 + 36} $

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{144}{x^4 - 60x^2 + 900} \cdot 30 + \frac{60}{x^2 - 30} $.

Сначала заметим, что знаменатель $x^4 - 60x^2 + 900$ является полным квадратом разности. Используя формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^4 - 60x^2 + 900 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 30 + 30^2 = (x^2 - 30)^2$.

Теперь подставим это выражение в левую часть и выполним умножение:

$ \frac{144 \cdot 30}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60}{x^2 - 30} = \frac{4320}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60}{x^2 - 30} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2 - 30)^2$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x^2 - 30)$:

$ \frac{4320}{(x^2 - 30)^2} + \frac{60 \cdot (x^2 - 30)}{(x^2 - 30) \cdot (x^2 - 30)} = \frac{4320 + 60(x^2 - 30)}{(x^2 - 30)^2} $.

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{4320 + 60x^2 - 1800}{(x^2 - 30)^2} = \frac{60x^2 + 2520}{(x^2 - 30)^2} $.

Раскрыв квадрат в знаменателе, мы получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:

$ \frac{60x^2 + 2520}{x^4 - 60x^2 + 900} $.

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{96}{x^4 - 12x^2 + 36} - \frac{12}{6 - x^2} $.

Знаменатель первой дроби $x^4 - 12x^2 + 36$ также является полным квадратом:

$x^4 - 12x^2 + 36 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 6 + 6^2 = (x^2 - 6)^2$.

Знаменатель второй дроби преобразуем, вынеся знак минус за скобки: $6 - x^2 = -(x^2 - 6)$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$ \frac{96}{(x^2 - 6)^2} - \frac{12}{-(x^2 - 6)} = \frac{96}{(x^2 - 6)^2} + \frac{12}{x^2 - 6} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^2 - 6)^2$, домножив вторую дробь на $(x^2 - 6)$:

$ \frac{96}{(x^2 - 6)^2} + \frac{12 \cdot (x^2 - 6)}{(x^2 - 6) \cdot (x^2 - 6)} = \frac{96 + 12(x^2 - 6)}{(x^2 - 6)^2} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{96 + 12x^2 - 72}{(x^2 - 6)^2} = \frac{12x^2 + 24}{(x^2 - 6)^2} $.

Заменив знаменатель на исходное выражение $(x^2 - 6)^2 = x^4 - 12x^2 + 36$, мы получаем правую часть тождества:

$ \frac{12x^2 + 24}{x^4 - 12x^2 + 36} $.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

960. Докажите тождество Л. Эйлера:

$a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3$

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся слагаемое $\left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3$ из левой части в правую, изменив его знак.

Исходное тождество: $ a^3 + b^3 + \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $

После преобразования получим: $ a^3 + b^3 = \left(\frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 - \left(\frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3}\right)^3 $

Теперь докажем это равенство, упростив его правую часть (ПЧ). Объединим члены в правой части, используя общий знаменатель $(a^3 - b^3)^3$:

$ ПЧ = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $

Для упрощения вычислений в числителе введем замену: пусть $x = a^3$ и $y = b^3$. Тогда выражение в числителе (обозначим его $N$) примет вид:

$ N = x(x + 2y)^3 - y(2x + y)^3 $

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3cd^2 + d^3$, и приведем подобные слагаемые:

$ N = x(x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3) - y(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3) $
$ N = (x^4 + 6x^3y + 12x^2y^2 + 8xy^3) - (8x^3y + 12x^2y^2 + 6xy^3 + y^4) $
$ N = x^4 + 6x^3y - 8x^3y + 12x^2y^2 - 12x^2y^2 + 8xy^3 - 6xy^3 - y^4 $
$ N = x^4 - 2x^3y + 2xy^3 - y^4 $

Сгруппируем слагаемые и разложим полученное выражение на множители:

$ N = (x^4 - y^4) - (2x^3y - 2xy^3) $
$ N = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) - 2xy(x^2 - y^2) $
$ N = (x^2 - y^2)(x^2 - 2xy + y^2) $
$ N = (x - y)(x + y)(x - y)^2 = (x + y)(x - y)^3 $

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $x = a^3$ и $y = b^3$:

$ N = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3 $

Подставим это выражение обратно в правую часть равенства:

$ ПЧ = \frac{(a^3 + b^3)(a^3 - b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} $

При условии, что $ a^3 - b^3 \neq 0 $ (что необходимо для существования исходных дробей), мы можем сократить дробь на $ (a^3 - b^3)^3 $:

$ ПЧ = a^3 + b^3 $

Мы получили, что правая часть преобразованного тождества равна его левой части ($a^3 + b^3$). Следовательно, исходное тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

961. При каких значениях букв данная дробь равна нулю:

а) $\frac{x}{x^2 + 2}$;

б) $\frac{6m}{m - 8}$;

в) $\frac{a - 4}{a + 1}$;

г) $\frac{2y - 5}{y^2}$;

д) $\frac{3x + 7}{2x - 5}$;

е) $\frac{6 - 9x}{5 + 4x}$?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\frac{A}{B} = 0 \iff \begin{cases} A = 0 \\ B \neq 0 \end{cases}$

Применим это правило для каждой из данных дробей.

а) $\frac{x}{x^2 + 2}$

1. Приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможные значения $x$:

$x = 0$

2. Проверим, что при этом значении $x$ знаменатель не обращается в ноль:

$x^2 + 2 \neq 0$

Подставим $x=0$ в знаменатель: $0^2 + 2 = 2$.

Так как $2 \neq 0$, условие выполняется. Стоит отметить, что знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше или равен 2, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, поэтому знаменатель никогда не может быть равен нулю.

Следовательно, дробь равна нулю только при $x=0$.

Ответ: $x = 0$.

б) $\frac{6m}{m - 8}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$6m = 0$

$m = 0$

2. Проверим, что при $m=0$ знаменатель не равен нулю:

$m - 8 \neq 0$

Подставляем $m=0$: $0 - 8 = -8$.

Так как $-8 \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $m = 0$.

в) $\frac{a - 4}{a + 1}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$a - 4 = 0$

$a = 4$

2. Проверим, что при $a=4$ знаменатель не равен нулю:

$a + 1 \neq 0$

Подставляем $a=4$: $4 + 1 = 5$.

Так как $5 \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $a = 4$.

г) $\frac{2y - 5}{y^2}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$2y - 5 = 0$

$2y = 5$

$y = \frac{5}{2}$ или $y = 2.5$

2. Проверим, что при $y=\frac{5}{2}$ знаменатель не равен нулю:

$y^2 \neq 0$

Подставляем $y=\frac{5}{2}$: $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.

Так как $\frac{25}{4} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $y = \frac{5}{2}$.

д) $\frac{3x + 7}{2x - 5}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$3x + 7 = 0$

$3x = -7$

$x = -\frac{7}{3}$

2. Проверим, что при $x=-\frac{7}{3}$ знаменатель не равен нулю:

$2x - 5 \neq 0$

Подставляем $x=-\frac{7}{3}$: $2(-\frac{7}{3}) - 5 = -\frac{14}{3} - 5 = -\frac{14}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{29}{3}$.

Так как $-\frac{29}{3} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $x = -\frac{7}{3}$.

е) $\frac{6 - 9x}{5 + 4x}$

1. Приравняем числитель к нулю:

$6 - 9x = 0$

$6 = 9x$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

2. Проверим, что при $x=\frac{2}{3}$ знаменатель не равен нулю:

$5 + 4x \neq 0$

Подставляем $x=\frac{2}{3}$: $5 + 4(\frac{2}{3}) = 5 + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} + \frac{8}{3} = \frac{23}{3}$.

Так как $\frac{23}{3} \neq 0$, условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

Найдите значение выражения (962–963):

962. а) $\frac{7}{5a+5} - \frac{3}{10a+10}$ при $a = 10$;

б) $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{7}{5a+5} - \frac{3}{10a+10}$ при $a = 10$, сначала упростим его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатели на множители:

$5a+5 = 5(a+1)$

$10a+10 = 10(a+1)$

2. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — $10(a+1)$.

3. Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{7}{5(a+1)} = \frac{7 \cdot 2}{5(a+1) \cdot 2} = \frac{14}{10(a+1)}$

4. Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{14}{10(a+1)} - \frac{3}{10(a+1)} = \frac{14-3}{10(a+1)} = \frac{11}{10(a+1)}$

5. Подставим значение $a=10$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{11}{10(10+1)} = \frac{11}{10 \cdot 11} = \frac{11}{110}$

6. Сократим дробь:

$\frac{11}{110} = \frac{1}{10} = 0,1$

Ответ: $0,1$.

б)

Чтобы найти значение выражения $\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{2a-4a^2}$ при $a = -\frac{1}{2}$, сначала упростим его.

1. Разложим на множители знаменатель третьей дроби:

$2a-4a^2 = 2a(1-2a) = -2a(2a-1)$

2. Перепишем исходное выражение, изменив знак у третьей дроби:

$\frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} - \frac{1}{-2a(2a-1)} = \frac{2a-1}{2a} - \frac{2a}{2a-1} + \frac{1}{2a(2a-1)}$

3. Общим знаменателем является выражение $2a(2a-1)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{(2a-1)(2a-1)}{2a(2a-1)} - \frac{2a \cdot 2a}{2a(2a-1)} + \frac{1}{2a(2a-1)}$

4. Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:

$\frac{(2a-1)^2 - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{(4a^2 - 4a + 1) - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 1}{2a(2a-1)} = \frac{-4a+2}{2a(2a-1)}$

5. Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(2a-1)}{2a(2a-1)}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(2a-1)$, при условии, что $2a-1 \neq 0$. При $a = -\frac{1}{2}$, это условие выполняется. Также сократим на 2:

$\frac{-2}{2a} = -\frac{1}{a}$

7. Теперь подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$-\frac{1}{a} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = - (1 \cdot (-2)) = -(-2) = 2$

Ответ: $2$.

963. а) $(\frac{x-2}{x^2-2x+4} - \frac{6x-13}{x^3+8}) : \frac{15-5x}{2x^3+16}$ при $x = 3,5$;

б) $(\frac{x-1}{x^2-x+1} + \frac{4x+5}{x^3+1}) : \frac{2-x}{4x^2-4x+4}$ при $x = 0,6$;

В) $\frac{8a^3-27b^3}{(3b+2a)^2-6ab}$ при $a = 2,5$; $b = -1\frac{2}{3}$;

Г) $\frac{64a^3+8b^3}{(2a-b)^2+2ab}$ при $a = -0,25$; $b = 1\frac{7}{8}$.

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{x-2}{x^2-2x+4} - \frac{6x-13}{x^3+8} $.

Заметим, что знаменатель второй дроби является суммой кубов: $x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x^2-2x+4)$:

$ \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)} - \frac{6x-13}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{x^2-4 - (6x-13)}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{x^2-4-6x+13}{x^3+8} = \frac{x^2-6x+9}{x^3+8} $.

Числитель полученной дроби является полным квадратом: $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(x-3)^2}{x^3+8} $.

2. Выполним деление: $ \left( \frac{(x-3)^2}{x^3+8} \right) : \frac{15-5x}{2x^3+16} $.

Упростим делитель: $ \frac{15-5x}{2x^3+16} = \frac{5(3-x)}{2(x^3+8)} = \frac{-5(x-3)}{2(x^3+8)} $.

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$ \frac{(x-3)^2}{x^3+8} \cdot \frac{2(x^3+8)}{-5(x-3)} $.

Сокращаем общие множители $(x-3)$ и $(x^3+8)$:

$ \frac{x-3}{1} \cdot \frac{2}{-5} = -\frac{2(x-3)}{5} $.

3. Подставим значение $x = 3,5$ в упрощенное выражение:

$ -\frac{2(3,5-3)}{5} = -\frac{2 \cdot 0,5}{5} = -\frac{1}{5} = -0,2 $.

Ответ: -0,2.

б)

Сначала упростим данное выражение. Для этого выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Упростим выражение в скобках: $ \frac{x-1}{x^2-x+1} + \frac{4x+5}{x^3+1} $.

Знаменатель второй дроби является суммой кубов: $x^3+1 = x^3+1^3 = (x+1)(x^2-x+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x^2-x+1)$:

$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4x+5}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2-1 + 4x+5}{x^3+1} = \frac{x^2+4x+4}{x^3+1} $.

Числитель полученной дроби является полным квадратом: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$.

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(x+2)^2}{x^3+1} $.

2. Выполним деление: $ \left( \frac{(x+2)^2}{x^3+1} \right) : \frac{2-x}{4x^2-4x+4} $.

Упростим делитель: $ \frac{2-x}{4x^2-4x+4} = \frac{2-x}{4(x^2-x+1)} $.

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$ \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{4(x^2-x+1)}{2-x} $.

Сокращаем общий множитель $(x^2-x+1)$:

$ \frac{4(x+2)^2}{(x+1)(2-x)} $.

3. Подставим значение $x = 0,6 = \frac{3}{5}$ в упрощенное выражение:

$ \frac{4(\frac{3}{5}+2)^2}{(\frac{3}{5}+1)(2-\frac{3}{5})} = \frac{4(\frac{3+10}{5})^2}{(\frac{3+5}{5})(\frac{10-3}{5})} = \frac{4(\frac{13}{5})^2}{(\frac{8}{5})(\frac{7}{5})} = \frac{4 \cdot \frac{169}{25}}{\frac{56}{25}} = \frac{4 \cdot 169}{25} \cdot \frac{25}{56} = \frac{4 \cdot 169}{56} = \frac{169}{14} = 12\frac{1}{14} $.

Ответ: $12\frac{1}{14}$.

в)

Сначала упростим данное выражение $ \frac{8a^3-27b^3}{(3b+2a)^2-6ab} $.

1. Разложим числитель по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$ 8a^3-27b^3 = (2a)^3 - (3b)^3 = (2a-3b)((2a)^2 + 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2) $.

2. Раскроем скобки и упростим знаменатель:

$ (3b+2a)^2-6ab = (9b^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2a + 4a^2) - 6ab = 9b^2 + 12ab + 4a^2 - 6ab = 4a^2+6ab+9b^2 $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим:

$ \frac{(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)}{4a^2+6ab+9b^2} = 2a-3b $.

4. Подставим значения $a = 2,5$ и $b = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$ в упрощенное выражение:

$ 2a-3b = 2 \cdot 2,5 - 3 \cdot (-\frac{5}{3}) = 5 + 5 = 10 $.

Ответ: 10.

г)

Сначала упростим данное выражение $ \frac{64a^3+8b^3}{(2a-b)^2+2ab} $.

1. Разложим числитель по формуле суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$. Вынесем общий множитель 8:

$ 64a^3+8b^3 = 8(8a^3+b^3) = 8((2a)^3+b^3) = 8(2a+b)((2a)^2 - 2a \cdot b + b^2) = 8(2a+b)(4a^2-2ab+b^2) $.

2. Раскроем скобки и упростим знаменатель:

$ (2a-b)^2+2ab = (4a^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2) + 2ab = 4a^2 - 4ab + b^2 + 2ab = 4a^2-2ab+b^2 $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим:

$ \frac{8(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)}{4a^2-2ab+b^2} = 8(2a+b) = 16a+8b $.

4. Подставим значения $a = -0,25 = -\frac{1}{4}$ и $b = 1\frac{7}{8} = \frac{15}{8}$ в упрощенное выражение:

$ 16a+8b = 16 \cdot (-\frac{1}{4}) + 8 \cdot \frac{15}{8} = -4 + 15 = 11 $.

Ответ: 11.

Решите уравнение (964—977):

964. а) $x - 11 = 17;$

б) $6 + x = 2;$

в) $12 + x = -6;$

г) $x + 13 = 5;$

д) $7x = -14;$

е) $-17x = 51;$

ж) $6x = 7;$

з) $2x = -13;$

и) $-x = 2.$

а) Дано уравнение $x - 11 = 17$.

В этом уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (17) прибавить вычитаемое (11). Или, что то же самое, перенесем $-11$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный.

$x = 17 + 11$

$x = 28$

Проверка: $28 - 11 = 17$. Верно.

Ответ: $28$

б) Дано уравнение $6 + x = 2$.

Здесь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (2) вычесть известное слагаемое (6).

$x = 2 - 6$

$x = -4$

Проверка: $6 + (-4) = 6 - 4 = 2$. Верно.

Ответ: $-4$

в) Дано уравнение $12 + x = -6$.

$x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, вычтем из суммы ($-6$) известное слагаемое (12).

$x = -6 - 12$

$x = -18$

Проверка: $12 + (-18) = 12 - 18 = -6$. Верно.

Ответ: $-18$

г) Дано уравнение $x + 13 = 5$.

$x$ — неизвестное слагаемое. Находим его, вычитая из суммы (5) известное слагаемое (13).

$x = 5 - 13$

$x = -8$

Проверка: $-8 + 13 = 5$. Верно.

Ответ: $-8$

д) Дано уравнение $7x = -14$.

Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($-14$) разделить на известный множитель (7).

$x = \frac{-14}{7}$

$x = -2$

Проверка: $7 \cdot (-2) = -14$. Верно.

Ответ: $-2$

е) Дано уравнение $-17x = 51$.

$x$ — неизвестный множитель. Чтобы найти его, разделим произведение (51) на известный множитель ($-17$).

$x = \frac{51}{-17}$

$x = -3$

Проверка: $-17 \cdot (-3) = 51$. Верно.

Ответ: $-3$

ж) Дано уравнение $6x = 7$.

$x$ — неизвестный множитель. Для его нахождения разделим произведение (7) на известный множитель (6).

$x = \frac{7}{6}$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или представить в виде смешанного числа $1 \frac{1}{6}$.

Проверка: $6 \cdot \frac{7}{6} = 7$. Верно.

Ответ: $\frac{7}{6}$

з) Дано уравнение $2x = -13$.

$x$ — неизвестный множитель. Найдем его, разделив произведение ($-13$) на известный множитель (2).

$x = \frac{-13}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби.

$x = -6.5$

Проверка: $2 \cdot (-6.5) = -13$. Верно.

Ответ: $-6.5$

и) Дано уравнение $-x = 2$.

Это уравнение равносильно уравнению $-1 \cdot x = 2$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части на $-1$.

$x = \frac{2}{-1}$

$x = -2$

Проверка: $-(-2) = 2$. Верно.

Ответ: $-2$

965. a) $x + 2 = 1;$

б) $x - 3 = 2;$

в) $2x = 3;$

г) $\frac{1}{2}x = 4;$

д) $2x + 5 = 2;$

е) $2x - \frac{1}{2} = 1;$

ж) $1 - x = 3;$

з) $2 - x = 7.$

а) $x + 2 = 1$

Это линейное уравнение с одной переменной. Чтобы найти $x$, нужно изолировать его. Для этого перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный.

$x = 1 - 2$

$x = -1$

Проверка: $-1 + 2 = 1$. Верно.

Ответ: $-1$

б) $x - 3 = 2$

Чтобы найти $x$, перенесем -3 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный.

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Проверка: $5 - 3 = 2$. Верно.

Ответ: $5$

в) $2x = 3$

Здесь $x$ умножается на 2. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2.

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1,5$

Проверка: $2 \cdot 1,5 = 3$. Верно.

Ответ: $1,5$

г) $\frac{1}{2}x = 4$

Здесь $x$ умножается на $\frac{1}{2}$ (или делится на 2). Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2.

$x = 4 \cdot 2$

$x = 8$

Проверка: $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. Верно.

Ответ: $8$

д) $2x + 5 = 2$

Сначала перенесем 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$2x = 2 - 5$

$2x = -3$

Теперь разделим обе части уравнения на 2.

$x = -\frac{3}{2}$

$x = -1,5$

Проверка: $2 \cdot (-1,5) + 5 = -3 + 5 = 2$. Верно.

Ответ: $-1,5$

е) $2x - \frac{1}{2} = 1$

Сначала перенесем $-\frac{1}{2}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$2x = 1 + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{3}{2}$

Теперь разделим обе части уравнения на 2.

$x = \frac{3}{2} \div 2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$x = \frac{3}{4}$

Проверка: $2 \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{6}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Верно.

Ответ: $\frac{3}{4}$

ж) $1 - x = 3$

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$-x = 3 - 1$

$-x = 2$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1.

$x = -2$

Проверка: $1 - (-2) = 1 + 2 = 3$. Верно.

Ответ: $-2$

з) $2 - x = 7$

Перенесем 2 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$-x = 7 - 2$

$-x = 5$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на -1.

$x = -5$

Проверка: $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$. Верно.

Ответ: $-5$