Страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

921. Докажите, что если выражение $3a + 4b + 5c$, где $a, b$ и $c$ — целые числа, делится на 11, то и $9a + b + 4c$ делится на 11.

Пусть даны два выражения: $X = 3a + 4b + 5c$ и $Y = 9a + b + 4c$. По условию, $a, b, c$ являются целыми числами, и выражение $X$ делится на 11. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $X = 11k$. Нам необходимо доказать, что выражение $Y$ также делится на 11.

Для этого выразим $Y$ через $X$. Заметим, что если умножить выражение $X$ на 3, то коэффициент при $a$ станет таким же, как в выражении $Y$.

$3X = 3(3a + 4b + 5c) = 9a + 12b + 15c$.

Теперь рассмотрим разность между выражениями $3X$ и $Y$: $3X - Y = (9a + 12b + 15c) - (9a + b + 4c)$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3X - Y = 9a + 12b + 15c - 9a - b - 4c = (9a - 9a) + (12

922. Докажите, что если при некоторых целых $x$ и $y$ выражение $x^2 + 9xy + y^2$ делится на 11, то и $x^2 - y^2$ делится на 11.

По условию задачи дано, что для некоторых целых чисел $x$ и $y$ выражение $x^2 + 9xy + y^2$ делится на 11. Это можно записать в виде сравнения по модулю 11:

$$x^2 + 9xy + y^2 \equiv 0 \pmod{11}$$

Преобразуем это выражение. Мы можем вычесть из левой части сравнения число, кратное 11, например $11xy$, при этом сравнение останется верным, так как $11xy \equiv 0 \pmod{11}$:

$$ (x^2 + 9xy + y^2) - 11xy \equiv 0 - 0 \pmod{11} $$

$$ x^2 - 2xy + y^2 \equiv 0 \pmod{11} $$

Левая часть этого сравнения является полным квадратом разности:

$$ (x-y)^2 \equiv 0 \pmod{11} $$

Данное сравнение означает, что $(x-y)^2$ делится на 11. Так как 11 — простое число, то если квадрат целого числа делится на 11, то и само это число делится на 11. Отсюда следует, что $x-y$ делится на 11, то есть:

$$ x-y \equiv 0 \pmod{11} $$

Теперь рассмотрим выражение $x^2 - y^2$, делимость которого на 11 требуется доказать. Разложим его на множители по формуле разности квадратов:

$$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $$

Мы уже доказали, что множитель $(x-y)$ делится на 11. Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то их сумма $(x+y)$ также является целым числом. Произведение числа, кратного 11, на любое целое число также будет кратно 11.

Следовательно, произведение $(x-y)(x+y)$, а значит и выражение $x^2 - y^2$, делится на 11.

Ответ: Утверждение доказано.

923. Докажите, что:

a) $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41;

б) $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^8$.

$7^{10} - 7^9 - 7^8 = 7^8(7^2 - 7^1 - 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$7^2 - 7 - 1 = 49 - 7 - 1 = 41$

Таким образом, исходное выражение равно $7^8 \cdot 41$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 41, то и все произведение делится на 41 без остатка.
Ответ: Доказано, что выражение $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41.

б) Чтобы доказать, что выражение $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41, сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки.

$(9^{100} - 9^{99}) + (9^{98} - 9^{97}) = 9^{99}(9 - 1) + 9^{97}(9 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$9^{99} \cdot 8 + 9^{97} \cdot 8$

Теперь вынесем за скобки общий множитель 8:

$8(9^{99} + 9^{97})$

Внутри скобок вынесем множитель с наименьшей степенью $9^{97}$:

$8 \cdot [9^{97}(9^2 + 1)]$

Вычислим выражение во внутренних скобках:

$9^2 + 1 = 81 + 1 = 82$

Тогда исходное выражение примет вид:

$8 \cdot 9^{97} \cdot 82$

Поскольку $82 = 2 \cdot 41$, мы можем переписать выражение так:

$8 \cdot 9^{97} \cdot (2 \cdot 41) = 16 \cdot 9^{97} \cdot 41$

Так как один из множителей в итоговом произведении равен 41, то все выражение делится на 41.
Ответ: Доказано, что выражение $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41.

924. Докажите, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 7.

Для доказательства данного утверждения запишем сумму трёх последовательных степеней числа 2 в общем виде.

Пусть $n$ — это показатель первой (наименьшей) из трёх последовательных степеней. Так как степени последовательные, их показатели будут $n$, $n+1$ и $n+2$. Сами степени будут равны $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$. Показатель $n$ может быть любым целым неотрицательным числом ($n \ge 0$).

Составим сумму $S$ этих трёх степеней:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Чтобы доказать, что эта сумма делится на 7, преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является наименьшая степень, то есть $2^n$. Для этого воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

$S = 2^n \cdot 1 + 2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^2$

Вынесем $2^n$ за скобки:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

Подставим полученное значение обратно в выражение для суммы $S$:

$S = 2^n \cdot 7$

Полученное выражение $7 \cdot 2^n$ представляет собой произведение двух множителей, один из которых равен 7. По определению делимости, если один из множителей в произведении делится на какое-либо число, то и всё произведение делится на это число. В нашем случае, так как один из множителей равен 7, вся сумма $S$ делится на 7 без остатка для любого целого неотрицательного $n$.

Ответ: Сумма трёх последовательных степеней числа 2 может быть представлена в виде $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1+2+4) = 7 \cdot 2^n$. Так как в полученном произведении один из множителей равен 7, то вся сумма делится на 7, что и требовалось доказать.

925. Докажите тождество:

a) $\frac{1}{2}(m + n)^2 + \frac{1}{2}(m - n)^2 = m^2 + n^2;$

б) $(\frac{1}{2}(m + n))^2 - (\frac{1}{2}(m - n))^2 = mn;$

в) $(7b - 5c)^2(b + 2c) - b((7b + 2c)^2 - 119c^2) = 50c^3;$

г) $(3a - 2x)^2(a + 3x) - ((a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) - 4x^3) = 8a^3;$

д) $c(8c + 3a)^2 - ((8c - a)^2(c + a) + 24a^2c) = -a^3;$

е) $(a + b)^3 - 3ab(a + b) = a^3 + b^3;$

ж) $(x - y)^3 + 3xy(x - y) = x^3 - y^3;$

з) $(b - c)^3 + (c - a)^3 + (a - b)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a).$

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$\frac{1}{2}(m + n)^2 + \frac{1}{2}(m - n)^2 = \frac{1}{2}(m^2 + 2mn + n^2) + \frac{1}{2}(m^2 - 2mn + n^2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2} \cdot 2mn + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} \cdot 2mn + \frac{1}{2}n^2 = \frac{1}{2}m^2 + mn + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}m^2 - mn + \frac{1}{2}n^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}m^2) + (mn - mn) + (\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n^2) = m^2 + 0 + n^2 = m^2 + n^2$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Сначала возведем в квадрат выражения в скобках:

$(\frac{1}{2}(m + n))^2 - (\frac{1}{2}(m - n))^2 = \frac{1}{4}(m + n)^2 - \frac{1}{4}(m - n)^2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим формулы квадрата суммы и разности:

$\frac{1}{4}((m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2))$

Раскроем внутренние скобки, изменив знаки у второго многочлена на противоположные:

$\frac{1}{4}(m^2 + 2mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$\frac{1}{4}((m^2 - m^2) + (2mn + 2mn) + (n^2 - n^2)) = \frac{1}{4}(4mn) = mn$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки последовательно.

1. Преобразуем первое слагаемое $(7b - 5c)^2(b + 2c)$:

$(7b - 5c)^2 = 49b^2 - 70bc + 25c^2$

$(49b^2 - 70bc + 25c^2)(b + 2c) = 49b^3 + 98b^2c - 70b^2c - 140bc^2 + 25bc^2 + 50c^3 = 49b^3 + 28b^2c - 115bc^2 + 50c^3$

2. Преобразуем второе слагаемое $- b((7b + 2c)^2 - 119c^2)$:

$(7b + 2c)^2 = 49b^2 + 28bc + 4c^2$

$(49b^2 + 28bc + 4c^2) - 119c^2 = 49b^2 + 28bc - 115c^2$

$-b(49b^2 + 28bc - 115c^2) = -49b^3 - 28b^2c + 115bc^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(49b^3 + 28b^2c - 115bc^2 + 50c^3) + (-49b^3 - 28b^2c + 115bc^2) = 50c^3$

Все члены, кроме $50c^3$, взаимно уничтожаются. Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества, выполняя действия по шагам.

1. Преобразуем выражение $(3a - 2x)^2(a + 3x)$:

$(3a - 2x)^2 = 9a^2 - 12ax + 4x^2$

$(9a^2 - 12ax + 4x^2)(a + 3x) = 9a^3 + 27a^2x - 12a^2x - 36ax^2 + 4ax^2 + 12x^3 = 9a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3$

2. Преобразуем выражение $- ((a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) - 4x^3)$:

$(a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) = a^3 + 16a^2x - 16ax^2 - a^2x - 16ax^2 + 16x^3 = a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 16x^3$

$(a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 16x^3) - 4x^3 = a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3$

$- (a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3) = -a^3 - 15a^2x + 32ax^2 - 12x^3$

3. Сложим результаты:

$(9a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3) + (-a^3 - 15a^2x + 32ax^2 - 12x^3) = 8a^3$

Подобные слагаемые взаимно уничтожаются, остается $9a^3-a^3=8a^3$. Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д) Преобразуем левую часть тождества.

1. Раскроем первое слагаемое $c(8c + 3a)^2$:

$(8c + 3a)^2 = 64c^2 + 48ac + 9a^2$

$c(64c^2 + 48ac + 9a^2) = 64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c$

2. Раскроем второе слагаемое $- ((8c - a)^2(c + a) + 24a^2c)$:

$(8c - a)^2 = 64c^2 - 16ac + a^2$

$(64c^2 - 16ac + a^2)(c + a) = 64c^3 + 64ac^2 - 16ac^2 - 16a^2c + a^2c + a^3 = 64c^3 + 48ac^2 - 15a^2c + a^3$

$(64c^3 + 48ac^2 - 15a^2c + a^3) + 24a^2c = 64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c + a^3$

$-(64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c + a^3) = -64c^3 - 48ac^2 - 9a^2c - a^3$

3. Сложим результаты шагов 1 и 2:

$(64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c) + (-64c^3 - 48ac^2 - 9a^2c - a^3) = -a^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е) Для доказательства используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и преобразуем левую часть.

$(a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3ab(a + b)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2$

Приведем подобные члены:

$a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + b^3 = a^3 + b^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж) Для доказательства используем формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и преобразуем левую часть.

$(x - y)^3 + 3xy(x - y) = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 3xy(x - y)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + 3x^2y - 3xy^2$

Приведем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з) Это известное тождество, которое справедливо, если сумма оснований кубов равна нулю. Введем замены: $X = b - c$, $Y = c - a$, $Z = a - b$.

Найдем сумму этих выражений:

$X + Y + Z = (b - c) + (c - a) + (a - b) = b - c + c - a + a - b = 0$

Используем алгебраическое тождество: если $X+Y+Z=0$, то $X^3+Y^3+Z^3=3XYZ$.

Докажем это вспомогательное тождество. Из $X+Y+Z=0$ следует, что $X+Y = -Z$.

Возведем обе части равенства $X+Y = -Z$ в куб:

$(X+Y)^3 = (-Z)^3$

$X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3 = -Z^3$

$X^3 + Y^3 + 3XY(X+Y) = -Z^3$

Подставим $X+Y = -Z$ в полученное выражение:

$X^3 + Y^3 + 3XY(-Z) = -Z^3$

$X^3 + Y^3 - 3XYZ = -Z^3$

Перенесем $-Z^3$ и $-3XYZ$ в другие части уравнения:

$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$

Теперь подставим обратно исходные значения $X, Y, Z$:

$(b - c)^3 + (c - a)^3 + (a - b)^3 = 3(b - c)(c - a)(a - b)$

Порядок множителей в правой части не важен, поэтому $3(b - c)(c - a)(a - b) = 3(a - b)(b - c)(c - a)$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

926. Докажите, что при любом целом $n$ выражение:

а) $(n - 2)^3 - (n(3 + (n - 3)^2) - 10)$ равно 2;

б) $(5 + 3n)^2(4 - n) - n(96 - (3n - 1)^2)$ равно 100;

в) $(6n + 7)^2 - 2(n - 3)(6n + 7) + (n - 3)^2$ кратно 5;

г) $(2n + 7)^2 - 2(2n + 7)(2n - 3) + (2n - 3)^2$ кратно 10.

а) Чтобы доказать, что выражение $(n - 2)^3 - (n(3 + (n - 3)^2) - 10)$ равно 2, упростим его.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.
Сначала куб разности:
$(n - 2)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 - 2^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8$.
Теперь упростим вычитаемое. Сначала квадрат разности:
$(n - 3)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 - 6n + 9$.
Подставим это во вторую часть исходного выражения:
$n(3 + (n^2 - 6n + 9)) - 10 = n(n^2 - 6n + 12) - 10 = n^3 - 6n^2 + 12n - 10$.
Теперь выполним вычитание:
$(n^3 - 6n^2 + 12n - 8) - (n^3 - 6n^2 + 12n - 10) = n^3 - 6n^2 + 12n - 8 - n^3 + 6n^2 - 12n + 10 = 2$.
Значение выражения не зависит от $n$ и всегда равно 2.
Ответ: выражение равно 2.

б) Чтобы доказать, что выражение $(5 + 3n)^2(4 - n) - n(96 - (3n - 1)^2)$ равно 100, упростим его по частям.
Раскроем скобки в первой части:
$(5 + 3n)^2(4 - n) = (25 + 30n + 9n^2)(4 - n) = 4(25 + 30n + 9n^2) - n(25 + 30n + 9n^2)$
$= (100 + 120n + 36n^2) - (25n + 30n^2 + 9n^3) = 100 + 120n + 36n^2 - 25n - 30n^2 - 9n^3 = -9n^3 + 6n^2 + 95n + 100$.
Раскроем скобки во второй части:
$n(96 - (3n - 1)^2) = n(96 - (9n^2 - 6n + 1)) = n(96 - 9n^2 + 6n - 1) = n(-9n^2 + 6n + 95) = -9n^3 + 6n^2 + 95n$.
Выполним вычитание:
$(-9n^3 + 6n^2 + 95n + 100) - (-9n^3 + 6n^2 + 95n) = -9n^3 + 6n^2 + 95n + 100 + 9n^3 - 6n^2 - 95n = 100$.
Значение выражения не зависит от $n$ и всегда равно 100.
Ответ: выражение равно 100.

в) Чтобы доказать, что выражение $(6n + 7)^2 - 2(n - 3)(6n + 7) + (n - 3)^2$ кратно 5, применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 6n + 7$ и $b = n - 3$.
Тогда выражение равно $((6n + 7) - (n - 3))^2$.
Упростим выражение в скобках: $6n + 7 - n + 3 = 5n + 10$.
Получаем $(5n + 10)^2$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$(5(n + 2))^2 = 5^2 \cdot (n + 2)^2 = 25(n + 2)^2$.
Поскольку $n$ — целое число, то $(n+2)^2$ тоже целое. Выражение $25(n + 2)^2$ можно представить как $5 \cdot (5(n + 2)^2)$. Так как оно является произведением числа 5 и целого числа $5(n + 2)^2$, оно делится на 5 без остатка.
Ответ: выражение кратно 5.

г) Чтобы доказать, что выражение $(2n + 7)^2 - 2(2n + 7)(2n - 3) + (2n - 3)^2$ кратно 10, применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 2n + 7$ и $b = 2n - 3$.
Тогда выражение равно $((2n + 7) - (2n - 3))^2$.
Упростим выражение в скобках: $2n + 7 - 2n + 3 = 10$.
Получаем $(10)^2 = 100$.
Значение выражения не зависит от $n$ и равно 100. Число 100 делится на 10 без остатка ($100 = 10 \cdot 10$), следовательно, оно кратно 10.
Ответ: выражение кратно 10.

Разложите на множители (927—931):

927. a) $4x^2 - 9$;

б) $x^4 - 1$;

в) $x^6 - 1$;

г) $x^2 - 1$;

д) $x^8 - 4x^4 + 4$;

е) $9x^6 + 6x^3 + 1$.

a)

Выражение $4x^2 - 9$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае, $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, следовательно, $a = 2x$.

И $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в формулу:

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$.

Ответ: $(2x - 3)(2x + 3)$.

б)

Выражение $x^4 - 1$ также является разностью квадратов. Представим его в виде $(x^2)^2 - 1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = 1$:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

Обратим внимание, что первый множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов. Разложим его:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

в)

Выражение $x^6 - 1$ можно разложить как разность квадратов.

Представим $x^6 - 1$ как $(x^3)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$.

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(x^3 - 1)$ и сумма кубов $(x^3 + 1)$. Применим соответствующие формулы:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Объединяем все множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

г)

Выражение $x^2 - 1$ является классическим примером разности квадратов.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = 1$.

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)$.

д)

Выражение $x^8 - 4x^4 + 4$ является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В этом выражении $a^2 = x^8 = (x^4)^2 \Rightarrow a=x^4$, $b^2 = 4 \Rightarrow b=2$, и средний член $-2ab = -2 \cdot x^4 \cdot 2 = -4x^4$, что совпадает с нашим выражением.

Таким образом, мы можем свернуть выражение по формуле:

$x^8 - 4x^4 + 4 = (x^4 - 2)^2$.

Ответ: $(x^4 - 2)^2$.

е)

Выражение $9x^6 + 6x^3 + 1$ похоже на полный квадрат. Проверим это, используя формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член: $a^2 = 9x^6 = (3x^3)^2$, значит, $a = 3x^3$.

Третий член: $b^2 = 1 = 1^2$, значит, $b = 1$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3x^3) \cdot 1 = 6x^3$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.

Следовательно, выражение является полным квадратом суммы:

$9x^6 + 6x^3 + 1 = (3x^3 + 1)^2$.

Ответ: $(3x^3 + 1)^2$.

928. а) $x^6 + x^2 + 2$

б) $x^6 + x^2 - 2$

в) $x^5 + x + 1$

г) $x^5 + x - 1$

а) Разложим на множители многочлен $x^6 + x^2 + 2$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:
$y^3 + y + 2$
Найдем корни этого кубического многочлена. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $y = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Следовательно, $(y+1)$ является одним из множителей. Чтобы найти второй множитель, разделим многочлен $y^3 + y + 2$ на $(y+1)$ с помощью метода группировки:
$y^3 + y + 2 = y^3 + y^2 - y^2 - y + 2y + 2 = y^2(y+1) - y(y+1) + 2(y+1) = (y+1)(y^2 - y + 2)$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:
$(x^2 + 1)((x^2)^2 - x^2 + 2) = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 2)$.
Множитель $(x^2+1)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Для второго множителя $(x^4 - x^2 + 2)$, который является квадратным относительно $x^2$, найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, этот множитель также не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $(x^2+1)(x^4-x^2+2)$.

б) Разложим на множители многочлен $x^6 + x^2 - 2$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:
$y^3 + y - 2$
Найдем корни этого кубического многочлена. Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $y = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
Следовательно, $(y-1)$ является одним из множителей. Разделим многочлен $y^3 + y - 2$ на $(y-1)$:
$y^3 + y - 2 = y^3 - y^2 + y^2 - y + 2y - 2 = y^2(y-1) + y(y-1) + 2(y-1) = (y-1)(y^2 + y + 2)$.
Вернемся к переменной $x$, подставив $y = x^2$:
$(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 2)$.
Первый множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$.
Для второго множителя $(x^4 + x^2 + 2)$ дискриминант относительно $x^2$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, поэтому он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $(x-1)(x+1)(x^4 + x^2 + 2)$.
Ответ: $(x-1)(x+1)(x^4+x^2+2)$.

в) Разложим на множители многочлен $x^5 + x + 1$.
Используем метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $x^2$:
$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$.
Вынесем $x^2$ из первой скобки:
$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $x^3-1$:
$x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2+x+1)$:
$(x^2+x+1) [x^2(x-1) + 1]$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2+x+1)(x^3 - x^2 + 1)$.
Оба полученных множителя являются неприводимыми над полем рациональных чисел.
Ответ: $(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$.

г) Разложим на множители многочлен $x^5 + x - 1$.
Используем метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $x^2$:
$x^5 + x - 1 = x^5 + x^2 - x^2 + x - 1$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 + x^2) - (x^2 - x + 1)$.
Вынесем $x^2$ из первой скобки:
$x^2(x^3 + 1) - (x^2 - x + 1)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $x^3+1$:
$x^2(x+1)(x^2-x+1) - (x^2-x+1)$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2-x+1)$:
$(x^2-x+1) [x^2(x+1) - 1]$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2-x+1)(x^3 + x^2 - 1)$.
Оба полученных множителя являются неприводимыми над полем рациональных чисел.
Ответ: $(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)$.

929. а) $x^5 - 1$;

б) $x^6 - 1$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^5 - 1$, воспользуемся формулой разности n-ых степеней:

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

В нашем случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$x^5 - 1^5 = (x - 1)(x^{5-1} + x^{5-2} \cdot 1^1 + x^{5-3} \cdot 1^2 + x^{5-4} \cdot 1^3 + 1^4)$

Упростим выражение в правой скобке:

$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

Многочлен $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ является неприводимым над полем рациональных чисел, поэтому это окончательное разложение.

Ответ: $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

б) Выражение $x^6 - 1$ можно разложить на множители несколькими способами. Рассмотрим самый простой, представив его как разность квадратов.

Представим $x^6$ как $(x^3)^2$. Тогда выражение примет вид:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$:

$(x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(x^3 - 1)$ и сумма кубов $(x^3 + 1)$. Разложим каждый из них по соответствующим формулам:

1. Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

2. Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Теперь объединим все полученные множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Для удобства сгруппируем множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

930. a) $bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b);$

б) $a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c);$

В) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9.$

а) $bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b)$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки:

$bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b) = b^2c + bc^2 + ac^2 - a^2c - a^2b - ab^2$.

Теперь сгруппируем слагаемые, рассматривая выражение как многочлен относительно переменной $a$:

$(-a^2b - a^2c) + (-ab^2 + ac^2) + (b^2c + bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$-a^2(b+c) + a(c^2 - b^2) + bc(b+c)$

Применим формулу разности квадратов $c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)$:

$-a^2(b+c) + a(c-b)(c+b) + bc(b+c)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(b+c)$:

$(b+c)[-a^2 + a(c-b) + bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки и сгруппировав слагаемые:

$-a^2 + ac - ab + bc = (-a^2 - ab) + (ac + bc) = -a(a+b) + c(a+b) = (c-a)(a+b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(b+c)(c-a)(a+b)$.

Для удобства записи можно переставить множители.

Ответ: $(a+b)(b+c)(c-a)$.

б) $a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c)$

Обозначим данное выражение как $P(a, b, c)$.

Заметим, что если подставить $a=b$, выражение обращается в ноль:

$P(b, b, c) = b^2b^2(b-b) + b^2c^2(c-b) + c^2b^2(b-c) = 0 + b^2c^2(c-b) - b^2c^2(c-b) = 0$.

Согласно теореме Безу, это означает, что $(a-b)$ является множителем выражения $P(a, b, c)$.

Выражение $P(a,b,c)$ является циклическим (при замене $a \to b$, $b \to c$, $c \to a$ оно сохраняет свою структуру). Следовательно, $(b-c)$ и $(c-a)$ также являются его множителями.

Таким образом, $P(a,b,c)$ делится на произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Степень исходного многочлена равна 5 (например, член $a^2b^3$ имеет степень $2+3=5$). Степень произведения $(a-b)(b-c)(c-a)$ равна 3. Следовательно, оставшийся множитель, который обозначим $Q(a,b,c)$, должен быть однородным многочленом степени $5-3=2$.

Так как $P(a,b,c)$ является циклическим, то и $Q(a,b,c)$ должен быть циклическим (и даже симметрическим). Общий вид симметрического однородного многочлена второй степени от трех переменных: $Q(a,b,c) = k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)$ для некоторых коэффициентов $k$ и $m$.

Итак, мы ищем разложение в виде:

$P(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-a)[k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)]$.

Для нахождения $k$ и $m$ сравним коэффициенты при некоторых членах в левой и правой частях равенства. Развернем $P(a,b,c) = a^2b^3 - a^3b^2 + b^2c^3 - b^3c^2 + c^2a^3 - c^3a^2$.

1. Коэффициент при $a^3b^2$ в левой части равен -1. Найдем его в правой части. Произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$ содержит член $ab^2$ и $-a^2b$. Член $a^3b^2$ в правой части может быть получен умножением $ab^2$ на $ka^2$ и $-a^2b$ на $mab$. Коэффициент будет $k-m$. Итак, $k-m = -1$.

2. Коэффициент при $a^4b$ в левой части равен 0. В правой части член $a^4b$ может быть получен только умножением $-a^2b$ из $(a-b)(b-c)(c-a)$ на $ka^2$ из $Q(a,b,c)$. Коэффициент будет $-k$. Итак, $-k = 0$, откуда $k=0$.

Подставим $k=0$ в первое уравнение: $0-m=-1$, откуда $m=1$.

Таким образом, $Q(a,b,c) = 0 \cdot (a^2+b^2+c^2) + 1 \cdot (ab+bc+ca) = ab+bc+ca$.

Итоговое разложение имеет вид:

$a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c) = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

Ответ: $(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

в) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$

Для разложения на множители кубического многочлена $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-9): $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.

Проверим значение многочлена при $x=1$:

$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, то $x=1$ является корнем многочлена, а $(x-1)$ — одним из его множителей.

Теперь разделим многочлен $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ на двучлен $(x-1)$ с помощью деления "столбиком" или по схеме Горнера, чтобы найти остальные множители.

$(x^3 + 5x^2 + 3x - 9) : (x-1) = x^2 + 6x + 9$.

Полученный в результате деления квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом:

$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Следовательно, итоговое разложение исходного многочлена на множители имеет вид:

$x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x-1)(x+3)^2$.

Ответ: $(x-1)(x+3)^2$.

931. a) $m^3 - 5m^2 - 4m + 20;$

Б) $4ay - 3ay^2 + 3xy^2 - 4xy;$

В) $4b^2x - 6x - 24b^2y + 36y;$

Г) $2ma + mb - mc - 2na - nb + nc;$

Д) $k^4 + k^2 - 20;$

е) $m^3 - 3m + 2;$

Ж) $y^4 - y^2(z^2 + 1) + z^2;$

з) $c^2 + cd + c - 2d^2 + 2d.$

а) $m^3 - 5m^2 - 4m + 20$

Сгруппируем члены многочлена попарно: первые два и последние два.

$(m^3 - 5m^2) + (-4m + 20)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$m^2(m - 5) - 4(m - 5)$

Теперь вынесем общий множитель $(m - 5)$ за скобки:

$(m - 5)(m^2 - 4)$

Выражение в скобках $(m^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m - 2)(m + 2)$

Подставим это в наше выражение:

$(m - 5)(m - 2)(m + 2)$

Ответ: $(m - 5)(m - 2)(m + 2)$

б) $4ay - 3ay^2 + 3xy^2 - 4xy$

Перегруппируем члены многочлена для удобства разложения на множители. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:

$(4ay - 4xy) + (-3ay^2 + 3xy^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$4y(a - x) - 3y^2(a - x)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - x)$ за скобки:

$(a - x)(4y - 3y^2)$

В скобках $(4y - 3y^2)$ можно вынести общий множитель $y$:

$(a - x)y(4 - 3y)$

Ответ: $y(a - x)(4 - 3y)$

в) $4b^2x - 6x - 24b^2y + 36y$

Сгруппируем члены многочлена попарно:

$(4b^2x - 6x) + (-24b^2y + 36y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$2x(2b^2 - 3) - 12y(2b^2 - 3)$

Вынесем общий множитель $(2b^2 - 3)$ за скобки:

$(2b^2 - 3)(2x - 12y)$

В скобках $(2x - 12y)$ можно вынести общий множитель 2:

$(2b^2 - 3) \cdot 2(x - 6y)$

Ответ: $2(2b^2 - 3)(x - 6y)$

г) $2ma + mb - mc - 2na - nb + nc$

Сгруппируем члены многочлена, содержащие $m$, и члены, содержащие $n$:

$(2ma + mb - mc) + (-2na - nb + nc)$

Вынесем общие множители $m$ и $-n$ за скобки:

$m(2a + b - c) - n(2a + b - c)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a + b - c)$ за скобки:

$(m - n)(2a + b - c)$

Ответ: $(m - n)(2a + b - c)$

д) $k^4 + k^2 - 20$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = k^2$. Тогда $k^4 = t^2$.

$t^2 + t - 20$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -20, а сумма равна 1. Это числа 5 и -4.

$t^2 + t - 20 = (t + 5)(t - 4)$

Вернемся к исходной переменной, подставив $k^2$ вместо $t$:

$(k^2 + 5)(k^2 - 4)$

Второй множитель $(k^2 - 4)$ является разностью квадратов:

$k^2 - 4 = (k - 2)(k + 2)$

Итоговое разложение:

$(k^2 + 5)(k - 2)(k + 2)$

Ответ: $(k^2 + 5)(k - 2)(k + 2)$

е) $m^3 - 3m + 2$

Попробуем найти целый корень многочлена среди делителей свободного члена (числа 2). Делители: $\pm 1, \pm 2$.

Подставим $m = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $m=1$ является корнем, а $(m-1)$ — одним из множителей.

Представим многочлен в виде, удобном для выделения множителя $(m-1)$:

$m^3 - m - 2m + 2 = (m^3 - m) + (-2m + 2) = m(m^2 - 1) - 2(m - 1)$

Применим формулу разности квадратов к $(m^2 - 1)$:

$m(m - 1)(m + 1) - 2(m - 1)$

Вынесем общий множитель $(m-1)$ за скобки:

$(m - 1)[m(m + 1) - 2] = (m - 1)(m^2 + m - 2)$

Разложим квадратный трехчлен $m^2 + m - 2$ на множители. Корни уравнения $m^2 + m - 2 = 0$ — это $m = 1$ и $m = -2$.

Значит, $m^2 + m - 2 = (m - 1)(m + 2)$.

Окончательное разложение:

$(m - 1)(m - 1)(m + 2) = (m - 1)^2(m + 2)$

Ответ: $(m - 1)^2(m + 2)$

ж) $y^4 - y^2(z^2 + 1) + z^2$

Раскроем скобки в выражении:

$y^4 - y^2z^2 - y^2 + z^2$

Сгруппируем члены попарно:

$(y^4 - y^2z^2) - (y^2 - z^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y^2 - z^2) - 1(y^2 - z^2)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - z^2)$:

$(y^2 - z^2)(y^2 - 1)$

Оба множителя являются разностями квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)$

$y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

Итоговое разложение:

$(y - z)(y + z)(y - 1)(y + 1)$

Ответ: $(y - z)(y + z)(y - 1)(y + 1)$

з) $c^2 + cd + c - 2d^2 + 2d$

Перегруппируем члены многочлена, чтобы выделить части, которые легко факторизуются:

$(c^2 + cd - 2d^2) + (c + 2d)$

Разложим на множители первую группу $(c^2 + cd - 2d^2)$, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно переменной $c$. Найдем два выражения, произведение которых равно $-2d^2$, а сумма равна $d$. Это $2d$ и $-d$.

$c^2 + cd - 2d^2 = (c + 2d)(c - d)$

Подставим это разложение обратно в исходное выражение:

$(c + 2d)(c - d) + (c + 2d)$

Теперь мы видим общий множитель $(c + 2d)$, который можно вынести за скобки:

$(c + 2d)((c - d) + 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(c + 2d)(c - d + 1)$

Ответ: $(c + 2d)(c - d + 1)$