Номер 931, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 931, страница 243.

Условие.

931. a) $m^3 - 5m^2 - 4m + 20;$

Б) $4ay - 3ay^2 + 3xy^2 - 4xy;$

В) $4b^2x - 6x - 24b^2y + 36y;$

Г) $2ma + mb - mc - 2na - nb + nc;$

Д) $k^4 + k^2 - 20;$

е) $m^3 - 3m + 2;$

Ж) $y^4 - y^2(z^2 + 1) + z^2;$

з) $c^2 + cd + c - 2d^2 + 2d.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $m^3 - 5m^2 - 4m + 20$

Сгруппируем члены многочлена попарно: первые два и последние два.

$(m^3 - 5m^2) + (-4m + 20)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$m^2(m - 5) - 4(m - 5)$

Теперь вынесем общий множитель $(m - 5)$ за скобки:

$(m - 5)(m^2 - 4)$

Выражение в скобках $(m^2 - 4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - 4 = m^2 - 2^2 = (m - 2)(m + 2)$

Подставим это в наше выражение:

$(m - 5)(m - 2)(m + 2)$

Ответ: $(m - 5)(m - 2)(m + 2)$

б) $4ay - 3ay^2 + 3xy^2 - 4xy$

Перегруппируем члены многочлена для удобства разложения на множители. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:

$(4ay - 4xy) + (-3ay^2 + 3xy^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$4y(a - x) - 3y^2(a - x)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - x)$ за скобки:

$(a - x)(4y - 3y^2)$

В скобках $(4y - 3y^2)$ можно вынести общий множитель $y$:

$(a - x)y(4 - 3y)$

Ответ: $y(a - x)(4 - 3y)$

в) $4b^2x - 6x - 24b^2y + 36y$

Сгруппируем члены многочлена попарно:

$(4b^2x - 6x) + (-24b^2y + 36y)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$2x(2b^2 - 3) - 12y(2b^2 - 3)$

Вынесем общий множитель $(2b^2 - 3)$ за скобки:

$(2b^2 - 3)(2x - 12y)$

В скобках $(2x - 12y)$ можно вынести общий множитель 2:

$(2b^2 - 3) \cdot 2(x - 6y)$

Ответ: $2(2b^2 - 3)(x - 6y)$

г) $2ma + mb - mc - 2na - nb + nc$

Сгруппируем члены многочлена, содержащие $m$, и члены, содержащие $n$:

$(2ma + mb - mc) + (-2na - nb + nc)$

Вынесем общие множители $m$ и $-n$ за скобки:

$m(2a + b - c) - n(2a + b - c)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a + b - c)$ за скобки:

$(m - n)(2a + b - c)$

Ответ: $(m - n)(2a + b - c)$

д) $k^4 + k^2 - 20$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = k^2$. Тогда $k^4 = t^2$.

$t^2 + t - 20$

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -20, а сумма равна 1. Это числа 5 и -4.

$t^2 + t - 20 = (t + 5)(t - 4)$

Вернемся к исходной переменной, подставив $k^2$ вместо $t$:

$(k^2 + 5)(k^2 - 4)$

Второй множитель $(k^2 - 4)$ является разностью квадратов:

$k^2 - 4 = (k - 2)(k + 2)$

Итоговое разложение:

$(k^2 + 5)(k - 2)(k + 2)$

Ответ: $(k^2 + 5)(k - 2)(k + 2)$

е) $m^3 - 3m + 2$

Попробуем найти целый корень многочлена среди делителей свободного члена (числа 2). Делители: $\pm 1, \pm 2$.

Подставим $m = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Значит, $m=1$ является корнем, а $(m-1)$ — одним из множителей.

Представим многочлен в виде, удобном для выделения множителя $(m-1)$:

$m^3 - m - 2m + 2 = (m^3 - m) + (-2m + 2) = m(m^2 - 1) - 2(m - 1)$

Применим формулу разности квадратов к $(m^2 - 1)$:

$m(m - 1)(m + 1) - 2(m - 1)$

Вынесем общий множитель $(m-1)$ за скобки:

$(m - 1)[m(m + 1) - 2] = (m - 1)(m^2 + m - 2)$

Разложим квадратный трехчлен $m^2 + m - 2$ на множители. Корни уравнения $m^2 + m - 2 = 0$ — это $m = 1$ и $m = -2$.

Значит, $m^2 + m - 2 = (m - 1)(m + 2)$.

Окончательное разложение:

$(m - 1)(m - 1)(m + 2) = (m - 1)^2(m + 2)$

Ответ: $(m - 1)^2(m + 2)$

ж) $y^4 - y^2(z^2 + 1) + z^2$

Раскроем скобки в выражении:

$y^4 - y^2z^2 - y^2 + z^2$

Сгруппируем члены попарно:

$(y^4 - y^2z^2) - (y^2 - z^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y^2 - z^2) - 1(y^2 - z^2)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - z^2)$:

$(y^2 - z^2)(y^2 - 1)$

Оба множителя являются разностями квадратов. Разложим их по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - z^2 = (y - z)(y + z)$

$y^2 - 1^2 = (y - 1)(y + 1)$

Итоговое разложение:

$(y - z)(y + z)(y - 1)(y + 1)$

Ответ: $(y - z)(y + z)(y - 1)(y + 1)$

з) $c^2 + cd + c - 2d^2 + 2d$

Перегруппируем члены многочлена, чтобы выделить части, которые легко факторизуются:

$(c^2 + cd - 2d^2) + (c + 2d)$

Разложим на множители первую группу $(c^2 + cd - 2d^2)$, рассматривая ее как квадратный трехчлен относительно переменной $c$. Найдем два выражения, произведение которых равно $-2d^2$, а сумма равна $d$. Это $2d$ и $-d$.

$c^2 + cd - 2d^2 = (c + 2d)(c - d)$

Подставим это разложение обратно в исходное выражение:

$(c + 2d)(c - d) + (c + 2d)$

Теперь мы видим общий множитель $(c + 2d)$, который можно вынести за скобки:

$(c + 2d)((c - d) + 1)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(c + 2d)(c - d + 1)$

Ответ: $(c + 2d)(c - d + 1)$