Номер 926, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 926, страница 243.

Условие.

926. Докажите, что при любом целом $n$ выражение:

а) $(n - 2)^3 - (n(3 + (n - 3)^2) - 10)$ равно 2;

б) $(5 + 3n)^2(4 - n) - n(96 - (3n - 1)^2)$ равно 100;

в) $(6n + 7)^2 - 2(n - 3)(6n + 7) + (n - 3)^2$ кратно 5;

г) $(2n + 7)^2 - 2(2n + 7)(2n - 3) + (2n - 3)^2$ кратно 10.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать, что выражение $(n - 2)^3 - (n(3 + (n - 3)^2) - 10)$ равно 2, упростим его.
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения.
Сначала куб разности:
$(n - 2)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 2 + 3 \cdot n \cdot 2^2 - 2^3 = n^3 - 6n^2 + 12n - 8$.
Теперь упростим вычитаемое. Сначала квадрат разности:
$(n - 3)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 - 6n + 9$.
Подставим это во вторую часть исходного выражения:
$n(3 + (n^2 - 6n + 9)) - 10 = n(n^2 - 6n + 12) - 10 = n^3 - 6n^2 + 12n - 10$.
Теперь выполним вычитание:
$(n^3 - 6n^2 + 12n - 8) - (n^3 - 6n^2 + 12n - 10) = n^3 - 6n^2 + 12n - 8 - n^3 + 6n^2 - 12n + 10 = 2$.
Значение выражения не зависит от $n$ и всегда равно 2.
Ответ: выражение равно 2.

б) Чтобы доказать, что выражение $(5 + 3n)^2(4 - n) - n(96 - (3n - 1)^2)$ равно 100, упростим его по частям.
Раскроем скобки в первой части:
$(5 + 3n)^2(4 - n) = (25 + 30n + 9n^2)(4 - n) = 4(25 + 30n + 9n^2) - n(25 + 30n + 9n^2)$
$= (100 + 120n + 36n^2) - (25n + 30n^2 + 9n^3) = 100 + 120n + 36n^2 - 25n - 30n^2 - 9n^3 = -9n^3 + 6n^2 + 95n + 100$.
Раскроем скобки во второй части:
$n(96 - (3n - 1)^2) = n(96 - (9n^2 - 6n + 1)) = n(96 - 9n^2 + 6n - 1) = n(-9n^2 + 6n + 95) = -9n^3 + 6n^2 + 95n$.
Выполним вычитание:
$(-9n^3 + 6n^2 + 95n + 100) - (-9n^3 + 6n^2 + 95n) = -9n^3 + 6n^2 + 95n + 100 + 9n^3 - 6n^2 - 95n = 100$.
Значение выражения не зависит от $n$ и всегда равно 100.
Ответ: выражение равно 100.

в) Чтобы доказать, что выражение $(6n + 7)^2 - 2(n - 3)(6n + 7) + (n - 3)^2$ кратно 5, применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 6n + 7$ и $b = n - 3$.
Тогда выражение равно $((6n + 7) - (n - 3))^2$.
Упростим выражение в скобках: $6n + 7 - n + 3 = 5n + 10$.
Получаем $(5n + 10)^2$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$(5(n + 2))^2 = 5^2 \cdot (n + 2)^2 = 25(n + 2)^2$.
Поскольку $n$ — целое число, то $(n+2)^2$ тоже целое. Выражение $25(n + 2)^2$ можно представить как $5 \cdot (5(n + 2)^2)$. Так как оно является произведением числа 5 и целого числа $5(n + 2)^2$, оно делится на 5 без остатка.
Ответ: выражение кратно 5.

г) Чтобы доказать, что выражение $(2n + 7)^2 - 2(2n + 7)(2n - 3) + (2n - 3)^2$ кратно 10, применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = 2n + 7$ и $b = 2n - 3$.
Тогда выражение равно $((2n + 7) - (2n - 3))^2$.
Упростим выражение в скобках: $2n + 7 - 2n + 3 = 10$.
Получаем $(10)^2 = 100$.
Значение выражения не зависит от $n$ и равно 100. Число 100 делится на 10 без остатка ($100 = 10 \cdot 10$), следовательно, оно кратно 10.
Ответ: выражение кратно 10.