Номер 923, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 923, страница 243.

Условие.

923. Докажите, что:

a) $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41;

б) $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^8$.

$7^{10} - 7^9 - 7^8 = 7^8(7^2 - 7^1 - 1)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$7^2 - 7 - 1 = 49 - 7 - 1 = 41$

Таким образом, исходное выражение равно $7^8 \cdot 41$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 41, то и все произведение делится на 41 без остатка.
Ответ: Доказано, что выражение $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41.

б) Чтобы доказать, что выражение $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41, сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки.

$(9^{100} - 9^{99}) + (9^{98} - 9^{97}) = 9^{99}(9 - 1) + 9^{97}(9 - 1)$

Выполним вычитание в скобках:

$9^{99} \cdot 8 + 9^{97} \cdot 8$

Теперь вынесем за скобки общий множитель 8:

$8(9^{99} + 9^{97})$

Внутри скобок вынесем множитель с наименьшей степенью $9^{97}$:

$8 \cdot [9^{97}(9^2 + 1)]$

Вычислим выражение во внутренних скобках:

$9^2 + 1 = 81 + 1 = 82$

Тогда исходное выражение примет вид:

$8 \cdot 9^{97} \cdot 82$

Поскольку $82 = 2 \cdot 41$, мы можем переписать выражение так:

$8 \cdot 9^{97} \cdot (2 \cdot 41) = 16 \cdot 9^{97} \cdot 41$

Так как один из множителей в итоговом произведении равен 41, то все выражение делится на 41.
Ответ: Доказано, что выражение $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41.