Номер 917, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 917, страница 242.

Условие.

917. Докажите, что для любого целого числа $x$ значение много-

члена:

а) $x^2 + x$ чётное число;

б) $x^3 - x$ делится на 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Докажем, что для любого целого числа $x$ значение многочлена $x^2 + x$ является чётным числом.

Разложим данный многочлен на множители, вынеся $x$ за скобки: $x^2 + x = x(x+1)$.

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $x$ и $x+1$. Для любого целого числа $x$ одно из этих чисел обязательно будет чётным. Если $x$ чётно, то произведение очевидно чётно. Если $x$ нечётно, то число $x+1$ будет чётным, и произведение снова будет чётным, так как произведение любого числа на чётное даёт в результате чётное число.

Следовательно, выражение $x^2 + x$ всегда является чётным.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что для любого целого числа $x$ значение многочлена $x^3 - x$ делится на 3.

Разложим многочлен на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки, а затем применим формулу разности квадратов:

$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

Переставив множители, получим $(x-1)x(x+1)$. Это произведение трёх последовательных целых чисел.

Среди любых трёх последовательных целых чисел одно и только одно всегда делится на 3. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим все возможные остатки от деления числа $x$ на 3. Если остаток равен 0, то само число $x$ делится на 3. Если остаток равен 1, то число $x-1$ будет делиться на 3. Если остаток равен 2, то число $x+1$ будет делиться на 3.

В любом из этих случаев один из трёх множителей — $(x-1)$, $x$ или $(x+1)$ — будет делиться на 3. А если один из множителей в произведении делится на 3, то и всё произведение делится на 3. Следовательно, выражение $x^3 - x$ всегда делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано.