Номер 918, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 918, страница 242.

Условие.

918. Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, есть точный квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, где $n \in \mathbb{N}$ (т.е. $n$ — натуральное число, $n \ge 1$).

Нам нужно доказать, что их произведение, увеличенное на 1, является точным квадратом. Запишем это выражение:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$

Преобразуем это выражение. Для этого сгруппируем множители, перемножив первый с последним и два средних между собой:

$[n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1$

Теперь раскроем скобки в каждой из групп:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Для дальнейшего упрощения введем замену. Пусть $x = n^2 + 3n$. Тогда выражение примет вид:

$x(x+2) + 1$

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы:

$(x+1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 3n$ вместо $x$:

$((n^2 + 3n) + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2$

Таким образом, мы доказали, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, равно квадрату выражения $(n^2 + 3n + 1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Значит, их сумма с единицей, $n^2 + 3n + 1$, тоже является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда является квадратом натурального числа, то есть точным квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, что является точным квадратом.