Номер 924, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 924, страница 243.

Условие.

924. Докажите, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для доказательства данного утверждения запишем сумму трёх последовательных степеней числа 2 в общем виде.

Пусть $n$ — это показатель первой (наименьшей) из трёх последовательных степеней. Так как степени последовательные, их показатели будут $n$, $n+1$ и $n+2$. Сами степени будут равны $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$. Показатель $n$ может быть любым целым неотрицательным числом ($n \ge 0$).

Составим сумму $S$ этих трёх степеней:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Чтобы доказать, что эта сумма делится на 7, преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является наименьшая степень, то есть $2^n$. Для этого воспользуемся свойством степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$.

$S = 2^n \cdot 1 + 2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^2$

Вынесем $2^n$ за скобки:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2)$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$1 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7$

Подставим полученное значение обратно в выражение для суммы $S$:

$S = 2^n \cdot 7$

Полученное выражение $7 \cdot 2^n$ представляет собой произведение двух множителей, один из которых равен 7. По определению делимости, если один из множителей в произведении делится на какое-либо число, то и всё произведение делится на это число. В нашем случае, так как один из множителей равен 7, вся сумма $S$ делится на 7 без остатка для любого целого неотрицательного $n$.

Ответ: Сумма трёх последовательных степеней числа 2 может быть представлена в виде $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1+2+4) = 7 \cdot 2^n$. Так как в полученном произведении один из множителей равен 7, то вся сумма делится на 7, что и требовалось доказать.