Номер 929, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 929, страница 243.

Условие.

929. а) $x^5 - 1$;

б) $x^6 - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^5 - 1$, воспользуемся формулой разности n-ых степеней:

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

В нашем случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$x^5 - 1^5 = (x - 1)(x^{5-1} + x^{5-2} \cdot 1^1 + x^{5-3} \cdot 1^2 + x^{5-4} \cdot 1^3 + 1^4)$

Упростим выражение в правой скобке:

$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

Многочлен $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ является неприводимым над полем рациональных чисел, поэтому это окончательное разложение.

Ответ: $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$

б) Выражение $x^6 - 1$ можно разложить на множители несколькими способами. Рассмотрим самый простой, представив его как разность квадратов.

Представим $x^6$ как $(x^3)^2$. Тогда выражение примет вид:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$:

$(x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(x^3 - 1)$ и сумма кубов $(x^3 + 1)$. Разложим каждый из них по соответствующим формулам:

1. Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

2. Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

Теперь объединим все полученные множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$

Для удобства сгруппируем множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$