Номер 933, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 933, страница 244.

Условие.

933. Исследуем. Французский математик Андриен Мари Ле-жандр предложил такую формулу простых чисел: $p = 2x^2 + 29$.

Сколько простых чисел даёт эта формула при подстановке в неё последовательных целых значений $x$, начиная с $(-28)$?

Выполните вычисления до получения первого составного числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для решения задачи воспользуемся формулой, предложенной французским математиком Андриеном Мари Лежандром: $p = 2x^2 + 29$. Нам нужно определить, сколько простых чисел будет сгенерировано при подстановке последовательных целых значений $x$, начиная с $-28$, до тех пор, пока не встретится первое составное число.

Начнем вычисления согласно условию, с $x = -28$:

При $x = -28$: $p(-28) = 2 \cdot (-28)^2 + 29 = 2 \cdot 784 + 29 = 1568 + 29 = 1597$.

Число 1597 является простым (оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя).

При $x = -27$: $p(-27) = 2 \cdot (-27)^2 + 29 = 2 \cdot 729 + 29 = 1458 + 29 = 1487$.

Число 1487 также является простым.

Продолжать вычисления для всех последующих значений $x$ ($ -26, -25, \dots $) было бы трудоемко. Однако можно заметить, что значение выражения $2x^2 + 29$ не зависит от знака $x$, поскольку $x$ возводится в квадрат. То есть, $p(x) = p(-x)$. Например, $p(28) = p(-28) = 1597$.

Это свойство позволяет нам искать первое составное число, анализируя неотрицательные значения $x$ ($0, 1, 2, \dots$). Наименьшее по модулю значение $x$, для которого $p(x)$ будет составным, определит границу для нашей последовательности.

Рассмотрим, при каком $x$ число $p(x)=2x^2+29$ может быть составным. Один из способов получить составное число — это найти такое $x$, при котором $p(x)$ будет делиться на 29. Для этого слагаемое $2x^2$ должно быть кратно 29. Так как числа 2 и 29 взаимно простые, то на 29 должен делиться $x^2$. А поскольку 29 — простое число, это возможно только если сам $x$ делится на 29.

Наименьшее натуральное значение $x$, которое делится на 29, это $x=29$. Проверим его:

$p(29) = 2 \cdot 29^2 + 29 = 29 \cdot (2 \cdot 29 + 1) = 29 \cdot (58+1) = 29 \cdot 59 = 1711$.

Число 1711 является составным. Так как $p(x) = p(-x)$, то при $x=-29$ мы также получим составное число: $p(-29) = 1711$.

Таким образом, при движении по последовательности целых чисел $x = -28, -27, \dots, 27, 28, 29, \dots$, первое составное число мы получим при $x=29$. Это означает, что для всех целых значений $x$ в диапазоне от $-28$ до $28$ формула будет давать простые числа.

Теперь посчитаем, сколько целых чисел находится в этом диапазоне. Количество чисел в последовательности от $-28$ до $28$ включительно можно найти по формуле: (последнее число) - (первое число) + 1.

Количество = $28 - (-28) + 1 = 28 + 28 + 1 = 57$.

Следовательно, формула генерирует 57 простых чисел подряд, начиная с $x=-28$.

Ответ: При подстановке последовательных целых значений $x$, начиная с $-28$, формула даёт 57 простых чисел до получения первого составного числа.