Номер 934, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 934, страница 244.

Условие.

934. Доказываем.

Докажите, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ найдётся такое целое значение $x$, что многочлен $ax^2 + bx + 29$ будет составным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Пусть $P(x) = ax^2 + bx + 29$ — данный многочлен. По условию задачи, коэффициенты $a$ и $b$ являются натуральными числами, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$ ($a \ge 1, b \ge 1$). Требуется доказать, что существует такое целое число $x$, при котором значение многочлена $P(x)$ будет составным числом.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Чтобы доказать, что некоторое число является составным, достаточно представить его в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1.

Рассмотрим значение многочлена при $x$, кратном свободному члену, который равен 29. Это простое число, что является ключевым моментом для решения. Выберем в качестве значения $x$ число 29.

Подставим $x = 29$ в выражение для многочлена:

$P(29) = a \cdot (29)^2 + b \cdot (29) + 29$

В каждом слагаемом есть множитель 29. Вынесем его за скобки:

$P(29) = 29 \cdot (a \cdot 29 + b + 1)$

Мы представили значение $P(29)$ в виде произведения двух множителей: 29 и $(29a + b + 1)$.

Первый множитель равен 29. Это число больше 1.

Теперь проанализируем второй множитель: $29a + b + 1$. Поскольку по условию $a$ и $b$ — натуральные числа, то наименьшее возможное значение для каждого из них равно 1. Следовательно, $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Оценим минимальное значение второго множителя:

$29a + b + 1 \ge 29 \cdot 1 + 1 + 1 = 31$

Таким образом, второй множитель $(29a + b + 1)$ всегда является целым числом, которое больше или равно 31, а значит, строго больше 1.

Поскольку $P(29)$ является произведением двух целых чисел (29 и $29a+b+1$), каждое из которых больше 1, то значение $P(29)$ является составным числом для любых натуральных $a$ и $b$.

Мы нашли такое целое значение $x=29$, которое удовлетворяет условию задачи. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ можно выбрать целое значение $x = 29$. При этом значении $x$ многочлен $ax^2 + bx + 29$ принимает значение $P(29) = 29 \cdot (29a + b + 1)$. Так как $a \ge 1$ и $b \ge 1$, то второй множитель $29a+b+1 \ge 29 \cdot 1 + 1 + 1 = 31$. Поскольку $P(29)$ является произведением двух целых чисел (29 и $29a+b+1$), каждое из которых больше 1, то $P(29)$ является составным числом. Что и требовалось доказать.