Номер 927, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 927, страница 243.

Условие.

Разложите на множители (927—931):

927. a) $4x^2 - 9$;

б) $x^4 - 1$;

в) $x^6 - 1$;

г) $x^2 - 1$;

д) $x^8 - 4x^4 + 4$;

е) $9x^6 + 6x^3 + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a)

Выражение $4x^2 - 9$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае, $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, следовательно, $a = 2x$.

И $b^2 = 9 = 3^2$, следовательно, $b = 3$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в формулу:

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$.

Ответ: $(2x - 3)(2x + 3)$.

б)

Выражение $x^4 - 1$ также является разностью квадратов. Представим его в виде $(x^2)^2 - 1^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = 1$:

$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.

Обратим внимание, что первый множитель $(x^2 - 1)$ также является разностью квадратов. Разложим его:

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

в)

Выражение $x^6 - 1$ можно разложить как разность квадратов.

Представим $x^6 - 1$ как $(x^3)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^3$ и $b = 1$:

$x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$.

Теперь у нас есть два множителя: разность кубов $(x^3 - 1)$ и сумма кубов $(x^3 + 1)$. Применим соответствующие формулы:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 1 = x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Объединяем все множители:

$x^6 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

г)

Выражение $x^2 - 1$ является классическим примером разности квадратов.

Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x$ и $b = 1$.

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(x + 1)$.

д)

Выражение $x^8 - 4x^4 + 4$ является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В этом выражении $a^2 = x^8 = (x^4)^2 \Rightarrow a=x^4$, $b^2 = 4 \Rightarrow b=2$, и средний член $-2ab = -2 \cdot x^4 \cdot 2 = -4x^4$, что совпадает с нашим выражением.

Таким образом, мы можем свернуть выражение по формуле:

$x^8 - 4x^4 + 4 = (x^4 - 2)^2$.

Ответ: $(x^4 - 2)^2$.

е)

Выражение $9x^6 + 6x^3 + 1$ похоже на полный квадрат. Проверим это, используя формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим $a$ и $b$.

Первый член: $a^2 = 9x^6 = (3x^3)^2$, значит, $a = 3x^3$.

Третий член: $b^2 = 1 = 1^2$, значит, $b = 1$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (3x^3) \cdot 1 = 6x^3$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.

Следовательно, выражение является полным квадратом суммы:

$9x^6 + 6x^3 + 1 = (3x^3 + 1)^2$.

Ответ: $(3x^3 + 1)^2$.