Номер 920, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 920, страница 242.

Условие.

Доказываем (920–926).

920. Докажите, что если при некоторых целых a и b выражение $4a - 5b$ делится на 13, то выражение $8a - 23b$ также делится на 13.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

По условию задачи дано, что для некоторых целых чисел $a$ и $b$ выражение $4a - 5b$ делится на 13. Это означает, что $4a - 5b$ является кратным 13.

Нам необходимо доказать, что выражение $8a - 23b$ также делится на 13. Для этого преобразуем второе выражение так, чтобы в его составе появилось первое выражение, $4a - 5b$.

Рассмотрим выражение $8a - 23b$. Заметим, что $8a = 2 \cdot 4a$. Это позволяет нам начать преобразование следующим образом:

$8a - 23b = 2(4a) - 23b$

Чтобы получить в скобках $4a - 5b$, мы можем искусственно вычесть и прибавить одно и то же слагаемое. В данном случае это будет $2 \cdot 5b = 10b$.

$8a - 23b = (8a - 10b) + 10b - 23b$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 2, а также упростим оставшуюся часть:

$8a - 23b = 2(4a - 5b) - 13b$

Теперь проанализируем полученное выражение. Оно состоит из разности двух слагаемых: $2(4a - 5b)$ и $13b$.

Первое слагаемое, $2(4a - 5b)$, делится на 13, так как по условию один из его множителей, $(4a - 5b)$, делится на 13.

Второе слагаемое, $13b$, также делится на 13, так как является произведением целого числа $b$ и числа 13.

Поскольку и уменьшаемое ($2(4a - 5b)$), и вычитаемое ($13b$) делятся на 13, то согласно свойству делимости их разность также делится на 13. Следовательно, выражение $8a - 23b$ делится на 13.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.