Номер 925, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 925, страница 243.

Условие.

925. Докажите тождество:

a) $\frac{1}{2}(m + n)^2 + \frac{1}{2}(m - n)^2 = m^2 + n^2;$

б) $(\frac{1}{2}(m + n))^2 - (\frac{1}{2}(m - n))^2 = mn;$

в) $(7b - 5c)^2(b + 2c) - b((7b + 2c)^2 - 119c^2) = 50c^3;$

г) $(3a - 2x)^2(a + 3x) - ((a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) - 4x^3) = 8a^3;$

д) $c(8c + 3a)^2 - ((8c - a)^2(c + a) + 24a^2c) = -a^3;$

е) $(a + b)^3 - 3ab(a + b) = a^3 + b^3;$

ж) $(x - y)^3 + 3xy(x - y) = x^3 - y^3;$

з) $(b - c)^3 + (c - a)^3 + (a - b)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$\frac{1}{2}(m + n)^2 + \frac{1}{2}(m - n)^2 = \frac{1}{2}(m^2 + 2mn + n^2) + \frac{1}{2}(m^2 - 2mn + n^2)$

Раскроем скобки, умножая каждый член на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2} \cdot 2mn + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}m^2 - \frac{1}{2} \cdot 2mn + \frac{1}{2}n^2 = \frac{1}{2}m^2 + mn + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}m^2 - mn + \frac{1}{2}n^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\frac{1}{2}m^2 + \frac{1}{2}m^2) + (mn - mn) + (\frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n^2) = m^2 + 0 + n^2 = m^2 + n^2$

В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Сначала возведем в квадрат выражения в скобках:

$(\frac{1}{2}(m + n))^2 - (\frac{1}{2}(m - n))^2 = \frac{1}{4}(m + n)^2 - \frac{1}{4}(m - n)^2$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим формулы квадрата суммы и разности:

$\frac{1}{4}((m^2 + 2mn + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2))$

Раскроем внутренние скобки, изменив знаки у второго многочлена на противоположные:

$\frac{1}{4}(m^2 + 2mn + n^2 - m^2 + 2mn - n^2)$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$\frac{1}{4}((m^2 - m^2) + (2mn + 2mn) + (n^2 - n^2)) = \frac{1}{4}(4mn) = mn$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть тождества. Раскроем скобки последовательно.

1. Преобразуем первое слагаемое $(7b - 5c)^2(b + 2c)$:

$(7b - 5c)^2 = 49b^2 - 70bc + 25c^2$

$(49b^2 - 70bc + 25c^2)(b + 2c) = 49b^3 + 98b^2c - 70b^2c - 140bc^2 + 25bc^2 + 50c^3 = 49b^3 + 28b^2c - 115bc^2 + 50c^3$

2. Преобразуем второе слагаемое $- b((7b + 2c)^2 - 119c^2)$:

$(7b + 2c)^2 = 49b^2 + 28bc + 4c^2$

$(49b^2 + 28bc + 4c^2) - 119c^2 = 49b^2 + 28bc - 115c^2$

$-b(49b^2 + 28bc - 115c^2) = -49b^3 - 28b^2c + 115bc^2$

3. Сложим полученные выражения:

$(49b^3 + 28b^2c - 115bc^2 + 50c^3) + (-49b^3 - 28b^2c + 115bc^2) = 50c^3$

Все члены, кроме $50c^3$, взаимно уничтожаются. Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества, выполняя действия по шагам.

1. Преобразуем выражение $(3a - 2x)^2(a + 3x)$:

$(3a - 2x)^2 = 9a^2 - 12ax + 4x^2$

$(9a^2 - 12ax + 4x^2)(a + 3x) = 9a^3 + 27a^2x - 12a^2x - 36ax^2 + 4ax^2 + 12x^3 = 9a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3$

2. Преобразуем выражение $- ((a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) - 4x^3)$:

$(a - x)(a^2 + 16ax - 16x^2) = a^3 + 16a^2x - 16ax^2 - a^2x - 16ax^2 + 16x^3 = a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 16x^3$

$(a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 16x^3) - 4x^3 = a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3$

$- (a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3) = -a^3 - 15a^2x + 32ax^2 - 12x^3$

3. Сложим результаты:

$(9a^3 + 15a^2x - 32ax^2 + 12x^3) + (-a^3 - 15a^2x + 32ax^2 - 12x^3) = 8a^3$

Подобные слагаемые взаимно уничтожаются, остается $9a^3-a^3=8a^3$. Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д) Преобразуем левую часть тождества.

1. Раскроем первое слагаемое $c(8c + 3a)^2$:

$(8c + 3a)^2 = 64c^2 + 48ac + 9a^2$

$c(64c^2 + 48ac + 9a^2) = 64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c$

2. Раскроем второе слагаемое $- ((8c - a)^2(c + a) + 24a^2c)$:

$(8c - a)^2 = 64c^2 - 16ac + a^2$

$(64c^2 - 16ac + a^2)(c + a) = 64c^3 + 64ac^2 - 16ac^2 - 16a^2c + a^2c + a^3 = 64c^3 + 48ac^2 - 15a^2c + a^3$

$(64c^3 + 48ac^2 - 15a^2c + a^3) + 24a^2c = 64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c + a^3$

$-(64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c + a^3) = -64c^3 - 48ac^2 - 9a^2c - a^3$

3. Сложим результаты шагов 1 и 2:

$(64c^3 + 48ac^2 + 9a^2c) + (-64c^3 - 48ac^2 - 9a^2c - a^3) = -a^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е) Для доказательства используем формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и преобразуем левую часть.

$(a + b)^3 - 3ab(a + b) = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 3ab(a + b)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2$

Приведем подобные члены:

$a^3 + (3a^2b - 3a^2b) + (3ab^2 - 3ab^2) + b^3 = a^3 + b^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж) Для доказательства используем формулу куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ и преобразуем левую часть.

$(x - y)^3 + 3xy(x - y) = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + 3xy(x - y)$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + 3x^2y - 3xy^2$

Приведем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) - y^3 = x^3 - y^3$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з) Это известное тождество, которое справедливо, если сумма оснований кубов равна нулю. Введем замены: $X = b - c$, $Y = c - a$, $Z = a - b$.

Найдем сумму этих выражений:

$X + Y + Z = (b - c) + (c - a) + (a - b) = b - c + c - a + a - b = 0$

Используем алгебраическое тождество: если $X+Y+Z=0$, то $X^3+Y^3+Z^3=3XYZ$.

Докажем это вспомогательное тождество. Из $X+Y+Z=0$ следует, что $X+Y = -Z$.

Возведем обе части равенства $X+Y = -Z$ в куб:

$(X+Y)^3 = (-Z)^3$

$X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3 = -Z^3$

$X^3 + Y^3 + 3XY(X+Y) = -Z^3$

Подставим $X+Y = -Z$ в полученное выражение:

$X^3 + Y^3 + 3XY(-Z) = -Z^3$

$X^3 + Y^3 - 3XYZ = -Z^3$

Перенесем $-Z^3$ и $-3XYZ$ в другие части уравнения:

$X^3 + Y^3 + Z^3 = 3XYZ$

Теперь подставим обратно исходные значения $X, Y, Z$:

$(b - c)^3 + (c - a)^3 + (a - b)^3 = 3(b - c)(c - a)(a - b)$

Порядок множителей в правой части не важен, поэтому $3(b - c)(c - a)(a - b) = 3(a - b)(b - c)(c - a)$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.