Номер 930, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 930, страница 243.

Условие.

930. a) $bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b);$

б) $a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c);$

В) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) $bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b)$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки:

$bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b) = b^2c + bc^2 + ac^2 - a^2c - a^2b - ab^2$.

Теперь сгруппируем слагаемые, рассматривая выражение как многочлен относительно переменной $a$:

$(-a^2b - a^2c) + (-ab^2 + ac^2) + (b^2c + bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$-a^2(b+c) + a(c^2 - b^2) + bc(b+c)$

Применим формулу разности квадратов $c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)$:

$-a^2(b+c) + a(c-b)(c+b) + bc(b+c)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(b+c)$:

$(b+c)[-a^2 + a(c-b) + bc]$

Разложим на множители выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки и сгруппировав слагаемые:

$-a^2 + ac - ab + bc = (-a^2 - ab) + (ac + bc) = -a(a+b) + c(a+b) = (c-a)(a+b)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$(b+c)(c-a)(a+b)$.

Для удобства записи можно переставить множители.

Ответ: $(a+b)(b+c)(c-a)$.

б) $a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c)$

Обозначим данное выражение как $P(a, b, c)$.

Заметим, что если подставить $a=b$, выражение обращается в ноль:

$P(b, b, c) = b^2b^2(b-b) + b^2c^2(c-b) + c^2b^2(b-c) = 0 + b^2c^2(c-b) - b^2c^2(c-b) = 0$.

Согласно теореме Безу, это означает, что $(a-b)$ является множителем выражения $P(a, b, c)$.

Выражение $P(a,b,c)$ является циклическим (при замене $a \to b$, $b \to c$, $c \to a$ оно сохраняет свою структуру). Следовательно, $(b-c)$ и $(c-a)$ также являются его множителями.

Таким образом, $P(a,b,c)$ делится на произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Степень исходного многочлена равна 5 (например, член $a^2b^3$ имеет степень $2+3=5$). Степень произведения $(a-b)(b-c)(c-a)$ равна 3. Следовательно, оставшийся множитель, который обозначим $Q(a,b,c)$, должен быть однородным многочленом степени $5-3=2$.

Так как $P(a,b,c)$ является циклическим, то и $Q(a,b,c)$ должен быть циклическим (и даже симметрическим). Общий вид симметрического однородного многочлена второй степени от трех переменных: $Q(a,b,c) = k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)$ для некоторых коэффициентов $k$ и $m$.

Итак, мы ищем разложение в виде:

$P(a,b,c) = (a-b)(b-c)(c-a)[k(a^2+b^2+c^2) + m(ab+bc+ca)]$.

Для нахождения $k$ и $m$ сравним коэффициенты при некоторых членах в левой и правой частях равенства. Развернем $P(a,b,c) = a^2b^3 - a^3b^2 + b^2c^3 - b^3c^2 + c^2a^3 - c^3a^2$.

1. Коэффициент при $a^3b^2$ в левой части равен -1. Найдем его в правой части. Произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$ содержит член $ab^2$ и $-a^2b$. Член $a^3b^2$ в правой части может быть получен умножением $ab^2$ на $ka^2$ и $-a^2b$ на $mab$. Коэффициент будет $k-m$. Итак, $k-m = -1$.

2. Коэффициент при $a^4b$ в левой части равен 0. В правой части член $a^4b$ может быть получен только умножением $-a^2b$ из $(a-b)(b-c)(c-a)$ на $ka^2$ из $Q(a,b,c)$. Коэффициент будет $-k$. Итак, $-k = 0$, откуда $k=0$.

Подставим $k=0$ в первое уравнение: $0-m=-1$, откуда $m=1$.

Таким образом, $Q(a,b,c) = 0 \cdot (a^2+b^2+c^2) + 1 \cdot (ab+bc+ca) = ab+bc+ca$.

Итоговое разложение имеет вид:

$a^2b^2(b - a) + b^2c^2(c - b) + c^2a^2(a - c) = (a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

Ответ: $(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.

в) $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$

Для разложения на множители кубического многочлена $P(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные целые корни являются делителями свободного члена (-9): $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.

Проверим значение многочлена при $x=1$:

$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 + 3(1) - 9 = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, то $x=1$ является корнем многочлена, а $(x-1)$ — одним из его множителей.

Теперь разделим многочлен $x^3 + 5x^2 + 3x - 9$ на двучлен $(x-1)$ с помощью деления "столбиком" или по схеме Горнера, чтобы найти остальные множители.

$(x^3 + 5x^2 + 3x - 9) : (x-1) = x^2 + 6x + 9$.

Полученный в результате деления квадратный трехчлен $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом:

$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Следовательно, итоговое разложение исходного многочлена на множители имеет вид:

$x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x-1)(x+3)^2$.

Ответ: $(x-1)(x+3)^2$.