Номер 928, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 928, страница 243.

Условие.

928. а) $x^6 + x^2 + 2$

б) $x^6 + x^2 - 2$

в) $x^5 + x + 1$

г) $x^5 + x - 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Разложим на множители многочлен $x^6 + x^2 + 2$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:
$y^3 + y + 2$
Найдем корни этого кубического многочлена. По теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена (числа 2), то есть $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $y = -1$: $(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
Следовательно, $(y+1)$ является одним из множителей. Чтобы найти второй множитель, разделим многочлен $y^3 + y + 2$ на $(y+1)$ с помощью метода группировки:
$y^3 + y + 2 = y^3 + y^2 - y^2 - y + 2y + 2 = y^2(y+1) - y(y+1) + 2(y+1) = (y+1)(y^2 - y + 2)$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = x^2$:
$(x^2 + 1)((x^2)^2 - x^2 + 2) = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 2)$.
Множитель $(x^2+1)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Для второго множителя $(x^4 - x^2 + 2)$, который является квадратным относительно $x^2$, найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, этот множитель также не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $(x^2+1)(x^4-x^2+2)$.

б) Разложим на множители многочлен $x^6 + x^2 - 2$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Тогда выражение примет вид:
$y^3 + y - 2$
Найдем корни этого кубического многочлена. Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 2$.
Подставим $y = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.
Следовательно, $(y-1)$ является одним из множителей. Разделим многочлен $y^3 + y - 2$ на $(y-1)$:
$y^3 + y - 2 = y^3 - y^2 + y^2 - y + 2y - 2 = y^2(y-1) + y(y-1) + 2(y-1) = (y-1)(y^2 + y + 2)$.
Вернемся к переменной $x$, подставив $y = x^2$:
$(x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 2)$.
Первый множитель $(x^2 - 1)$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$.
Для второго множителя $(x^4 + x^2 + 2)$ дискриминант относительно $x^2$ равен $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$, поэтому он не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $(x-1)(x+1)(x^4 + x^2 + 2)$.
Ответ: $(x-1)(x+1)(x^4+x^2+2)$.

в) Разложим на множители многочлен $x^5 + x + 1$.
Используем метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $x^2$:
$x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^2) + (x^2 + x + 1)$.
Вынесем $x^2$ из первой скобки:
$x^2(x^3 - 1) + (x^2 + x + 1)$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ к выражению $x^3-1$:
$x^2(x-1)(x^2+x+1) + (x^2+x+1)$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2+x+1)$:
$(x^2+x+1) [x^2(x-1) + 1]$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2+x+1)(x^3 - x^2 + 1)$.
Оба полученных множителя являются неприводимыми над полем рациональных чисел.
Ответ: $(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$.

г) Разложим на множители многочлен $x^5 + x - 1$.
Используем метод добавления и вычитания слагаемого. Добавим и вычтем $x^2$:
$x^5 + x - 1 = x^5 + x^2 - x^2 + x - 1$.
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 + x^2) - (x^2 - x + 1)$.
Вынесем $x^2$ из первой скобки:
$x^2(x^3 + 1) - (x^2 - x + 1)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $x^3+1$:
$x^2(x+1)(x^2-x+1) - (x^2-x+1)$.
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(x^2-x+1)$:
$(x^2-x+1) [x^2(x+1) - 1]$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(x^2-x+1)(x^3 + x^2 - 1)$.
Оба полученных множителя являются неприводимыми над полем рациональных чисел.
Ответ: $(x^2-x+1)(x^3+x^2-1)$.