Номер 922, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 922, страница 243.

Условие.

922. Докажите, что если при некоторых целых $x$ и $y$ выражение $x^2 + 9xy + y^2$ делится на 11, то и $x^2 - y^2$ делится на 11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

По условию задачи дано, что для некоторых целых чисел $x$ и $y$ выражение $x^2 + 9xy + y^2$ делится на 11. Это можно записать в виде сравнения по модулю 11:

$$x^2 + 9xy + y^2 \equiv 0 \pmod{11}$$

Преобразуем это выражение. Мы можем вычесть из левой части сравнения число, кратное 11, например $11xy$, при этом сравнение останется верным, так как $11xy \equiv 0 \pmod{11}$:

$$ (x^2 + 9xy + y^2) - 11xy \equiv 0 - 0 \pmod{11} $$

$$ x^2 - 2xy + y^2 \equiv 0 \pmod{11} $$

Левая часть этого сравнения является полным квадратом разности:

$$ (x-y)^2 \equiv 0 \pmod{11} $$

Данное сравнение означает, что $(x-y)^2$ делится на 11. Так как 11 — простое число, то если квадрат целого числа делится на 11, то и само это число делится на 11. Отсюда следует, что $x-y$ делится на 11, то есть:

$$ x-y \equiv 0 \pmod{11} $$

Теперь рассмотрим выражение $x^2 - y^2$, делимость которого на 11 требуется доказать. Разложим его на множители по формуле разности квадратов:

$$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $$

Мы уже доказали, что множитель $(x-y)$ делится на 11. Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то их сумма $(x+y)$ также является целым числом. Произведение числа, кратного 11, на любое целое число также будет кратно 11.

Следовательно, произведение $(x-y)(x+y)$, а значит и выражение $x^2 - y^2$, делится на 11.

Ответ: Утверждение доказано.