Номер 915, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 915, страница 242.

Условие.

Доказываем (915—918).

915. Докажите, что:

а) квадрат нечётного натурального числа есть число нечётное;

б) при $A = m - 1$ выражение $A^2 + A + m$ является полным квадратом;

в) для любого целого $n$ произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6;

г) сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4;

д) разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4;

е) квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8;

ж) разность куба натурального числа и самого числа делится на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Пусть дано нечётное натуральное число $n$. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Возведём это число в квадрат: $n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Вынесем 2 за скобки у первых двух слагаемых: $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$. Пусть $m = 2k^2 + 2k$. Так как $k$ — целое число, то $m$ тоже целое число. Тогда $n^2 = 2m + 1$. Число вида $2m + 1$ по определению является нечётным.
Ответ: Квадрат нечётного натурального числа есть число нечётное, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим выражение $A^2 + A + m$. Подставим в него значение $A = m - 1$: $(m - 1)^2 + (m - 1) + m$. Раскроем скобки и упростим выражение: $(m^2 - 2m + 1) + (m - 1) + m = m^2 - 2m + 1 + m - 1 + m = m^2 + (-2m + m + m) + (1 - 1) = m^2$. Результат $m^2$ является квадратом числа $m$.
Ответ: При $A = m - 1$ выражение $A^2 + A + m$ является полным квадратом, а именно $m^2$.

в) Чтобы доказать, что произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.
1. Делимость на 2: В произведении есть множитель $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, следовательно, их произведение делится на 2. Значит, и всё выражение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 2.
2. Делимость на 3: Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 ($n = 3k$), то всё произведение делится на 3.
• Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 ($n = 3k + 1$), то множитель $2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 2 + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.
• Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 ($n = 3k + 2$), то множитель $n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)$ делится на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

В любом случае произведение делится на 3.
Так как выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на 6.
Ответ: Для любого целого $n$ произведение $n(n + 1)(2n + 1)$ делится на 6, что и требовалось доказать.

г) Пусть первое нечётное число равно $2k + 1$, где $k$ — целое число. Следующее за ним нечётное число будет $2k + 1 + 2 = 2k + 3$. Найдём их сумму: $(2k + 1) + (2k + 3) = 4k + 4$. Вынесем 4 за скобки: $4(k + 1)$. Так как $k$ — целое, то $k + 1$ тоже целое. Значит, полученная сумма является произведением целого числа на 4, то есть делится на 4.
Ответ: Сумма двух последовательных нечётных чисел делится на 4, что и требовалось доказать.

д) Пусть даны два нечётных числа $a$ и $b$. Их можно представить в виде $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа. Рассмотрим разность их квадратов: $a^2 - b^2 = (2k + 1)^2 - (2m + 1)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $a^2 - b^2 = ((2k + 1) - (2m + 1))((2k + 1) + (2m + 1))$. Упростим выражения в скобках: Первая скобка: $2k + 1 - 2m - 1 = 2k - 2m = 2(k - m)$. Вторая скобка: $2k + 1 + 2m + 1 = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1)$. Перемножим полученные выражения: $2(k - m) \cdot 2(k + m + 1) = 4(k - m)(k + m + 1)$. Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $(k-m)(k+m+1)$ также является целым числом. Следовательно, разность квадратов делится на 4.
Ответ: Разность квадратов двух любых нечётных чисел делится на 4, что и требовалось доказать.

е) Пусть дано нечётное число $n = 2k + 1$, где $k$ — целое число. Рассмотрим выражение "квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу": $n^2 - 1$. Подставим $n = 2k + 1$: $(2k + 1)^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k^2 + 4k$. Вынесем общий множитель за скобки: $4k(k + 1)$. Произведение $k(k + 1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел. Одно из них обязательно чётное, поэтому их произведение делится на 2. То есть $k(k + 1) = 2m$ для некоторого целого $m$. Подставим это в наше выражение: $4k(k + 1) = 4 \cdot (2m) = 8m$. Полученное число делится на 8, так как является произведением целого числа $m$ на 8.
Ответ: Квадрат нечётного числа, уменьшенный на единицу, делится на 8, что и требовалось доказать.

ж) Рассмотрим разность куба натурального числа $n$ и самого числа $n$: $n^3 - n$. Разложим это выражение на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$. Переставим множители для наглядности: $(n - 1)n(n + 1)$. Это произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди трёх последовательных чисел:

• обязательно есть хотя бы одно чётное число (делящееся на 2);
• обязательно есть ровно одно число, делящееся на 3.

Поскольку произведение делится на 2 и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, то оно делится и на их произведение $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Разность куба натурального числа и самого числа делится на 6, что и требовалось доказать.