Номер 913, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 913, страница 242.

Условие.

913. Вместо А, В и С подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:

а) $2x^2 + 7x - 15 = (2x - 3)(x + A);$

б) $(8 - 2x)(4 - x) = A - 16x + 32;$

в) $(3a^2 - b)(4b - a^2) = -3a^4 + A - 4b^2;$

г) $(4x^2y^2 + A)^2 = B + C + 0,01y^8;$

д) $(8a^4b^3 - A)^2 = B - C + 0,16b^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы найти одночлен $A$, раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:
$(2x - 3)(x + A) = 2x \cdot x + 2x \cdot A - 3 \cdot x - 3 \cdot A = 2x^2 + 2Ax - 3x - 3A = 2x^2 + (2A - 3)x - 3A$.
Теперь у нас есть равенство: $2x^2 + 7x - 15 = 2x^2 + (2A - 3)x - 3A$.
Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты при $x$ и свободные члены:
$7 = 2A - 3$
$-15 = -3A$
Из второго уравнения легко найти $A$: $A = \frac{-15}{-3} = 5$.
Проверим, подставив это значение в первое уравнение: $7 = 2(5) - 3$, $7 = 10 - 3$, $7 = 7$. Равенство выполняется.
Ответ: $A = 5$.

б) Раскроем скобки в левой части равенства:
$(8 - 2x)(4 - x) = 8 \cdot 4 - 8 \cdot x - 2x \cdot 4 - 2x \cdot (-x) = 32 - 8x - 8x + 2x^2 = 2x^2 - 16x + 32$.
Приравняем полученное выражение к правой части: $2x^2 - 16x + 32 = A - 16x + 32$.
Сравнивая левую и правую части, мы видим, что слагаемые $-16x$ и $+32$ совпадают. Следовательно, оставшиеся части также должны быть равны.
$A = 2x^2$.
Ответ: $A = 2x^2$.

в) Раскроем скобки в левой части равенства, перемножив многочлены:
$(3a^2 - b)(4b - a^2) = 3a^2 \cdot 4b + 3a^2 \cdot (-a^2) - b \cdot 4b - b \cdot (-a^2) = 12a^2b - 3a^4 - 4b^2 + a^2b$.
Приведем подобные слагаемые: $-3a^4 + (12a^2b + a^2b) - 4b^2 = -3a^4 + 13a^2b - 4b^2$.
Приравняем это выражение к правой части исходного равенства: $-3a^4 + 13a^2b - 4b^2 = -3a^4 + A - 4b^2$.
Сравнивая обе части, видим, что члены $-3a^4$ и $-4b^2$ совпадают. Значит, и остальные члены должны быть равны.
$A = 13a^2b$.
Ответ: $A = 13a^2b$.

г) В левой части равенства находится квадрат суммы. Используем формулу $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$.
$(4x^2y^2 + A)^2 = (4x^2y^2)^2 + 2 \cdot 4x^2y^2 \cdot A + A^2 = 16x^4y^4 + 8x^2y^2A + A^2$.
Приравняем к правой части: $16x^4y^4 + 8x^2y^2A + A^2 = B + C + 0,01y^8$.
Чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы слагаемые в обеих частях были равны. Сопоставим члены с одинаковыми переменными. Логично предположить, что $A^2$ соответствует $0,01y^8$.
$A^2 = 0,01y^8 = (0,1y^4)^2$.
Отсюда находим $A = 0,1y^4$.
Остальные слагаемые $B$ и $C$ соответствуют $16x^4y^4$ и $8x^2y^2A$.
$B = 16x^4y^4$.
$C = 8x^2y^2A = 8x^2y^2(0,1y^4) = 0,8x^2y^6$.
Ответ: $A = 0,1y^4$, $B = 16x^4y^4$, $C = 0,8x^2y^6$.

д) В левой части равенства находится квадрат разности. Используем формулу $(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
$(8a^4b^3 - A)^2 = (8a^4b^3)^2 - 2 \cdot 8a^4b^3 \cdot A + A^2 = 64a^8b^6 - 16a^4b^3A + A^2$.
Приравняем к правой части: $64a^8b^6 - 16a^4b^3A + A^2 = B - C + 0,16b^4$.
Сопоставим слагаемые. Слагаемое со знаком плюс $A^2$ в левой части должно соответствовать слагаемому со знаком плюс $0,16b^4$ в правой.
$A^2 = 0,16b^4 = (0,4b^2)^2$.
Отсюда находим $A = 0,4b^2$.
Подставим $A$ в раскрытое выражение левой части: $64a^8b^6 - 16a^4b^3(0,4b^2) + (0,4b^2)^2 = 64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 + 0,16b^4$.
Теперь приравняем к правой части исходного равенства: $64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 + 0,16b^4 = B - C + 0,16b^4$.
Сократив $0,16b^4$ с обеих сторон, получаем: $64a^8b^6 - 6,4a^4b^5 = B - C$.
Отсюда, сопоставляя члены, находим $B$ и $C$.
$B = 64a^8b^6$.
$C = 6,4a^4b^5$.
Ответ: $A = 0,4b^2$, $B = 64a^8b^6$, $C = 6,4a^4b^5$.