Номер 909, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 909, страница 241.

Условие.

909. Подберите одночлены А и В так, чтобы выполнялось равенство:

а) $2a^2b^4 - 4a^3b^2 = A \cdot (b^2 - 2a);$

б) $A - 4x^2y^4 = 2x^2y^2 (3x - B);$

в) $10mn^4 + A = 5mn^2 \cdot (B + 3n);$

г) $(x - 2)(x + 3) = x^2 + A - 2x - B;$

д) $(a - A)(B - 1) = a^2 - a - ab + b;$

е) $(A + B)(p + q) = p^2 + pq + pq + q^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для того чтобы найти одночлен $A$, необходимо вынести общий множитель за скобки в левой части равенства. Левая часть: $2a^2b^4 - 4a^3b^2$. Найдём наибольший общий делитель для одночленов $2a^2b^4$ и $4a^3b^2$. Это $2a^2b^2$. Вынесем его за скобки: $2a^2b^2(b^2 - 2a)$. Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $2a^2b^2(b^2 - 2a) = A \cdot (b^2 - 2a)$. Отсюда очевидно, что одночлен $A$ равен множителю перед скобкой.

Ответ: $A = 2a^2b^2$.

б) Раскроем скобки в правой части равенства $A - 4x^2y^4 = 2x^2y^2(3x - B)$: $2x^2y^2(3x - B) = 2x^2y^2 \cdot 3x - 2x^2y^2 \cdot B = 6x^3y^2 - 2x^2y^2B$. Теперь исходное равенство можно переписать в виде: $A - 4x^2y^4 = 6x^3y^2 - 2x^2y^2B$. Чтобы это тождество выполнялось, одночлены в обеих частях должны быть попарно равны. Приравняем одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть: $A = 6x^3y^2$. $-4x^2y^4 = -2x^2y^2B$. Из второго уравнения выразим $B$: $B = \frac{-4x^2y^4}{-2x^2y^2} = 2y^2$.

Ответ: $A = 6x^3y^2$, $B = 2y^2$.

в) Раскроем скобки в правой части равенства $10mn^4 + A = 5mn^2 \cdot (B + 3n)$: $5mn^2(B + 3n) = 5mn^2 \cdot B + 5mn^2 \cdot 3n = 5mn^2B + 15mn^3$. Приравняем левую и правую части: $10mn^4 + A = 5mn^2B + 15mn^3$. Для выполнения этого равенства приравняем соответствующие одночлены: $10mn^4 = 5mn^2B$. $A = 15mn^3$. Из первого уравнения найдем $B$: $B = \frac{10mn^4}{5mn^2} = 2n^2$.

Ответ: $A = 15mn^3$, $B = 2n^2$.

г) Раскроем скобки в левой части равенства $(x - 2)(x + 3) = x^2 + A - 2x - B$: $(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$. Теперь приравняем полученное выражение к правой части: $x^2 + x - 6 = x^2 + A - 2x - B$. Для того чтобы равенство было верным, необходимо, чтобы сумма членов с $x$ в левой части была равна сумме членов с $x$ в правой, а также чтобы свободные члены были равны. Приравниваем члены, содержащие $x$: $x = A - 2x$. Отсюда находим $A$: $A = x + 2x = 3x$. Приравниваем свободные члены (константы): $-6 = -B$. Отсюда $B = 6$.

Ответ: $A = 3x$, $B = 6$.

д) Разложим правую часть равенства $(a - A)(B - 1) = a^2 - a - ab + b$ на множители методом группировки: $a^2 - a - ab + b = (a^2 - a) - (ab - b) = a(a - 1) - b(a - 1) = (a - b)(a - 1)$. Теперь равенство имеет вид: $(a - A)(B - 1) = (a - b)(a - 1)$. Сравнивая множители в скобках, получаем систему уравнений: $a - A = a - b$ $B - 1 = a - 1$ Из первого уравнения получаем $A = b$. Из второго уравнения получаем $B = a$. Оба найденных значения $A$ и $B$ являются одночленами.

Ответ: $A = b$, $B = a$.

е) Упростим правую часть равенства $(A + B)(p + q) = p^2 + pq + pq + q^2$: $p^2 + pq + pq + q^2 = p^2 + 2pq + q^2$. Это выражение является полным квадратом суммы: $(p + q)^2$. Получаем тождество: $(A + B)(p + q) = (p + q)^2$. Разделив обе части на $(p + q)$ (при условии, что $p+q \neq 0$), получим: $A + B = p + q$. Нужно подобрать такие одночлены $A$ и $B$, чтобы их сумма была равна $p + q$. Наиболее очевидный выбор: $A = p$ $B = q$ (Также возможен вариант $A=q, B=p$).

Ответ: $A = p$, $B = q$.