Номер 916, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 916, страница 242.

Условие.

916. Зная, что $x^3 - x$ (где $x$ — целое число) делится на 6, докажите, что выражения $x^3 - 7x$, $x^3 + 11x$, $5x^3 + 13x - 30$ делятся на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

По условию задачи, выражение $x^3 - x$ делится на 6 для любого целого числа $x$. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $x^3 - x = 6k$. Мы будем использовать этот факт для доказательства делимости каждого из предложенных выражений.

Основная идея доказательства состоит в том, чтобы алгебраически преобразовать каждое выражение, выделив в нем слагаемое $(x^3 - x)$, а затем показать, что оставшаяся часть выражения также делится на 6.

$x^3 - 7x$

Преобразуем выражение, выделив в нем $(x^3 - x)$:

$x^3 - 7x = x^3 - x - 6x = (x^3 - x) - 6x$

В полученной разности уменьшаемое $(x^3 - x)$ делится на 6 по условию задачи. Вычитаемое $6x$ также очевидно делится на 6, так как $x$ — целое число. Разность двух чисел, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 - 7x$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $x^3 - 7x$ делится на 6.

$x^3 + 11x$

Преобразуем выражение аналогичным образом:

$x^3 + 11x = x^3 - x + 12x = (x^3 - x) + 12x$

В полученной сумме первое слагаемое $(x^3 - x)$ делится на 6 по условию. Второе слагаемое $12x$ также делится на 6, так как $12x = 6 \cdot (2x)$, а $2x$ является целым числом. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 6, также делится на 6. Следовательно, выражение $x^3 + 11x$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $x^3 + 11x$ делится на 6.

$5x^3 + 13x - 30$

Преобразуем это выражение, чтобы использовать делимость $(x^3 - x)$ на 6:

$5x^3 + 13x - 30 = 5x^3 - 5x + 5x + 13x - 30 = 5(x^3 - x) + 18x - 30$

Рассмотрим полученную сумму. Первое слагаемое, $5(x^3 - x)$, делится на 6, так как один из его множителей, $(x^3 - x)$, делится на 6 по условию. Второе слагаемое, $18x$, также делится на 6, поскольку $18 = 3 \cdot 6$. Третье слагаемое, $-30$, делится на 6, так как $30 = 5 \cdot 6$.

Поскольку каждое из трех слагаемых в выражении $5(x^3 - x) + 18x - 30$ делится на 6, то и вся их алгебраическая сумма делится на 6. Следовательно, выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6.

Ответ: Доказано, что выражение $5x^3 + 13x - 30$ делится на 6.