Номер 910, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 910, страница 241.

Условие.

910. Упростите выражение:

а) $(x - 1)(x + 1)$;

б) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$;

в) $(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для упрощения этого выражения применяется формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае, $a = x$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.
Ответ: $x^2 - 1$.

б) Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Здесь $a = x$ и $b = 1$.
Применяя формулу, получаем:
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.
Ответ: $x^3 - 1$.

в) Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить многочлены, раскрыв скобки. Для этого умножим каждый член из первой скобки на многочлен во второй скобке.
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x(x^3 + x^2 + x + 1) - 1(x^3 + x^2 + x + 1)$
$= (x \cdot x^3 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 1) - (1 \cdot x^3 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1)$
$= (x^4 + x^3 + x^2 + x) - (x^3 + x^2 + x + 1)$
Теперь раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:
$= x^4 + x^3 + x^2 + x - x^3 - x^2 - x - 1$
$= x^4 + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2) + (x - x) - 1$
$= x^4 - 1$.
Ответ: $x^4 - 1$.