Номер 921, страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

921. Докажите, что если выражение $3a + 4b + 5c$, где $a, b$ и $c$ — целые числа, делится на 11, то и $9a + b + 4c$ делится на 11.

1. Пусть данное выражение $A = 3a + 4b + 5c$. По условию $A$ кратно $11$, то есть $A \equiv 0 \pmod{11}$.

2. Рассмотрим второе выражение $B = 9a + b + 4c$. Нам нужно показать, что $B \equiv 0 \pmod{11}$.

3. Попробуем найти такую линейную комбинацию этих выражений, которая явно делится на $11$. Рассмотрим разность между утроенным первым выражением и вторым выражением:

$3A - B = 3(3a + 4b + 5c) - (9a + b + 4c)$

4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3A - B = (9a + 12b + 15c) - (9a + b + 4c)$
$3A - B = (9a - 9a) + (12b - b) + (15c - 4c)$
$3A - B = 11b + 11c$

5. Заметим, что полученный результат $11b + 11c$ можно представить как $11(b + c)$. Очевидно, что это число делится на $11$.

6. Теперь выразим $B$ из полученного равенства:

$B = 3A - 11(b + c)$

7. Проанализируем полученную формулу:

• Слагаемое $3A$ делится на $11$, так как по условию $A$ делится на $11$.
• Слагаемое $11(b + c)$ делится на $11$, так как имеет множитель $11$.

Разность двух чисел, делящихся на $11$, также делится на $11$. Следовательно, $B$ делится на $11$.

Ответ: утверждение доказано, так как $9a + b + 4c = 3(3a + 4b + 5c) - 11(b + c)$.