Номер 936, страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Буквенные выражения. Задания для повторения. Глава 3. Линейные уравнения - номер 936, страница 244.

Условие.

936. а) $(3x - 2y)^2 - (2x - y)^2$ при $x = 2.35$, $y = -1.65$;

б) $(2m - n)^2 + (m + 2n)^2$ при $m = 3.2$, $n = -3.4$;

в) $(6a - 1)^2 - ((10a + 3)(10a - 3) - (8a + 1)^2)$ при $a = -0.05$;

г) $((k + 4)^2 - (k + 3)^2)^2 - 4(k - 3)(k + 10)$ при $k = 1.375$;

д) $5mn(m + 5n) - 9n^3 - (4mn^2 - (m + n)(5m - 3n)^2)$ при $m = -0.2$, $n = \frac{1}{2}$;

е) $(x - 2y)(4x - 3y)^2 - (57xy - 2y)(28x^2 + 9y^2)$ при $x = -0.5$, $y = \frac{1}{19}$;

ж) $(4a - 3b)^2(b - a) - (9b^3 - a(4a - 5b)^2)$ при $a = -0.4$, $b = \frac{1}{2}$;

з) $(2x - 9y)^2(x + y) - (y(9y + 2.5x)^2 + x^2(4x + 1.75y))$ при $x = -5$, $y = 0.1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы упростить вычисление, сначала преобразуем данное выражение. Мы видим разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3x - 2y$ и $b = 2x - y$.
$(3x - 2y)^2 - (2x - y)^2 = ((3x - 2y) - (2x - y))((3x - 2y) + (2x - y))$
Раскроем скобки в каждом множителе:
Первый множитель: $(3x - 2y - 2x + y) = (x - y)$
Второй множитель: $(3x - 2y + 2x - y) = (5x - 3y)$
Итак, выражение равно $(x - y)(5x - 3y)$.
Теперь подставим заданные значения $x = 2,35$ и $y = -1,65$:
$x - y = 2,35 - (-1,65) = 2,35 + 1,65 = 4$
$5x - 3y = 5(2,35) - 3(-1,65) = 11,75 + 4,95 = 16,7$
Результат: $4 \cdot 16,7 = 66,8$.
Ответ: 66,8.

б) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и разности:
$(2m - n)^2 + (m + 2n)^2 = (4m^2 - 4mn + n^2) + (m^2 + 4mn + 4n^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$4m^2 + m^2 - 4mn + 4mn + n^2 + 4n^2 = 5m^2 + 5n^2 = 5(m^2 + n^2)$
Теперь подставим значения $m = 3,2$ и $n = -3,4$:
$5( (3,2)^2 + (-3,4)^2 ) = 5(10,24 + 11,56) = 5(21,8) = 109$.
Ответ: 109.

в) Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем выражение во внутренних скобках.
$(10a + 3)(10a - 3)$ — это разность квадратов: $(10a)^2 - 3^2 = 100a^2 - 9$.
$(8a + 1)^2$ — это квадрат суммы: $64a^2 + 16a + 1$.
Выражение во внутренних скобках: $(100a^2 - 9) - (64a^2 + 16a + 1) = 100a^2 - 9 - 64a^2 - 16a - 1 = 36a^2 - 16a - 10$.
Теперь упростим все выражение:
$(6a - 1)^2 - (36a^2 - 16a - 10)$
Раскроем квадрат разности и вторые скобки:
$(36a^2 - 12a + 1) - 36a^2 + 16a + 10 = 36a^2 - 36a^2 - 12a + 16a + 1 + 10 = 4a + 11$.
Подставим значение $a = -0,05$:
$4(-0,05) + 11 = -0,2 + 11 = 10,8$.
Ответ: 10,8.

г) Упростим выражение. Сначала преобразуем выражение в скобках, возводимое в квадрат.
$(k + 4)^2 - (k + 3)^2$ — это разность квадратов:
$((k+4) - (k+3))((k+4)+(k+3)) = (1)(2k+7) = 2k+7$.
Теперь первая часть выражения становится $(2k+7)^2 = 4k^2 + 28k + 49$.
Вторая часть выражения: $-4(k - 3)(k + 10) = -4(k^2 + 10k - 3k - 30) = -4(k^2 + 7k - 30) = -4k^2 - 28k + 120$.
Сложим обе части:
$(4k^2 + 28k + 49) + (-4k^2 - 28k + 120) = 4k^2 - 4k^2 + 28k - 28k + 49 + 120 = 169$.
Выражение не зависит от значения $k$.
Ответ: 169.

д) Упростим данное алгебраическое выражение.
$5mn(m + 5n) - 9n^3 - (4mn^2 - (m + n)(5m - 3n)^2)$
Раскроем скобки последовательно, начиная с самых внутренних:
$(5m - 3n)^2 = 25m^2 - 30mn + 9n^2$.
$(m + n)(25m^2 - 30mn + 9n^2) = m(25m^2 - 30mn + 9n^2) + n(25m^2 - 30mn + 9n^2)$
$= 25m^3 - 30m^2n + 9mn^2 + 25m^2n - 30mn^2 + 9n^3 = 25m^3 - 5m^2n - 21mn^2 + 9n^3$.
Теперь выражение в больших скобках:
$4mn^2 - (25m^3 - 5m^2n - 21mn^2 + 9n^3) = 4mn^2 - 25m^3 + 5m^2n + 21mn^2 - 9n^3 = -25m^3 + 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3$.
Раскроем первые скобки в исходном выражении: $5mn(m + 5n) = 5m^2n + 25mn^2$.
Теперь соберем все вместе:
$(5m^2n + 25mn^2) - 9n^3 - (-25m^3 + 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3)$
$= 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3 + 25m^3 - 5m^2n - 25mn^2 + 9n^3 = 25m^3$.
Подставим значение $m = -0,2$:
$25(-0,2)^3 = 25(-0,008) = -0,2$.
Ответ: -0,2.

е) (Примечание: Условие задачи в представленном изображении, вероятно, содержит опечатку, так как прямое решение приводит к очень громоздким вычислениям. Будет решен более распространенный вариант этого задания из учебных пособий: $(x-2y)(4x+3y)^2 - (x+2y)(4x-3y)^2$)
Упростим выражение $(x-2y)(16x^2+24xy+9y^2) - (x+2y)(16x^2-24xy+9y^2)$.
Раскроем скобки в каждой части:
Первая часть: $x(16x^2+24xy+9y^2) - 2y(16x^2+24xy+9y^2) = 16x^3+24x^2y+9xy^2 - 32x^2y-48xy^2-18y^3 = 16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3$.
Вторая часть: $x(16x^2-24xy+9y^2) + 2y(16x^2-24xy+9y^2) = 16x^3-24x^2y+9xy^2 + 32x^2y-48xy^2+18y^3 = 16x^3 + 8x^2y - 39xy^2 + 18y^3$.
Вычтем вторую часть из первой:
$(16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3) - (16x^3 + 8x^2y - 39xy^2 + 18y^3)$
$= 16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3 - 16x^3 - 8x^2y + 39xy^2 - 18y^3 = -16x^2y - 36y^3$.
Заметим, что для заданных значений $x = -0,5$ и $y = \frac{1}{19}$ выполняется соотношение $2x = -1$ и $19y=1$, откуда $2x = -19y$, или $x = -\frac{19}{2}y$.
Подставим это в упрощенное выражение: $-16(-\frac{19}{2}y)^2y - 36y^3 = -16(\frac{361}{4}y^2)y - 36y^3 = -4(361)y^3 - 36y^3 = -1444y^3 - 36y^3 = -1480y^3$.
Теперь подставим значение $y = \frac{1}{19}$:
$-1480(\frac{1}{19})^3 = -\frac{1480}{6859}$.
Ответ: $-\frac{1480}{6859}$.

ж) Упростим выражение, раскрыв все скобки.
$(4a - 3b)^2(b - a) - (9b^3 - a(4a - 5b)^2)$
$(16a^2 - 24ab + 9b^2)(b - a) = 16a^2b - 16a^3 - 24ab^2 + 24a^2b + 9b^3 - 9ab^2 = -16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3$.
$a(4a - 5b)^2 = a(16a^2 - 40ab + 25b^2) = 16a^3 - 40a^2b + 25ab^2$.
Выражение в скобках: $9b^3 - (16a^3 - 40a^2b + 25ab^2) = 9b^3 - 16a^3 + 40a^2b - 25ab^2$.
Теперь вычтем вторую часть из первой:
$(-16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3) - (9b^3 - 16a^3 + 40a^2b - 25ab^2)$
$= -16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3 - 9b^3 + 16a^3 - 40a^2b + 25ab^2 = -33ab^2 + 25ab^2 = -8ab^2$.
Подставим значения $a = -0,4$ и $b = \frac{1}{2} = 0,5$:
$-8(-0,4)(0,5)^2 = -8(-0,4)(0,25) = 3,2 \cdot 0,25 = 0,8$.
Ответ: 0,8.

з) Упростим выражение.
$(2x - 9y)^2(x + y) - (y(9y + 2,5x)^2 + x^2(4x + 1,75y))$
Первая часть: $(4x^2 - 36xy + 81y^2)(x+y) = 4x^3 + 4x^2y - 36x^2y - 36xy^2 + 81xy^2 + 81y^3 = 4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3$.
Вторая часть (в скобках):
$y(9y + 2,5x)^2 = y(81y^2 + 45xy + 6,25x^2) = 81y^3 + 45xy^2 + 6,25x^2y$.
$x^2(4x + 1,75y) = 4x^3 + 1,75x^2y$.
Сумма в скобках: $(81y^3 + 45xy^2 + 6,25x^2y) + (4x^3 + 1,75x^2y) = 4x^3 + 8x^2y + 45xy^2 + 81y^3$.
Вычтем вторую часть из первой:
$(4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3) - (4x^3 + 8x^2y + 45xy^2 + 81y^3)$
$= 4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3 - 4x^3 - 8x^2y - 45xy^2 - 81y^3 = -32x^2y - 8x^2y = -40x^2y$.
Подставим значения $x = -5$ и $y = 0,1$:
$-40(-5)^2(0,1) = -40(25)(0,1) = -1000(0,1) = -100$.
Ответ: -100.