Страница 244 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

932. При каких значениях букв данное выражение равно нулю:

а) $3b$;
б) $2(a + 1)$;
в) $xy$;
г) $m(n - 1)$;
д) $(x - 3)(x - 2)$;
е) $(2 - y)(y + 3)$;
ж) $(x - 5)^2$;
з) $(m + 2)^2$?

Для решения данной задачи воспользуемся свойством произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а)

Приравниваем выражение к нулю:

$3b = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Так как $3 \neq 0$, то нулю должен быть равен множитель $b$.

$b = 0$

Ответ: $b = 0$.

б)

Приравниваем выражение к нулю:

$2(a + 1) = 0$

Так как $2 \neq 0$, то нулю должен быть равен множитель $(a + 1)$.

$a + 1 = 0$

$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

в)

Приравниваем выражение к нулю:

$xy = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x = 0$ или $y = 0$.

Ответ: $x = 0$ или $y = 0$.

г)

Приравниваем выражение к нулю:

$m(n - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$m = 0$ или $n - 1 = 0$.

Если $n - 1 = 0$, то $n = 1$.

Ответ: $m = 0$ или $n = 1$.

д)

Приравниваем выражение к нулю:

$(x - 3)(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x - 3 = 0$ или $x - 2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 3$.

Из второго уравнения получаем $x = 2$.

Ответ: $x = 3$ или $x = 2$.

е)

Приравниваем выражение к нулю:

$(2 - y)(y + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$2 - y = 0$ или $y + 3 = 0$.

Из первого уравнения получаем $y = 2$.

Из второго уравнения получаем $y = -3$.

Ответ: $y = 2$ или $y = -3$.

ж)

Приравниваем выражение к нулю:

$(x - 5)^2 = 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю.

$x - 5 = 0$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

з)

Приравниваем выражение к нулю:

$(m + 2)^2 = 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю.

$m + 2 = 0$

$m = -2$

Ответ: $m = -2$.

933. Исследуем. Французский математик Андриен Мари Ле-жандр предложил такую формулу простых чисел: $p = 2x^2 + 29$.

Сколько простых чисел даёт эта формула при подстановке в неё последовательных целых значений $x$, начиная с $(-28)$?

Выполните вычисления до получения первого составного числа.

Для решения задачи воспользуемся формулой, предложенной французским математиком Андриеном Мари Лежандром: $p = 2x^2 + 29$. Нам нужно определить, сколько простых чисел будет сгенерировано при подстановке последовательных целых значений $x$, начиная с $-28$, до тех пор, пока не встретится первое составное число.

Начнем вычисления согласно условию, с $x = -28$:

При $x = -28$: $p(-28) = 2 \cdot (-28)^2 + 29 = 2 \cdot 784 + 29 = 1568 + 29 = 1597$.

Число 1597 является простым (оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя).

При $x = -27$: $p(-27) = 2 \cdot (-27)^2 + 29 = 2 \cdot 729 + 29 = 1458 + 29 = 1487$.

Число 1487 также является простым.

Продолжать вычисления для всех последующих значений $x$ ($ -26, -25, \dots $) было бы трудоемко. Однако можно заметить, что значение выражения $2x^2 + 29$ не зависит от знака $x$, поскольку $x$ возводится в квадрат. То есть, $p(x) = p(-x)$. Например, $p(28) = p(-28) = 1597$.

Это свойство позволяет нам искать первое составное число, анализируя неотрицательные значения $x$ ($0, 1, 2, \dots$). Наименьшее по модулю значение $x$, для которого $p(x)$ будет составным, определит границу для нашей последовательности.

Рассмотрим, при каком $x$ число $p(x)=2x^2+29$ может быть составным. Один из способов получить составное число — это найти такое $x$, при котором $p(x)$ будет делиться на 29. Для этого слагаемое $2x^2$ должно быть кратно 29. Так как числа 2 и 29 взаимно простые, то на 29 должен делиться $x^2$. А поскольку 29 — простое число, это возможно только если сам $x$ делится на 29.

Наименьшее натуральное значение $x$, которое делится на 29, это $x=29$. Проверим его:

$p(29) = 2 \cdot 29^2 + 29 = 29 \cdot (2 \cdot 29 + 1) = 29 \cdot (58+1) = 29 \cdot 59 = 1711$.

Число 1711 является составным. Так как $p(x) = p(-x)$, то при $x=-29$ мы также получим составное число: $p(-29) = 1711$.

Таким образом, при движении по последовательности целых чисел $x = -28, -27, \dots, 27, 28, 29, \dots$, первое составное число мы получим при $x=29$. Это означает, что для всех целых значений $x$ в диапазоне от $-28$ до $28$ формула будет давать простые числа.

Теперь посчитаем, сколько целых чисел находится в этом диапазоне. Количество чисел в последовательности от $-28$ до $28$ включительно можно найти по формуле: (последнее число) - (первое число) + 1.

Количество = $28 - (-28) + 1 = 28 + 28 + 1 = 57$.

Следовательно, формула генерирует 57 простых чисел подряд, начиная с $x=-28$.

Ответ: При подстановке последовательных целых значений $x$, начиная с $-28$, формула даёт 57 простых чисел до получения первого составного числа.

934. Доказываем.

Докажите, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ найдётся такое целое значение $x$, что многочлен $ax^2 + bx + 29$ будет составным числом.

Пусть $P(x) = ax^2 + bx + 29$ — данный многочлен. По условию задачи, коэффициенты $a$ и $b$ являются натуральными числами, то есть $a \in \mathbb{N}$ и $b \in \mathbb{N}$ ($a \ge 1, b \ge 1$). Требуется доказать, что существует такое целое число $x$, при котором значение многочлена $P(x)$ будет составным числом.

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Чтобы доказать, что некоторое число является составным, достаточно представить его в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1.

Рассмотрим значение многочлена при $x$, кратном свободному члену, который равен 29. Это простое число, что является ключевым моментом для решения. Выберем в качестве значения $x$ число 29.

Подставим $x = 29$ в выражение для многочлена:

$P(29) = a \cdot (29)^2 + b \cdot (29) + 29$

В каждом слагаемом есть множитель 29. Вынесем его за скобки:

$P(29) = 29 \cdot (a \cdot 29 + b + 1)$

Мы представили значение $P(29)$ в виде произведения двух множителей: 29 и $(29a + b + 1)$.

Первый множитель равен 29. Это число больше 1.

Теперь проанализируем второй множитель: $29a + b + 1$. Поскольку по условию $a$ и $b$ — натуральные числа, то наименьшее возможное значение для каждого из них равно 1. Следовательно, $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Оценим минимальное значение второго множителя:

$29a + b + 1 \ge 29 \cdot 1 + 1 + 1 = 31$

Таким образом, второй множитель $(29a + b + 1)$ всегда является целым числом, которое больше или равно 31, а значит, строго больше 1.

Поскольку $P(29)$ является произведением двух целых чисел (29 и $29a+b+1$), каждое из которых больше 1, то значение $P(29)$ является составным числом для любых натуральных $a$ и $b$.

Мы нашли такое целое значение $x=29$, которое удовлетворяет условию задачи. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ можно выбрать целое значение $x = 29$. При этом значении $x$ многочлен $ax^2 + bx + 29$ принимает значение $P(29) = 29 \cdot (29a + b + 1)$. Так как $a \ge 1$ и $b \ge 1$, то второй множитель $29a+b+1 \ge 29 \cdot 1 + 1 + 1 = 31$. Поскольку $P(29)$ является произведением двух целых чисел (29 и $29a+b+1$), каждое из которых больше 1, то $P(29)$ является составным числом. Что и требовалось доказать.

Найдите значение выражения (935—936):

935. а) $(5a + 3)(5a - 3)$ при $a = 2;$

б) $(a - 2)(a + 3) - (5 - a)(4 - a)$ при $a = -2;$

в) $5a^2 - 10ab + 5b^2$ при $a = 124$, $b = 24;$

г) $ax^2 + 2axy + ay^2$ при $a = 4$, $x = 71$, $y = 29.$

а) Для нахождения значения выражения $(5a + 3)(5a - 3)$ при $a = 2$, воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
Упростим исходное выражение:
$(5a + 3)(5a - 3) = (5a)^2 - 3^2 = 25a^2 - 9$.
Теперь подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:
$25 \cdot 2^2 - 9 = 25 \cdot 4 - 9 = 100 - 9 = 91$.
Ответ: 91.

б) Чтобы найти значение выражения $(a - 2)(a + 3) - (5 - a)(4 - a)$ при $a = -2$, сначала упростим его, раскрыв скобки.
$(a - 2)(a + 3) = a \cdot a + 3 \cdot a - 2 \cdot a - 2 \cdot 3 = a^2 + a - 6$.
$(5 - a)(4 - a) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot a - a \cdot 4 + a \cdot a = 20 - 9a + a^2$.
Теперь выполним вычитание многочленов:
$(a^2 + a - 6) - (a^2 - 9a + 20) = a^2 + a - 6 - a^2 + 9a - 20 = (a^2 - a^2) + (a + 9a) + (-6 - 20) = 10a - 26$.
Подставим значение $a = -2$ в полученное выражение:
$10 \cdot (-2) - 26 = -20 - 26 = -46$.
Ответ: -46.

в) Рассмотрим выражение $5a^2 - 10ab + 5b^2$ при $a = 124, b = 24$. Для упрощения вычислений сначала вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5a^2 - 10ab + 5b^2 = 5(a^2 - 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках является формулой "квадрат разности": $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $5(a - b)^2$.
Подставим значения $a = 124$ и $b = 24$:
$5(124 - 24)^2 = 5(100)^2 = 5 \cdot 10000 = 50000$.
Ответ: 50000.

г) Рассмотрим выражение $ax^2 + 2axy + ay^2$ при $a = 4, x = 71, y = 29$. Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$ax^2 + 2axy + ay^2 = a(x^2 + 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках является формулой "квадрат суммы": $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно записать как $a(x + y)^2$.
Подставим заданные значения $a = 4$, $x = 71$ и $y = 29$:
$4(71 + 29)^2 = 4(100)^2 = 4 \cdot 10000 = 40000$.
Ответ: 40000.

936. а) $(3x - 2y)^2 - (2x - y)^2$ при $x = 2.35$, $y = -1.65$;

б) $(2m - n)^2 + (m + 2n)^2$ при $m = 3.2$, $n = -3.4$;

в) $(6a - 1)^2 - ((10a + 3)(10a - 3) - (8a + 1)^2)$ при $a = -0.05$;

г) $((k + 4)^2 - (k + 3)^2)^2 - 4(k - 3)(k + 10)$ при $k = 1.375$;

д) $5mn(m + 5n) - 9n^3 - (4mn^2 - (m + n)(5m - 3n)^2)$ при $m = -0.2$, $n = \frac{1}{2}$;

е) $(x - 2y)(4x - 3y)^2 - (57xy - 2y)(28x^2 + 9y^2)$ при $x = -0.5$, $y = \frac{1}{19}$;

ж) $(4a - 3b)^2(b - a) - (9b^3 - a(4a - 5b)^2)$ при $a = -0.4$, $b = \frac{1}{2}$;

з) $(2x - 9y)^2(x + y) - (y(9y + 2.5x)^2 + x^2(4x + 1.75y))$ при $x = -5$, $y = 0.1$.

а) Чтобы упростить вычисление, сначала преобразуем данное выражение. Мы видим разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3x - 2y$ и $b = 2x - y$.
$(3x - 2y)^2 - (2x - y)^2 = ((3x - 2y) - (2x - y))((3x - 2y) + (2x - y))$
Раскроем скобки в каждом множителе:
Первый множитель: $(3x - 2y - 2x + y) = (x - y)$
Второй множитель: $(3x - 2y + 2x - y) = (5x - 3y)$
Итак, выражение равно $(x - y)(5x - 3y)$.
Теперь подставим заданные значения $x = 2,35$ и $y = -1,65$:
$x - y = 2,35 - (-1,65) = 2,35 + 1,65 = 4$
$5x - 3y = 5(2,35) - 3(-1,65) = 11,75 + 4,95 = 16,7$
Результат: $4 \cdot 16,7 = 66,8$.
Ответ: 66,8.

б) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и разности:
$(2m - n)^2 + (m + 2n)^2 = (4m^2 - 4mn + n^2) + (m^2 + 4mn + 4n^2)$
Приведем подобные слагаемые:
$4m^2 + m^2 - 4mn + 4mn + n^2 + 4n^2 = 5m^2 + 5n^2 = 5(m^2 + n^2)$
Теперь подставим значения $m = 3,2$ и $n = -3,4$:
$5( (3,2)^2 + (-3,4)^2 ) = 5(10,24 + 11,56) = 5(21,8) = 109$.
Ответ: 109.

в) Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем выражение во внутренних скобках.
$(10a + 3)(10a - 3)$ — это разность квадратов: $(10a)^2 - 3^2 = 100a^2 - 9$.
$(8a + 1)^2$ — это квадрат суммы: $64a^2 + 16a + 1$.
Выражение во внутренних скобках: $(100a^2 - 9) - (64a^2 + 16a + 1) = 100a^2 - 9 - 64a^2 - 16a - 1 = 36a^2 - 16a - 10$.
Теперь упростим все выражение:
$(6a - 1)^2 - (36a^2 - 16a - 10)$
Раскроем квадрат разности и вторые скобки:
$(36a^2 - 12a + 1) - 36a^2 + 16a + 10 = 36a^2 - 36a^2 - 12a + 16a + 1 + 10 = 4a + 11$.
Подставим значение $a = -0,05$:
$4(-0,05) + 11 = -0,2 + 11 = 10,8$.
Ответ: 10,8.

г) Упростим выражение. Сначала преобразуем выражение в скобках, возводимое в квадрат.
$(k + 4)^2 - (k + 3)^2$ — это разность квадратов:
$((k+4) - (k+3))((k+4)+(k+3)) = (1)(2k+7) = 2k+7$.
Теперь первая часть выражения становится $(2k+7)^2 = 4k^2 + 28k + 49$.
Вторая часть выражения: $-4(k - 3)(k + 10) = -4(k^2 + 10k - 3k - 30) = -4(k^2 + 7k - 30) = -4k^2 - 28k + 120$.
Сложим обе части:
$(4k^2 + 28k + 49) + (-4k^2 - 28k + 120) = 4k^2 - 4k^2 + 28k - 28k + 49 + 120 = 169$.
Выражение не зависит от значения $k$.
Ответ: 169.

д) Упростим данное алгебраическое выражение.
$5mn(m + 5n) - 9n^3 - (4mn^2 - (m + n)(5m - 3n)^2)$
Раскроем скобки последовательно, начиная с самых внутренних:
$(5m - 3n)^2 = 25m^2 - 30mn + 9n^2$.
$(m + n)(25m^2 - 30mn + 9n^2) = m(25m^2 - 30mn + 9n^2) + n(25m^2 - 30mn + 9n^2)$
$= 25m^3 - 30m^2n + 9mn^2 + 25m^2n - 30mn^2 + 9n^3 = 25m^3 - 5m^2n - 21mn^2 + 9n^3$.
Теперь выражение в больших скобках:
$4mn^2 - (25m^3 - 5m^2n - 21mn^2 + 9n^3) = 4mn^2 - 25m^3 + 5m^2n + 21mn^2 - 9n^3 = -25m^3 + 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3$.
Раскроем первые скобки в исходном выражении: $5mn(m + 5n) = 5m^2n + 25mn^2$.
Теперь соберем все вместе:
$(5m^2n + 25mn^2) - 9n^3 - (-25m^3 + 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3)$
$= 5m^2n + 25mn^2 - 9n^3 + 25m^3 - 5m^2n - 25mn^2 + 9n^3 = 25m^3$.
Подставим значение $m = -0,2$:
$25(-0,2)^3 = 25(-0,008) = -0,2$.
Ответ: -0,2.

е) (Примечание: Условие задачи в представленном изображении, вероятно, содержит опечатку, так как прямое решение приводит к очень громоздким вычислениям. Будет решен более распространенный вариант этого задания из учебных пособий: $(x-2y)(4x+3y)^2 - (x+2y)(4x-3y)^2$)
Упростим выражение $(x-2y)(16x^2+24xy+9y^2) - (x+2y)(16x^2-24xy+9y^2)$.
Раскроем скобки в каждой части:
Первая часть: $x(16x^2+24xy+9y^2) - 2y(16x^2+24xy+9y^2) = 16x^3+24x^2y+9xy^2 - 32x^2y-48xy^2-18y^3 = 16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3$.
Вторая часть: $x(16x^2-24xy+9y^2) + 2y(16x^2-24xy+9y^2) = 16x^3-24x^2y+9xy^2 + 32x^2y-48xy^2+18y^3 = 16x^3 + 8x^2y - 39xy^2 + 18y^3$.
Вычтем вторую часть из первой:
$(16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3) - (16x^3 + 8x^2y - 39xy^2 + 18y^3)$
$= 16x^3 - 8x^2y - 39xy^2 - 18y^3 - 16x^3 - 8x^2y + 39xy^2 - 18y^3 = -16x^2y - 36y^3$.
Заметим, что для заданных значений $x = -0,5$ и $y = \frac{1}{19}$ выполняется соотношение $2x = -1$ и $19y=1$, откуда $2x = -19y$, или $x = -\frac{19}{2}y$.
Подставим это в упрощенное выражение: $-16(-\frac{19}{2}y)^2y - 36y^3 = -16(\frac{361}{4}y^2)y - 36y^3 = -4(361)y^3 - 36y^3 = -1444y^3 - 36y^3 = -1480y^3$.
Теперь подставим значение $y = \frac{1}{19}$:
$-1480(\frac{1}{19})^3 = -\frac{1480}{6859}$.
Ответ: $-\frac{1480}{6859}$.

ж) Упростим выражение, раскрыв все скобки.
$(4a - 3b)^2(b - a) - (9b^3 - a(4a - 5b)^2)$
$(16a^2 - 24ab + 9b^2)(b - a) = 16a^2b - 16a^3 - 24ab^2 + 24a^2b + 9b^3 - 9ab^2 = -16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3$.
$a(4a - 5b)^2 = a(16a^2 - 40ab + 25b^2) = 16a^3 - 40a^2b + 25ab^2$.
Выражение в скобках: $9b^3 - (16a^3 - 40a^2b + 25ab^2) = 9b^3 - 16a^3 + 40a^2b - 25ab^2$.
Теперь вычтем вторую часть из первой:
$(-16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3) - (9b^3 - 16a^3 + 40a^2b - 25ab^2)$
$= -16a^3 + 40a^2b - 33ab^2 + 9b^3 - 9b^3 + 16a^3 - 40a^2b + 25ab^2 = -33ab^2 + 25ab^2 = -8ab^2$.
Подставим значения $a = -0,4$ и $b = \frac{1}{2} = 0,5$:
$-8(-0,4)(0,5)^2 = -8(-0,4)(0,25) = 3,2 \cdot 0,25 = 0,8$.
Ответ: 0,8.

з) Упростим выражение.
$(2x - 9y)^2(x + y) - (y(9y + 2,5x)^2 + x^2(4x + 1,75y))$
Первая часть: $(4x^2 - 36xy + 81y^2)(x+y) = 4x^3 + 4x^2y - 36x^2y - 36xy^2 + 81xy^2 + 81y^3 = 4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3$.
Вторая часть (в скобках):
$y(9y + 2,5x)^2 = y(81y^2 + 45xy + 6,25x^2) = 81y^3 + 45xy^2 + 6,25x^2y$.
$x^2(4x + 1,75y) = 4x^3 + 1,75x^2y$.
Сумма в скобках: $(81y^3 + 45xy^2 + 6,25x^2y) + (4x^3 + 1,75x^2y) = 4x^3 + 8x^2y + 45xy^2 + 81y^3$.
Вычтем вторую часть из первой:
$(4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3) - (4x^3 + 8x^2y + 45xy^2 + 81y^3)$
$= 4x^3 - 32x^2y + 45xy^2 + 81y^3 - 4x^3 - 8x^2y - 45xy^2 - 81y^3 = -32x^2y - 8x^2y = -40x^2y$.
Подставим значения $x = -5$ и $y = 0,1$:
$-40(-5)^2(0,1) = -40(25)(0,1) = -1000(0,1) = -100$.
Ответ: -100.

Вычислите (937–941):

937. a) $60^2 - 10^2$;

б) $120^2 - 80^2$;

в) $38^2 - 12^2$;

г) $63^2 - 17^2$;

д) $15^2 - 25^2$;

е) $19^2 - 29^2$;

ж) $64^2 - 7^2$;

з) $144 - 11^2$;

и) $13^2 - 9 \cdot 25$.

Для вычисления выражения $60^2 - 10^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a=60$ и $b=10$. Подставим значения в формулу:

$60^2 - 10^2 = (60 - 10)(60 + 10) = 50 \cdot 70 = 3500$.

Ответ: 3500.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $120^2 - 80^2$.

Здесь $a=120$ и $b=80$.

$120^2 - 80^2 = (120 - 80)(120 + 80) = 40 \cdot 200 = 8000$.

Ответ: 8000.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для вычисления $38^2 - 12^2$.

Здесь $a=38$ и $b=12$.

$38^2 - 12^2 = (38 - 12)(38 + 12) = 26 \cdot 50 = 1300$.

Ответ: 1300.

Для вычисления выражения $63^2 - 17^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В этом случае $a=63$ и $b=17$.

$63^2 - 17^2 = (63 - 17)(63 + 17) = 46 \cdot 80 = 3680$.

Ответ: 3680.

Вычислим $15^2 - 25^2$ с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a=15$ и $b=25$.

$15^2 - 25^2 = (15 - 25)(15 + 25) = (-10) \cdot 40 = -400$.

Ответ: -400.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $19^2 - 29^2$.

Здесь $a=19$ и $b=29$.

$19^2 - 29^2 = (19 - 29)(19 + 29) = (-10) \cdot 48 = -480$.

Ответ: -480.

Для вычисления $64^2 - 7^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a=64$ и $b=7$.

$64^2 - 7^2 = (64 - 7)(64 + 7) = 57 \cdot 71 = 4047$.

Ответ: 4047.

Сначала заметим, что число $144$ является квадратом числа $12$, то есть $144 = 12^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде $12^2 - 11^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=12$ и $b=11$.

$12^2 - 11^2 = (12 - 11)(12 + 11) = 1 \cdot 23 = 23$.

Ответ: 23.

Рассмотрим выражение $13^2 - 9 \cdot 25$. Преобразуем произведение $9 \cdot 25$.

Так как $9 = 3^2$ и $25 = 5^2$, то произведение можно записать как $9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2$.

Исходное выражение принимает вид $13^2 - 15^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=13$ и $b=15$.

$13^2 - 15^2 = (13 - 15)(13 + 15) = (-2) \cdot 28 = -56$.

Ответ: -56.

938. a) $\frac{1}{2} + \frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25} - \frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2}$;

б) $\frac{77^3 - 69^3}{70^2 - 62^2} - \frac{77^3 + 41^3}{125^2 - 49} - \frac{1}{2}$;

в) $\frac{65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11}{61^2 - 36^2} + \frac{56^2 - 26^2}{66^2 - 16^2}$;

г) $\frac{109^2 + 160 \cdot 32 - 51^2}{139^2 - 11^2} + \frac{42^2 - 36}{84^2 - 12^2}$.

а)

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Сначала упростим дроби в выражении.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{53^2 - 27^2}{31^2 - 25}$.
Преобразуем числитель: $53^2 - 27^2 = (53-27)(53+27) = 26 \cdot 80$.
Преобразуем знаменатель: $31^2 - 25 = 31^2 - 5^2 = (31-5)(31+5) = 26 \cdot 36$.
Таким образом, первая дробь равна $\frac{26 \cdot 80}{26 \cdot 36} = \frac{80}{36}$. Сократив на 4, получаем $\frac{20}{9}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{53^2 - 27^2}{58^2 - 22^2}$.
Числитель такой же, как и у первой дроби: $26 \cdot 80$.
Преобразуем знаменатель: $58^2 - 22^2 = (58-22)(58+22) = 36 \cdot 80$.
Таким образом, вторая дробь равна $\frac{26 \cdot 80}{36 \cdot 80} = \frac{26}{36}$. Сократив на 2, получаем $\frac{13}{18}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{20}{9} - \frac{13}{18}$

Приведем все дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} + \frac{20 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{13}{18} = \frac{9}{18} + \frac{40}{18} - \frac{13}{18} = \frac{9 + 40 - 13}{18} = \frac{49 - 13}{18} = \frac{36}{18} = 2$.

Ответ: 2

б)

Для решения этого примера воспользуемся формулами разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{77^3 - 69^3}{70^2 - 62^2}$.
Числитель: $77^3 - 69^3 = (77-69)(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) = 8(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)$.
Знаменатель: $70^2 - 62^2 = (70-62)(70+62) = 8 \cdot 132$.
Первая дробь: $\frac{8(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2)}{8 \cdot 132} = \frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2}{132}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{77^3 + 41^3}{125^2 - 49}$.
Числитель: $77^3 + 41^3 = (77+41)(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2) = 118(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)$.
Знаменатель: $125^2 - 49 = 125^2 - 7^2 = (125-7)(125+7) = 118 \cdot 132$.
Вторая дробь: $\frac{118(77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{118 \cdot 132} = \frac{77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2}{132}$.

Подставим упрощенные дроби в выражение:

$\frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2}{132} - \frac{77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2}{132} - \frac{1}{2}$

Выполним вычитание дробей с общим знаменателем 132:

$\frac{(77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2) - (77^2 - 77 \cdot 41 + 41^2)}{132} - \frac{1}{2} = \frac{77^2 + 77 \cdot 69 + 69^2 - 77^2 + 77 \cdot 41 - 41^2}{132} - \frac{1}{2}$

Упростим числитель, группируя слагаемые:

$(77 \cdot 69 + 77 \cdot 41) + (69^2 - 41^2) = 77(69+41) + (69-41)(69+41) = 77 \cdot 110 + 28 \cdot 110 = (77+28) \cdot 110 = 105 \cdot 110$.

Получаем дробь: $\frac{105 \cdot 110}{132}$. Упростим её: $\frac{105 \cdot 110}{12 \cdot 11} = \frac{105 \cdot 10}{12} = \frac{1050}{12} = \frac{175}{2}$.

Завершим вычисление:

$\frac{175}{2} - \frac{1}{2} = \frac{174}{2} = 87$.

Ответ: 87

в)

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Упростим первую дробь: $\frac{65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11}{61^2 - 36^2}$.
Числитель: $65^2 - 32^2 - 97 \cdot 11 = (65-32)(65+32) - 97 \cdot 11 = 33 \cdot 97 - 97 \cdot 11 = 97(33-11) = 97 \cdot 22$.
Знаменатель: $61^2 - 36^2 = (61-36)(61+36) = 25 \cdot 97$.
Первая дробь: $\frac{97 \cdot 22}{25 \cdot 97} = \frac{22}{25}$.

Упростим вторую дробь: $\frac{56^2 - 26^2}{66^2 - 16^2}$.
Числитель: $56^2 - 26^2 = (56-26)(56+26) = 30 \cdot 82$.
Знаменатель: $66^2 - 16^2 = (66-16)(66+16) = 50 \cdot 82$.
Вторая дробь: $\frac{30 \cdot 82}{50 \cdot 82} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{22}{25} + \frac{3}{5} = \frac{22}{25} + \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{22}{25} + \frac{15}{25} = \frac{22+15}{25} = \frac{37}{25}$.

Ответ: $\frac{37}{25}$

г)

Для решения снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{109^2 + 160 \cdot 32 - 51^2}{139^2 - 11^2}$.
Сгруппируем члены в числителе: $(109^2 - 51^2) + 160 \cdot 32 = (109-51)(109+51) + 160 \cdot 32 = 58 \cdot 160 + 160 \cdot 32$.
Вынесем общий множитель 160: $160(58+32) = 160 \cdot 90$.
Знаменатель: $139^2 - 11^2 = (139-11)(139+11) = 128 \cdot 150$.
Первая дробь: $\frac{160 \cdot 90}{128 \cdot 150}$. Сократим ее, разложив числа на множители: $\frac{(16 \cdot 10) \cdot 90}{(16 \cdot 8) \cdot 150} = \frac{10 \cdot 90}{8 \cdot 150} = \frac{900}{1200} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим вторую дробь: $\frac{42^2 - 36}{84^2 - 12^2}$.
Числитель: $42^2 - 36 = 42^2 - 6^2 = (42-6)(42+6) = 36 \cdot 48$.
Знаменатель: $84^2 - 12^2 = (84-12)(84+12) = 72 \cdot 96$.
Вторая дробь: $\frac{36 \cdot 48}{72 \cdot 96} = \frac{36}{72} \cdot \frac{48}{96} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Сложим полученные дроби:

$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: 1