Страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

884. Запишите координаты точек, изображённых:

а) на рисунке 21;
A(-1; 0)
B(0; 1)
C(1; 2)
D(2; 1)
E(1; 1)
K(2; 0)

б) на рисунке 22.
A(-2; 0)
B(0; 0)
C(-1; 1)
E(0; 2)
K(2; 2)
M(2; 0)
N(1; -1)
O(1; 1)
P(0; -2)

Чтобы найти координаты точки на координатной плоскости, нужно определить её положение относительно осей. Первая координата (абсцисса) соответствует значению по горизонтальной оси $x$, а вторая координата (ордината) — значению по вертикальной оси $y$. Координаты записываются в виде $(x; y)$.
Определим координаты точек, изображенных на рисунке 21:
- Точка $A$ находится на оси $x$ в точке $-1$. Её ордината равна $0$. Координаты: $A(-1; 0)$.
- Точка $B$ находится на оси $y$ в точке $2$. Её абсцисса равна $0$. Координаты: $B(0; 2)$.
- Для точки $C$ находим проекцию на ось $x$, это $1$, и на ось $y$, это $3$. Координаты: $C(1; 3)$.
- Для точки $D$ проекция на ось $x$ равна $4$, на ось $y$ — $1$. Координаты: $D(4; 1)$.
- Для точки $E$ проекция на ось $x$ равна $2$, на ось $y$ — $1$. Координаты: $E(2; 1)$.
- Точка $K$ находится на оси $x$ в точке $2$. Её ордината равна $0$. Координаты: $K(2; 0)$.

Ответ: $A(-1; 0)$; $B(0; 2)$; $C(1; 3)$; $D(4; 1)$; $E(2; 1)$; $K(2; 0)$.

Аналогично определим координаты точек на рисунке 22. Точка $O$ является началом координат.
- Для точки $A$ проекция на ось $x$ равна $-2$, на ось $y$ — $-1$. Координаты: $A(-2; -1)$.
- Точка $B$ находится на оси $x$ в точке $-1$. Координаты: $B(-1; 0)$.
- Для точки $C$ проекция на ось $x$ равна $-1$, на ось $y$ — $1$. Координаты: $C(-1; 1)$.
- Точка $E$ находится на оси $y$ в точке $2$. Координаты: $E(0; 2)$.
- Для точки $K$ проекция на ось $x$ равна $2$, на ось $y$ — $2$. Координаты: $K(2; 2)$.
- Для точки $M$ проекция на ось $x$ равна $2$, на ось $y$ — $-1$. Координаты: $M(2; -1)$.
- Точка $N$ находится на оси $y$ в точке $-2$. Координаты: $N(0; -2)$.
- Для точки $P$ проекция на ось $x$ равна $-2$, на ось $y$ — $-3$. Координаты: $P(-2; -3)$.
- Точка $O$ — это начало координат. Координаты: $O(0; 0)$.

Ответ: $A(-2; -1)$; $B(-1; 0)$; $C(-1; 1)$; $E(0; 2)$; $K(2; 2)$; $M(2; -1)$; $N(0; -2)$; $P(-2; -3)$; $O(0; 0)$.

885. Отметьте на координатной плоскости все точки:

а) абсциссы которых равны $2$;

б) ординаты которых равны $-4$;

в) абсциссы которых равны $0$;

г) ординаты которых равны $0$;

д) абсциссы и ординаты которых равны.

а) абсциссы которых равны 2;

Абсцисса – это координата точки по оси $Ox$. Условие, что абсцисса равна 2, означает, что для всех искомых точек координата $x$ постоянна и равна 2, то есть $x = 2$. Координата $y$ (ордината) при этом может принимать любое действительное значение. Множество всех точек $(x, y)$, у которых $x = 2$, образует на координатной плоскости прямую, параллельную оси ординат (оси $Oy$) и проходящую через точку с координатами $(2, 0)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x = 2$. Эта прямая параллельна оси ординат и проходит через точку $(2, 0)$.

б) ординаты которых равны -4;

Ордината – это координата точки по оси $Oy$. Условие, что ордината равна -4, означает, что для всех искомых точек координата $y$ постоянна и равна -4, то есть $y = -4$. Координата $x$ (абсцисса) при этом может принимать любое действительное значение. Множество всех точек $(x, y)$, у которых $y = -4$, образует на координатной плоскости прямую, параллельную оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящую через точку с координатами $(0, -4)$.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = -4$. Эта прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку $(0, -4)$.

в) абсциссы которых равны 0;

Условие, что абсцисса равна 0, означает, что $x = 0$. Координата $y$ при этом может быть любой. Это условие определяет множество всех точек, лежащих на оси ординат ($Oy$). Ось ординат – это геометрическое место точек, абсциссы которых равны нулю.

Ответ: Ось ординат (ось $Oy$), которая задается уравнением $x = 0$.

г) ординаты которых равны 0;

Условие, что ордината равна 0, означает, что $y = 0$. Координата $x$ при этом может быть любой. Это условие определяет множество всех точек, лежащих на оси абсцисс ($Ox$). Ось абсцисс – это геометрическое место точек, ординаты которых равны нулю.

Ответ: Ось абсцисс (ось $Ox$), которая задается уравнением $y = 0$.

д) абсциссы и ординаты которых равны.

Условие равенства абсциссы и ординаты означает, что для всех искомых точек $(x, y)$ выполняется соотношение $x = y$. Это уравнение задает прямую линию, которая проходит через начало координат (точку $(0, 0)$) и все точки, у которых первая и вторая координаты совпадают, например, $(1, 1)$, $(-3, -3)$ и т.д. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов (четвертей).

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = x$, которая является биссектрисой I и III координатных четвертей.

886. Отметьте на координатной плоскости точки $(x; y)$, координаты которых удовлетворяют условиям:

а) $x = 3, y > 2;$

б) $x < -2, y = -4;$

в) $0 < x < 5, y > 4;$

г) $x < 0, -2 < y < 4;$

д) $-1 < x < 3, 0 < y < 5;$

е) $-3 < x < 1, -2 < y < 1.$

а) Условие $x=3$ задает на координатной плоскости вертикальную прямую, все точки которой имеют абсциссу, равную 3. Условие $y > 2$ задает открытую полуплоскость, состоящую из всех точек, расположенных выше горизонтальной прямой $y=2$. Искомое множество точек является пересечением этой прямой и полуплоскости. Это луч, который является частью прямой $x=3$, с началом в точке $(3; 2)$ и направленный вертикально вверх. Поскольку неравенство $y > 2$ строгое, сама точка $(3; 2)$ не входит в искомое множество (она "выколота").
Ответ: Множество точек представляет собой открытый луч, который лежит на прямой $x=3$, начинается в точке $(3; 2)$ и уходит вверх в бесконечность.

б) Условие $y=-4$ задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату, равную -4. Условие $x < -2$ задает открытую полуплоскость, состоящую из всех точек, расположенных левее вертикальной прямой $x=-2$. Искомое множество точек — это пересечение этих двух множеств. Это луч, который является частью прямой $y=-4$, с началом в точке $(-2; -4)$ и направленный горизонтально влево. Поскольку неравенство $x < -2$ строгое, точка $(-2; -4)$ не входит в искомое множество.
Ответ: Множество точек представляет собой открытый луч, который лежит на прямой $y=-4$, начинается в точке $(-2; -4)$ и уходит влево в бесконечность.

в) Условие $0 < x < 5$ задает открытую вертикальную полосу, заключенную между прямыми $x=0$ (ось OY) и $x=5$. Условие $y > 4$ задает открытую полуплоскость выше прямой $y=4$. Искомое множество точек — это пересечение этих двух областей. Это бесконечная открытая область, ограниченная слева прямой $x=0$, справа прямой $x=5$ и снизу прямой $y=4$. Границы области не включаются в множество.
Ответ: Множество точек представляет собой бесконечную открытую полосу, ограниченную прямыми $x=0$, $x=5$ и $y=4$, и уходящую вверх в бесконечность.

г) Условие $x < 0$ задает открытую левую полуплоскость (все точки левее оси OY). Условие $-2 < y < 4$ задает открытую горизонтальную полосу, заключенную между прямыми $y=-2$ и $y=4$. Искомое множество точек — это пересечение этих двух областей. Это бесконечная открытая область, ограниченная снизу прямой $y=-2$, сверху прямой $y=4$ и справа прямой $x=0$. Границы области не включаются в множество.
Ответ: Множество точек представляет собой бесконечную открытую полосу, ограниченную прямыми $y=-2$, $y=4$ и $x=0$, и уходящую влево в бесконечность.

д) Условие $-1 < x < 3$ задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x=-1$ и $x=3$. Условие $0 < y < 5$ задает открытую горизонтальную полосу между прямыми $y=0$ (ось OX) и $y=5$. Пересечением этих двух полос является прямоугольник, ограниченный прямыми $x=-1$, $x=3$, $y=0$ и $y=5$. Так как все неравенства строгие, искомое множество — это внутренняя область этого прямоугольника, не включая его границы.
Ответ: Множество точек представляет собой внутреннюю область прямоугольника с вершинами в точках $(-1; 0)$, $(3; 0)$, $(3; 5)$ и $(-1; 5)$.

е) Условие $-3 < x < 1$ задает открытую вертикальную полосу между прямыми $x=-3$ и $x=1$. Условие $-2 < y < 1$ задает открытую горизонтальную полосу между прямыми $y=-2$ и $y=1$. Пересечением этих двух полос является прямоугольник, ограниченный прямыми $x=-3$, $x=1$, $y=-2$ и $y=1$. Так как все неравенства строгие, искомое множество — это внутренняя область этого прямоугольника, не включая его границы.
Ответ: Множество точек представляет собой внутреннюю область прямоугольника с вершинами в точках $(-3; -2)$, $(1; -2)$, $(1; 1)$ и $(-3; 1)$.

887. На рисунке 23 прямоугольник разбит на прямоугольники. Найдите площади всех прямоугольников.

Площади отдельных прямоугольников:

Прямоугольник 1:

$S_1 = a \cdot b = ab$

Прямоугольник 2:

$S_2 = a \cdot b = ab$

Прямоугольник 3:

$S_3 = a \cdot 4b = 4ab$

Прямоугольник 4:

$S_4 = a \cdot 4b = 4ab$

Рис. 23

На рисунке изображен большой прямоугольник, разделенный на четыре меньших прямоугольника. Для того чтобы найти площади всех прямоугольников, необходимо определить размеры каждого из них. Задача просит найти площади "всех" прямоугольников, что подразумевает не только четыре наименьших, но и те, которые составлены из них, а также самый большой прямоугольник.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = \text{ширина} \cdot \text{высота}$.

1. Четыре малых прямоугольника:
- Верхний левый прямоугольник имеет ширину $a$ и высоту $b$. Его площадь равна $S_1 = a \cdot b = ab$.
- Верхний правый прямоугольник имеет ширину $a$ и высоту $b$. Его площадь равна $S_2 = a \cdot b = ab$.
- Нижний левый прямоугольник имеет ширину $a$ и высоту $4b$. Его площадь равна $S_3 = a \cdot 4b = 4ab$.
- Нижний правый прямоугольник имеет ширину $a$ и высоту $4b$. Его площадь равна $S_4 = a \cdot 4b = 4ab$.

2. Составные прямоугольники (состоящие из двух малых):
- Верхний горизонтальный прямоугольник, состоящий из двух верхних. Его ширина равна $a + a = 2a$, а высота $b$. Площадь равна $S_5 = (2a) \cdot b = 2ab$.
- Нижний горизонтальный прямоугольник, состоящий из двух нижних. Его ширина $a + a = 2a$, а высота $4b$. Площадь равна $S_6 = (2a) \cdot 4b = 8ab$.
- Левый вертикальный прямоугольник, состоящий из двух левых. Его ширина $a$, а высота $b + 4b = 5b$. Площадь равна $S_7 = a \cdot (5b) = 5ab$.
- Правый вертикальный прямоугольник, состоящий из двух правых. Его ширина $a$, а высота $b + 4b = 5b$. Площадь равна $S_8 = a \cdot (5b) = 5ab$.

3. Большой (внешний) прямоугольник:
Этот прямоугольник включает в себя все четыре малых. Его общая ширина равна $a + a = 2a$, а общая высота $b + 4b = 5b$. Его площадь равна $S_{общ} = (2a) \cdot (5b) = 10ab$.

Ответ: На рисунке можно выделить 9 прямоугольников со следующими площадями: $ab$, $ab$, $4ab$, $4ab$, $2ab$, $8ab$, $5ab$, $5ab$, $10ab$.

888. Длина пути $s$ при равномерном прямолинейном движении вычисляется по формуле $s = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время движения.

а) Выразите $v$ через $s$ и $t$. Вычислите $v$ при $s = 20$ км, $t = 2$ ч.

б) Выразите $t$ через $s$ и $v$. Вычислите $t$ при $s = 1200$ м, $v = 20$ км/ч.

а) Чтобы выразить скорость $v$ из формулы $s = v \cdot t$, необходимо разделить обе части уравнения на время $t$.

$s = v \cdot t$

$\frac{s}{t} = \frac{v \cdot t}{t}$

$v = \frac{s}{t}$

Теперь вычислим значение $v$ при заданных значениях $s = 20$ км и $t = 2$ ч. Подставим эти значения в выведенную формулу:

$v = \frac{20 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$

Ответ: $v = \frac{s}{t}$; $10$ км/ч.

б) Чтобы выразить время $t$ из формулы $s = v \cdot t$, необходимо разделить обе части уравнения на скорость $v$.

$s = v \cdot t$

$\frac{s}{v} = \frac{v \cdot t}{v}$

$t = \frac{s}{v}$

Теперь вычислим значение $t$ при заданных значениях $s = 1200$ м и $v = 20$ км/ч.

Для того чтобы выполнить вычисления, необходимо привести единицы измерения к одной системе. Переведем расстояние $s$ из метров в километры.

Поскольку $1$ км $= 1000$ м, то $s = 1200 \text{ м} = \frac{1200}{1000} \text{ км} = 1,2$ км.

Теперь подставим значения в формулу для времени:

$t = \frac{1,2 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 0,06$ ч.

Для более наглядного представления результата можно перевести часы в минуты. В одном часе $60$ минут.

$t = 0,06 \cdot 60 \text{ мин} = 3,6$ мин.

Ответ: $t = \frac{s}{v}$; $3,6$ мин.

889. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = ab$, где $a$ и $b$ — стороны этого прямоугольника.

а) Выразите $a$ через $S$ и $b$. Вычислите $a$ при $S = 400 \text{ см}^2$ и $b = 0,2 \text{ м}.

б) Выразите $b$ через $S$ и $a$. Вычислите $b$ при $S = 1,6 \text{ км}^2$ и $a = 20 \text{ м}.

а) Чтобы выразить сторону a через площадь S и сторону b из формулы $S = ab$, необходимо разделить обе части равенства на b. Таким образом, мы получаем:

$a = \frac{S}{b}$

Теперь вычислим значение a при $S = 400 \text{ см}^2$ и $b = 0,2 \text{ м}$. Для этого сначала приведем все величины к единой системе измерения. Переведем метры в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров:

$b = 0,2 \text{ м} = 0,2 \cdot 100 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$a = \frac{400 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 20 \text{ см}$

Ответ: $a = \frac{S}{b}$; $a = 20 \text{ см}$.

б) Чтобы выразить сторону b через площадь S и сторону a из формулы $S = ab$, необходимо разделить обе части равенства на a. Таким образом, мы получаем:

$b = \frac{S}{a}$

Теперь вычислим значение b при $S = 1,6 \text{ км}^2$ и $a = 20 \text{ м}$. Сначала приведем все величины к единой системе измерения. Переведем квадратные километры в квадратные метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$:

$1 \text{ км}^2 = (1000 \text{ м})^2 = 1 000 000 \text{ м}^2$

Следовательно, площадь S в квадратных метрах будет равна:

$S = 1,6 \text{ км}^2 = 1,6 \cdot 1 000 000 \text{ м}^2 = 1 600 000 \text{ м}^2$

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$b = \frac{1 600 000 \text{ м}^2}{20 \text{ м}} = 80 000 \text{ м}$

Это значение можно также выразить в километрах:

$80 000 \text{ м} = \frac{80 000}{1000} \text{ км} = 80 \text{ км}$

Ответ: $b = \frac{S}{a}$; $b = 80 000 \text{ м}$ (или $80 \text{ км}$).