Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

a) $\begin{matrix} \text{C} & \text{A} & \text{D} \\ 12 & & 20 \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

б) $\begin{matrix} \text{C} & \text{A} & \text{D} \\ 5 & & 30 \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

в) $\begin{matrix} \text{C} & \text{A} & \text{D} \\ 42 & & 66 \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

Рис. 17

a) $\begin{matrix} \text{A} & \text{C} & \text{B} \\ 2,6 & 7,8 & \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

б) $\begin{matrix} \text{A} & \text{C} & \text{B} \\ 4 & 7,3 & \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

в) $\begin{matrix} \text{A} & \text{C} & \text{B} \\ & 2,8 & 3,12 \end{matrix} \longrightarrow \text{x}$

Рис. 18

874. Найдите координату точки A, если A — середина отрезка CD (рис. 17).

а)

По условию задачи, точка А является серединой отрезка CD. Координата середины отрезка на числовой прямой находится как среднее арифметическое (полусумма) координат его концов. Если координаты точек C и D равны $x_C$ и $x_D$ соответственно, то координата их середины A ($x_A$) вычисляется по формуле:

$x_A = \frac{x_C + x_D}{2}$

Из рисунка 17а мы видим, что координата точки C равна 12 ($x_C = 12$), а координата точки D равна 20 ($x_D = 20$).

Подставим эти значения в формулу:

$x_A = \frac{12 + 20}{2} = \frac{32}{2} = 16$

Таким образом, координата точки А равна 16.

Ответ: 16

б)

Для данного случая используем ту же формулу для нахождения середины отрезка. Из рисунка 17б имеем следующие координаты: $x_C = 5$ и $x_D = 30$.

Вычисляем координату точки А:

$x_A = \frac{5 + 30}{2} = \frac{35}{2} = 17,5$

Следовательно, координата точки А равна 17,5.

Ответ: 17,5

в)

Аналогично предыдущим пунктам, находим координату середины отрезка. Из рисунка 17в даны координаты: $x_C = 42$ и $x_D = 66$.

Вычисляем координату точки А:

$x_A = \frac{42 + 66}{2} = \frac{108}{2} = 54$

Координата точки А равна 54.

Ответ: 54

875. Точка $C$ является серединой отрезка $AB$ (рис. 18). Найдите координату:

а) точки $C$ на рисунке а);

$A = 2.6$, $B = 7.8$

б) точки $B$ на рисунке б);

$A = 4$, $C = 7.3$

в) точки $A$ на рисунке в).

$C = 2.8$, $B = 3.12$

Рис. 18

а) найти координату точки C на рисунке а)
По условию, точка C является серединой отрезка AB. Координата середины отрезка на числовой прямой вычисляется как среднее арифметическое координат его концов. Если $x_A$ и $x_B$ — координаты точек A и B, то координата точки C ($x_C$) находится по формуле:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
На рисунке а) даны координаты точек A и B: $x_A = 2,6$ и $x_B = 7,8$.
Подставим эти значения в формулу, чтобы найти координату точки C:
$x_C = \frac{2,6 + 7,8}{2} = \frac{10,4}{2} = 5,2$
Таким образом, координата точки C равна 5,2.
Ответ: C(5,2)

б) найти координату точки B на рисунке б)
В этом задании известны координаты точки A ($x_A = 4$) и середины отрезка, точки C ($x_C = 7,3$). Необходимо найти координату точки B ($x_B$).
Используем ту же формулу для середины отрезка $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$ и выразим из нее неизвестную координату $x_B$:
$2 \cdot x_C = x_A + x_B$
$x_B = 2 \cdot x_C - x_A$
Подставим известные значения координат:
$x_B = 2 \cdot 7,3 - 4 = 14,6 - 4 = 10,6$
Также можно решить задачу, найдя длину отрезка AC и прибавив ее к координате точки C, так как $AC = CB$.
Длина AC = $x_C - x_A = 7,3 - 4 = 3,3$.
Тогда координата B: $x_B = x_C + 3,3 = 7,3 + 3,3 = 10,6$.
Ответ: B(10,6)

в) найти координату точки A на рисунке в)
В этом задании известны координаты точки B ($x_B = 3,12$) и середины отрезка, точки C ($x_C = 2,8$). Необходимо найти координату точки A ($x_A$).
Из формулы для середины отрезка $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$ выразим неизвестную координату $x_A$:
$2 \cdot x_C = x_A + x_B$
$x_A = 2 \cdot x_C - x_B$
Подставим известные значения координат:
$x_A = 2 \cdot 2,8 - 3,12 = 5,6 - 3,12 = 2,48$
Альтернативное решение: найдем длину отрезка CB и вычтем ее из координаты точки C, так как $AC = CB$ и точка A находится левее точки C.
Длина CB = $x_B - x_C = 3,12 - 2,8 = 0,32$.
Тогда координата A: $x_A = x_C - 0,32 = 2,8 - 0,32 = 2,48$.
Ответ: A(2,48)

876. Найдите координату точки A (рис. 19).

а) 3 $A$ 24 →

б) 14 $A$ 56 →

в) 7 $A$ 63 →

г) -3 $A$ 15 →

д) -42 $A$ 6 →

Рис. 19

Чтобы найти координату точки А в каждом случае, необходимо сначала определить цену одного деления (масштаб) на числовой прямой. Для этого нужно найти расстояние между двумя известными точками и разделить его на количество делений между ними.

а)

1. Находим расстояние между известными точками 3 и 24: $24 - 3 = 21$.

2. Считаем количество делений между этими точками на рисунке. От точки 3 до точки 24 ровно 4 деления.

3. Вычисляем цену одного деления: $21 \div 4 = 5,25$.

4. Точка А расположена на 3 деления правее точки 3. Чтобы найти ее координату, прибавляем к 3 произведение цены деления на 3: $3 + 3 \times 5,25 = 3 + 15,75 = 18,75$.

Ответ: 18,75

б)

1. Находим расстояние между известными точками 14 и 56: $56 - 14 = 42$.

2. Количество делений между этими точками равно 4.

3. Вычисляем цену одного деления: $42 \div 4 = 10,5$.

4. Точка А расположена на 3 деления правее точки 14. Ее координата равна: $14 + 3 \times 10,5 = 14 + 31,5 = 45,5$.

Ответ: 45,5

в)

1. Находим расстояние между известными точками 7 и 63: $63 - 7 = 56$.

2. Количество делений между этими точками равно 5.

3. Вычисляем цену одного деления: $56 \div 5 = 11,2$.

4. Точка А расположена на 2 деления правее точки 7. Ее координата равна: $7 + 2 \times 11,2 = 7 + 22,4 = 29,4$.

Ответ: 29,4

г)

1. Находим расстояние между известными точками –3 и 15: $15 - (-3) = 15 + 3 = 18$.

2. Количество делений между этими точками равно 4.

3. Вычисляем цену одного деления: $18 \div 4 = 4,5$.

4. Точка А расположена на 2 деления правее точки –3. Ее координата равна: $-3 + 2 \times 4,5 = -3 + 9 = 6$.

Ответ: 6

д)

1. Находим расстояние между известными точками –42 и 6: $6 - (-42) = 6 + 42 = 48$.

2. Количество делений между этими точками равно 3.

3. Вычисляем цену одного деления: $48 \div 3 = 16$.

4. Точка А расположена на 2 деления правее точки –42. Ее координата равна: $-42 + 2 \times 16 = -42 + 32 = -10$.

Ответ: -10

877. Укажите приближённо координату точки А (рис. 20).

а) На числовой прямой расположены точки: $7$, $A$, $21$.

б) На числовой прямой расположены точки: $0,1$, $A$, $0,7$.

в) На числовой прямой расположены точки: $0,2$, $A$, $0,3$.

г) На числовой прямой расположены точки: $0,23$, $A$, $0,24$.

Рис. 20

а) На числовой прямой отмечены точки с координатами 7 и 21. Точка А расположена между ними. Для того чтобы найти приближённую координату точки А, сначала определим длину отрезка между известными точками. Длина равна $21 - 7 = 14$. Середина этого отрезка имеет координату $(7 + 21) / 2 = 14$. Точка А находится левее середины, то есть её координата меньше 14. Визуально, расстояние от точки 7 до точки А составляет примерно одну треть длины всего отрезка. Вычислим приближенную координату, основываясь на этой оценке: $7 + \frac{1}{3} \times 14 = 7 + \frac{14}{3} \approx 7 + 4,67 = 11,67$. Округляя до целого числа, получаем 12. Таким образом, координата точки А приблизительно равна 12.
Ответ: A(12).

б) На числовой прямой отмечены точки 0,1 и 0,7. Точка А расположена между ними. Длина отрезка между этими точками составляет $0,7 - 0,1 = 0,6$. Середина отрезка находится в точке $(0,1 + 0,7) / 2 = 0,4$. Точка А расположена правее середины. Визуально, точка А делит отрезок так, что расстояние от 0,1 до А составляет примерно две трети от всей длины. Вычислим приближённую координату: $0,1 + \frac{2}{3} \times 0,6 = 0,1 + 0,4 = 0,5$. Это значение хорошо согласуется с положением точки на рисунке.
Ответ: A(0,5).

в) На числовой прямой отмечены точки 0,2 и 0,3. Точка А расположена между ними. Длина отрезка составляет $0,3 - 0,2 = 0,1$. Середина отрезка — $(0,2 + 0,3) / 2 = 0,25$. Точка А находится левее середины, ближе к 0,2. Визуально, расстояние от 0,2 до А составляет примерно одну пятую часть длины отрезка. Вычислим приближённую координату: $0,2 + \frac{1}{5} \times 0,1 = 0,2 + 0,02 = 0,22$.
Ответ: A(0,22).

г) На числовой прямой отмечены точки 0,23 и 0,24. Точка А расположена между ними. Длина отрезка равна $0,24 - 0,23 = 0,01$. Середина отрезка имеет координату $(0,23 + 0,24) / 2 = 0,235$. Точка А находится правее середины. Визуально, она расположена примерно на $7/10$ длины отрезка, если считать от точки 0,23. Вычислим приближённую координату: $0,23 + \frac{7}{10} \times 0,01 = 0,23 + 0,7 \times 0,01 = 0,23 + 0,007 = 0,237$.
Ответ: A(0,237).