Страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

826. Вычислите:

a) $ \frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}; $

б) $ \frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}; $

в) $ \frac{(3^{15} + 3^{14}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}; $

г) $ \frac{25 \cdot (180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4}. $

а) $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}$

Сначала упростим числитель. Для этого вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{19}$.

$2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{19} - 5 \cdot 3^{19} = (2 \cdot 3 - 5) \cdot 3^{19} = (6 - 5) \cdot 3^{19} = 1 \cdot 3^{19} = 3^{19}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим основание 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$9^9 = (3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$.

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{19}}{3^{18}} = 3^{19-18} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б) $\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}$

Упростим выражение в скобках в числителе, вынеся за скобки общий множитель $2^{19}$:

$3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19} = 3 \cdot 2 \cdot 2^{19} + 7 \cdot 2^{19} = (3 \cdot 2 + 7) \cdot 2^{19} = (6 + 7) \cdot 2^{19} = 13 \cdot 2^{19}$.

Тогда весь числитель равен $(13 \cdot 2^{19}) \cdot 52$. Разложим 52 на простые множители: $52 = 4 \cdot 13 = 2^2 \cdot 13$.

Числитель: $13 \cdot 2^{19} \cdot (2^2 \cdot 13) = 13^2 \cdot 2^{19+2} = 13^2 \cdot 2^{21}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$.

$ (13 \cdot 8^4)^2 = (13 \cdot (2^3)^4)^2 = (13 \cdot 2^{12})^2 = 13^2 \cdot (2^{12})^2 = 13^2 \cdot 2^{12 \cdot 2} = 13^2 \cdot 2^{24}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{13^2 \cdot 2^{21}}{13^2 \cdot 2^{24}} = \frac{13^2}{13^2} \cdot \frac{2^{21}}{2^{24}} = 1 \cdot 2^{21-24} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в) $\frac{(3^{15} + 3^{14}) \cdot 2^9}{(3^{14} + 3^{12}) \cdot 1024}$

Упростим числитель. В скобках вынесем общий множитель $3^{14}$:

$3^{15} + 3^{14} = 3^1 \cdot 3^{14} + 1 \cdot 3^{14} = (3 + 1) \cdot 3^{14} = 4 \cdot 3^{14} = 2^2 \cdot 3^{14}$.

Весь числитель равен $(2^2 \cdot 3^{14}) \cdot 2^9 = 2^{2+9} \cdot 3^{14} = 2^{11} \cdot 3^{14}$.

Теперь упростим знаменатель. В скобках вынесем общий множитель $3^{12}$:

$3^{14} + 3^{12} = 3^2 \cdot 3^{12} + 1 \cdot 3^{12} = (9 + 1) \cdot 3^{12} = 10 \cdot 3^{12}$.

Знаем, что $1024 = 2^{10}$. Тогда знаменатель равен $(10 \cdot 3^{12}) \cdot 2^{10}$. Разложим 10 на множители: $10 = 2 \cdot 5$.

Знаменатель: $(2 \cdot 5 \cdot 3^{12}) \cdot 2^{10} = 5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{1+10} = 5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{11}$.

Выполним деление:

$\frac{2^{11} \cdot 3^{14}}{5 \cdot 3^{12} \cdot 2^{11}} = \frac{2^{11}}{2^{11}} \cdot \frac{3^{14}}{3^{12}} \cdot \frac{1}{5} = 1 \cdot 3^{14-12} \cdot \frac{1}{5} = 3^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$

г) $\frac{25 \cdot (180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6)}{216^3 - 36^4}$

Для упрощения этого выражения, представим все числа в виде произведений простых множителей или степеней одного основания.

Упростим числитель. Сначала рассмотрим выражение в скобках. Вынесем общий множитель $6^6$:

$180 \cdot 6^7 - 108 \cdot 6^6 = 180 \cdot 6 \cdot 6^6 - 108 \cdot 6^6 = (180 \cdot 6 - 108) \cdot 6^6 = (1080 - 108) \cdot 6^6 = 972 \cdot 6^6$.

Разложим 972 на простые множители: $972 = 4 \cdot 243 = 2^2 \cdot 3^5$.

Тогда выражение в скобках равно $(2^2 \cdot 3^5) \cdot 6^6 = (2^2 \cdot 3^5) \cdot (2 \cdot 3)^6 = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 2^6 \cdot 3^6 = 2^{2+6} \cdot 3^{5+6} = 2^8 \cdot 3^{11}$.

Весь числитель равен $25 \cdot (2^8 \cdot 3^{11})$. Так как $25 = 5^2$, числитель равен $5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^{11}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим 216 и 36 как степени числа 6:

$216 = 6^3$ и $36 = 6^2$.

Знаменатель: $216^3 - 36^4 = (6^3)^3 - (6^2)^4 = 6^9 - 6^8$.

Вынесем общий множитель $6^8$:

$6^9 - 6^8 = 6^1 \cdot 6^8 - 1 \cdot 6^8 = (6-1) \cdot 6^8 = 5 \cdot 6^8$.

Представим $6^8$ как $(2 \cdot 3)^8 = 2^8 \cdot 3^8$. Знаменатель равен $5 \cdot 2^8 \cdot 3^8$.

Теперь выполним деление:

$\frac{5^2 \cdot 2^8 \cdot 3^{11}}{5 \cdot 2^8 \cdot 3^8} = \frac{5^2}{5^1} \cdot \frac{2^8}{2^8} \cdot \frac{3^{11}}{3^8} = 5^{2-1} \cdot 2^{8-8} \cdot 3^{11-8} = 5^1 \cdot 2^0 \cdot 3^3 = 5 \cdot 1 \cdot 27 = 135$.

Ответ: 135

827. Разложите данные дроби в десятичные:

а) $ \frac{3}{4} $, $ \frac{5}{8} $, $ \frac{3}{5} $, $ \frac{7}{20} $, $ \frac{13}{25} $, $ \frac{11}{16} $;

б) $ \frac{2}{3} $, $ \frac{2}{7} $, $ \frac{5}{6} $, $ \frac{5}{7} $, $ \frac{3}{11} $, $ \frac{5}{12} $.

а) Чтобы преобразовать данные дроби в конечные десятичные, приведем их знаменатели к степени числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.), умножив числитель и знаменатель на подходящий множитель.

Для дроби $\frac{3}{4}$ приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 25:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

Для дроби $\frac{5}{8}$ приведем знаменатель к 1000, умножив числитель и знаменатель на 125:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = 0,625$.
Ответ: 0,625.

Для дроби $\frac{3}{5}$ приведем знаменатель к 10, умножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Ответ: 0,6.

Для дроби $\frac{7}{20}$ приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{7}{20} = \frac{7 \times 5}{20 \times 5} = \frac{35}{100} = 0,35$.
Ответ: 0,35.

Для дроби $\frac{13}{25}$ приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{13}{25} = \frac{13 \times 4}{25 \times 4} = \frac{52}{100} = 0,52$.
Ответ: 0,52.

Для дроби $\frac{11}{16}$ приведем знаменатель к 10000, умножив числитель и знаменатель на 625:
$\frac{11}{16} = \frac{11 \times 625}{16 \times 625} = \frac{6875}{10000} = 0,6875$.
Ответ: 0,6875.

б) Если знаменатель несократимой дроби содержит простые множители, отличные от 2 и 5, то такая дробь преобразуется в бесконечную периодическую десятичную дробь. Для преобразования разделим числитель на знаменатель. Повторяющаяся группа цифр (период) записывается в скобках.

Для дроби $\frac{2}{3}$ делим 2 на 3:
$2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Ответ: $0,(6)$.

Для дроби $\frac{2}{7}$ делим 2 на 7:
$2 \div 7 = 0,285714285714... = 0,(285714)$.
Ответ: $0,(285714)$.

Для дроби $\frac{5}{6}$ делим 5 на 6. Получаем смешанную периодическую дробь:
$5 \div 6 = 0,8333... = 0,8(3)$.
Ответ: $0,8(3)$.

Для дроби $\frac{5}{7}$ делим 5 на 7:
$5 \div 7 = 0,714285714285... = 0,(714285)$.
Ответ: $0,(714285)$.

Для дроби $\frac{3}{11}$ делим 3 на 11:
$3 \div 11 = 0,272727... = 0,(27)$.
Ответ: $0,(27)$.

Для дроби $\frac{5}{12}$ делим 5 на 12. Получаем смешанную периодическую дробь:
$5 \div 12 = 0,41666... = 0,41(6)$.
Ответ: $0,41(6)$.

828. Запишите десятичные дроби в виде обыкновенных:

$0,25$; $0,75$; $14,05$; $0,125$; $0,875$; $1,0075$.

Для того чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать исходную десятичную дробь в виде дроби, у которой числитель — это число без десятичной запятой, а знаменатель — это единица с таким количеством нулей, сколько цифр стоит после запятой.
2. Если у десятичной дроби есть целая часть, она становится целой частью смешанной дроби.
3. Полученную дробь необходимо сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

0,25

В дроби 0,25 две цифры после запятой, поэтому в знаменателе будет 100. Числителем будет 25.

$ 0,25 = \frac{25}{100} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

$ \frac{25:25}{100:25} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $

0,75

В дроби 0,75 две цифры после запятой, значит в знаменателе будет 100, а в числителе 75.

$ 0,75 = \frac{75}{100} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, который равен 25:

$ \frac{75:25}{100:25} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

14,05

Это число имеет целую часть 14 и дробную часть 0,05. Преобразуем дробную часть.

В дроби 0,05 две цифры после запятой, поэтому получаем дробь $ \frac{5}{100} $.

Сократим эту дробь на 5:

$ \frac{5:5}{100:5} = \frac{1}{20} $

Теперь добавим целую часть, чтобы получить смешанную дробь:

$ 14 + \frac{1}{20} = 14\frac{1}{20} $

Ответ: $ 14\frac{1}{20} $

0,125

В дроби 0,125 три цифры после запятой, поэтому в знаменателе будет 1000.

$ 0,125 = \frac{125}{1000} $

Сократим дробь. Можно заметить, что 1000 делится на 125 восемь раз.

$ \frac{125:125}{1000:125} = \frac{1}{8} $

Ответ: $ \frac{1}{8} $

0,875

В дроби 0,875 три цифры после запятой, значит знаменатель равен 1000.

$ 0,875 = \frac{875}{1000} $

Сократим дробь. НОД числителя и знаменателя равен 125.

$ \frac{875:125}{1000:125} = \frac{7}{8} $

Ответ: $ \frac{7}{8} $

1,0075

Это число имеет целую часть 1 и дробную часть 0,0075. Преобразуем дробную часть.

В дроби 0,0075 четыре цифры после запятой, поэтому знаменатель будет 10000.

$ 0,0075 = \frac{75}{10000} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 25:

$ \frac{75:25}{10000:25} = \frac{3}{400} $

Добавим целую часть и получим смешанную дробь:

$ 1 + \frac{3}{400} = 1\frac{3}{400} $

Ответ: $ 1\frac{3}{400} $

829. Прочитайте числа: $0,5$; $1,24$; $12,245$; $0,0027$.

Чтобы правильно прочитать десятичную дробь, необходимо сначала назвать её целую часть (число до запятой) и добавить слово «целых», а затем прочитать число после запятой как целое, назвав в конце разряд, которому соответствует последняя цифра дробной части.

$0,5$

Целая часть этого числа — $0$, что произносится как «ноль целых». Дробная часть представлена одной цифрой $5$. Так как после запятой стоит один знак, это разряд десятых. Следовательно, число читается как «ноль целых пять десятых».

Ответ: ноль целых пять десятых.

$1,24$

Целая часть этого числа — $1$, что произносится как «одна целая» (слово «одна» используется в женском роде, так как согласуется со словом «целая»). Дробная часть представлена числом $24$. Так как после запятой стоят две цифры, последняя цифра находится в разряде сотых. Следовательно, число читается как «одна целая двадцать четыре сотых».

Ответ: одна целая двадцать четыре сотых.

$12,245$

Целая часть этого числа — $12$, что произносится как «двенадцать целых». Дробная часть представлена числом $245$. Так как после запятой стоят три цифры, последняя цифра находится в разряде тысячных. Следовательно, число читается как «двенадцать целых двести сорок пять тысячных».

Ответ: двенадцать целых двести сорок пять тысячных.

$0,0027$

Целая часть этого числа — $0$, что произносится как «ноль целых». Дробная часть представлена числом $27$. Так как после запятой стоят четыре цифры, последняя цифра находится в разряде десятитысячных. Следовательно, число читается как «ноль целых двадцать семь десятитысячных».

Ответ: ноль целых двадцать семь десятитысячных.

830. Сравните числа:

а) $0.526471$ и $0.524671$;

б) $2.076812$ и $2.076813$;

в) $0.247459$ и $0.347459$;

г) $7.127586$ и $7.1278$.

а) Чтобы сравнить десятичные дроби $0,526471$ и $0,524671$, необходимо последовательно сравнивать их разряды, двигаясь слева направо.
1. Сравниваем целые части: $0 = 0$. Целые части равны.
2. Сравниваем разряд десятых: $5 = 5$.
3. Сравниваем разряд сотых: $2 = 2$.
4. Сравниваем разряд тысячных: $6$ и $4$. Поскольку $6 > 4$, то и первая дробь больше второй. Дальнейшее сравнение не требуется.
Следовательно, $0,526471 > 0,524671$.
Ответ: $0,526471 > 0,524671$.

б) Сравниваем числа $2,076812$ и $2,076813$.
1. Сравниваем целые части: $2 = 2$. Целые части равны.
2. Начинаем поразрядное сравнение дробных частей слева направо. Первые пять цифр после запятой совпадают: $0, 7, 6, 8, 1$.
3. Сравниваем шестую цифру после запятой (разряд миллионных): $2$ и $3$. Поскольку $2 < 3$, то первое число меньше второго.
Следовательно, $2,076812 < 2,076813$.
Ответ: $2,076812 < 2,076813$.

в) Сравниваем числа $0,247459$ и $0,347459$.
1. Сравниваем целые части: $0 = 0$. Целые части равны.
2. Сравниваем первую цифру после запятой (разряд десятых): $2$ и $3$. Поскольку $2 < 3$, то первое число меньше второго. Сравнение остальных разрядов не имеет значения.
Следовательно, $0,247459 < 0,347459$.
Ответ: $0,247459 < 0,347459$.

г) Сравниваем числа $7,127586$ и $7,1278$.
1. Сравниваем целые части: $7 = 7$. Целые части равны.
2. Для удобства сравнения дробных частей, уравняем количество цифр после запятой, дописав нули в конце второго числа (значение дроби при этом не изменится): $7,1278 = 7,127800$.
3. Теперь сравниваем $7,127586$ и $7,127800$ поразрядно.
Разряды десятых, сотых и тысячных совпадают: $1, 2, 7$.
Сравниваем разряд десятитысячных: $5$ и $8$. Поскольку $5 < 8$, то первое число меньше второго.
Следовательно, $7,127586 < 7,1278$.
Ответ: $7,127586 < 7,1278$.

831. a) Укажите обыкновенную дробь со знаменателем 7, большую 0,5, но меньшую 0,6.

б) Укажите все обыкновенные дроби со знаменателем 13, большие 0,4, но меньшие 0,6. Сколько таких дробей?

а)

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{7}$, где $x$ — натуральное число. Согласно условию, эта дробь должна находиться в интервале от 0,5 до 0,6. Запишем это в виде двойного неравенства: $0,5 < \frac{x}{7} < 0,6$. Чтобы найти возможные значения числителя $x$, умножим все части неравенства на знаменатель 7: $0,5 \times 7 < x < 0,6 \times 7$. Вычислим границы для $x$: $3,5 < x < 4,2$. Единственное целое число, которое находится в этом интервале, — это $x = 4$. Таким образом, искомая дробь равна $\frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.

б)

Пусть искомые обыкновенные дроби имеют вид $\frac{y}{13}$, где $y$ — натуральное число. Согласно условию, эти дроби должны быть больше 0,4 и меньше 0,6. Запишем это в виде двойного неравенства: $0,4 < \frac{y}{13} < 0,6$. Чтобы найти возможные значения числителя $y$, умножим все части неравенства на знаменатель 13: $0,4 \times 13 < y < 0,6 \times 13$. Вычислим границы для $y$: $5,2 < y < 7,8$. Целые числа, которые находятся в этом интервале, — это $y = 6$ и $y = 7$. Следовательно, получаем две дроби: $\frac{6}{13}$ и $\frac{7}{13}$. Всего существует две такие дроби.
Ответ: $\frac{6}{13}$, $\frac{7}{13}$. Всего 2 дроби.

Вычислите (832—841):

832. a) $0,5 + 0,345;$

б) $1,3 + 0,416;$

в) $4,2 + 1,304;$

г) $12,4 + 0,012;$

д) $1,47 - 0,84;$

е) $5,12 - 2,0904;$

ж) $6,45 - 0,079;$

з) $15,2 - 2,0904.$

а) Чтобы сложить десятичные дроби, их записывают друг под другом так, чтобы запятая находилась под запятой. Для удобства вычислений количество знаков после запятой уравнивают, дописывая справа нули. У числа $0,5$ один знак после запятой, а у $0,345$ — три. Уравняем их, представив $0,5$ как $0,500$. Теперь выполним сложение: $0,500 + 0,345 = 0,845$.
Ответ: $0,845$.

б) Уравняем количество знаков после запятой: $1,3 = 1,300$. Выполним сложение: $1,300 + 0,416 = 1,716$.
Ответ: $1,716$.

в) Уравняем количество знаков после запятой: $4,2 = 4,200$. Выполним сложение: $4,200 + 1,304 = 5,504$.
Ответ: $5,504$.

г) Уравняем количество знаков после запятой: $12,4 = 12,400$. Выполним сложение: $12,400 + 0,012 = 12,412$.
Ответ: $12,412$.

д) Для вычитания десятичных дробей, так же как и при сложении, их записывают друг под другом, запятая под запятой. В данном примере у чисел $1,47$ и $0,84$ одинаковое количество знаков после запятой. Выполняем вычитание по разрядам: $1,47 - 0,84 = 0,63$.
Ответ: $0,63$.

е) Уравняем количество знаков после запятой, дописав нули к числу $5,12$. Получим $5,1200$. Теперь выполним вычитание: $5,1200 - 2,0904 = 3,0296$.
Ответ: $3,0296$.

ж) Уравняем количество знаков после запятой: $6,45 = 6,450$. Выполним вычитание: $6,450 - 0,079 = 6,371$.
Ответ: $6,371$.

з) Уравняем количество знаков после запятой: $15,2 = 15,2000$. Выполним вычитание: $15,2000 - 2,0904 = 13,1096$.
Ответ: $13,1096$.

833. а) $8.5 \cdot 10;$

б) $0.68 \cdot 10;$

в) $0.9 \cdot 100;$

г) $1.8 \cdot 1000;$

д) $0.7 \cdot 4;$

е) $76 \cdot 1.75;$

ж) $49 \cdot 0.3;$

з) $0.87 \cdot 5;$

и) $0.15 \cdot 400.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую на один знак вправо.$8,5 \cdot 10 = 85$
Ответ: 85

б) При умножении десятичной дроби на 10, запятая переносится на один знак вправо.$0,68 \cdot 10 = 6,8$
Ответ: 6,8

в) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую на два знака вправо. Так как в числе 0,9 только одна цифра после запятой, дописываем справа ноль.$0,9 \cdot 100 = 0,90 \cdot 100 = 90$
Ответ: 90

г) При умножении на 1000, запятая переносится на три знака вправо. Дописываем недостающие нули.$1,8 \cdot 1000 = 1,800 \cdot 1000 = 1800$
Ответ: 1800

д) Для умножения десятичной дроби на натуральное число, выполним умножение, не обращая внимания на запятую ($7 \cdot 4 = 28$), а затем в результате отделим запятой столько знаков справа, сколько их было в десятичной дроби (в 0,7 - один знак).$0,7 \cdot 4 = 2,8$
Ответ: 2,8

е) Умножим числа, игнорируя запятую: $76 \cdot 175 = 13300$. В числе 1,75 два знака после запятой, поэтому в результате нужно отделить два знака справа.$76 \cdot 1,75 = 133,00 = 133$
Другой способ — представить 1,75 в виде обыкновенной дроби: $1,75 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.$76 \cdot 1,75 = 76 \cdot \frac{7}{4} = \frac{76 \cdot 7}{4} = 19 \cdot 7 = 133$
Ответ: 133

ж) Умножим $49$ на $3$, не обращая внимания на запятую: $49 \cdot 3 = 147$. В множителе 0,3 один знак после запятой, значит и в ответе отделяем один знак.$49 \cdot 0,3 = 14,7$
Ответ: 14,7

з) Умножим $87$ на $5$: $87 \cdot 5 = 435$. В множителе 0,87 два знака после запятой, поэтому в результате отделяем два знака.$0,87 \cdot 5 = 4,35$
Ответ: 4,35

и) Умножение можно упростить, разложив 400 на $100 \cdot 4$.$0,15 \cdot 400 = 0,15 \cdot 100 \cdot 4$Сначала умножим $0,15$ на $100$, перенеся запятую на два знака вправо: $0,15 \cdot 100 = 15$.Затем умножим результат на $4$: $15 \cdot 4 = 60$.$0,15 \cdot 400 = 60$
Ответ: 60

834. a) $25 \cdot 10;$

б) $32,9 \cdot 100;$

в) $0,54 \cdot 10;$

г) $1,4 \cdot 1000;$

д) $1,2 \cdot 4;$

е) $50,4 \cdot 8;$

ж) $0,56 \cdot 4;$

з) $3,425 \cdot 5;$

и) $91,8 \cdot 0,27.$

а) Чтобы умножить целое число на 10, достаточно приписать к этому числу один ноль справа.
$25 \cdot 10 = 250$
Ответ: 250.

б) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую вправо на два знака. В числе 32,9 только один знак после запятой, поэтому дописываем один ноль.
$32,9 \cdot 100 = 3290$
Ответ: 3290.

в) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую вправо на один знак.
$0,54 \cdot 10 = 5,4$
Ответ: 5,4.

г) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, нужно перенести запятую вправо на три знака. В числе 1,4 только один знак после запятой, поэтому дописываем два ноля.
$1,4 \cdot 1000 = 1400$
Ответ: 1400.

д) Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно умножить их, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в десятичной дроби.
$12 \cdot 4 = 48$. В числе 1,2 один знак после запятой, значит, в ответе отделяем один знак.
$1,2 \cdot 4 = 4,8$
Ответ: 4,8.

е) Умножаем числа, не обращая внимания на запятую.
$504 \cdot 8 = 4032$. В числе 50,4 один знак после запятой, поэтому в результате отделяем один знак справа.
$50,4 \cdot 8 = 403,2$
Ответ: 403,2.

ж) Умножаем числа, не обращая внимания на запятую.
$56 \cdot 4 = 224$. В числе 0,56 два знака после запятой, поэтому в результате отделяем два знака справа.
$0,56 \cdot 4 = 2,24$
Ответ: 2,24.

з) Умножаем числа, не обращая внимания на запятую.
$3425 \cdot 5 = 17125$. В числе 3,425 три знака после запятой, поэтому в результате отделяем три знака справа.
$3,425 \cdot 5 = 17,125$
Ответ: 17,125.

и) Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
$918 \cdot 27 = 24786$. В первом множителе (91,8) один знак после запятой, во втором (0,27) — два. Всего три знака. Отделяем в результате три знака справа.
$91,8 \cdot 0,27 = 24,786$
Ответ: 24,786.

835. а) $2.3 + (4.5 - 27.5) : 2.3;$

б) $(2.2 - 1.44 \cdot 5) : 2.5;$

в) $(0.4 - 0.45 + 1.24) \cdot 5 : 3.5;$

г) $(1230 \cdot 0.01 - 4.8) : 2.5 \cdot 1.6.$

а)

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполняются действия в скобках, затем деление, и в последнюю очередь сложение.

1. Выполним вычитание в скобках:
$4,5 - 27,5 = -23$

2. Выполним деление:
$(-23) : 2,3 = -10$

3. Выполним сложение:
$2,3 + (-10) = 2,3 - 10 = -7,7$

Таким образом, итоговое выражение: $2,3 + (4,5 - 27,5) : 2,3 = 2,3 + (-23) : 2,3 = 2,3 - 10 = -7,7$.
Ответ: -7,7

б)

Решим пример по действиям. Сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом деление за скобками.

1. Выполним умножение в скобках:
$1,44 \cdot 5 = 7,2$

2. Выполним вычитание в скобках:
$2,2 - 7,2 = -5$

3. Выполним деление:
$-5 : 2,5 = -2$

Таким образом, итоговое выражение: $(2,2 - 1,44 \cdot 5) : 2,5 = (2,2 - 7,2) : 2,5 = -5 : 2,5 = -2$.
Ответ: -2

в)

Решим пример по действиям. Сначала действия в скобках (вычитание и сложение по порядку), затем умножение и деление по порядку слева направо.

1. Выполним действия в скобках:
$0,4 - 0,45 + 1,24 = -0,05 + 1,24 = 1,19$

2. Выполним умножение:
$1,19 \cdot 5 = 5,95$

3. Выполним деление:
$5,95 : 3,5 = 1,7$

Таким образом, итоговое выражение: $(0,4 - 0,45 + 1,24) \cdot 5 : 3,5 = 1,19 \cdot 5 : 3,5 = 5,95 : 3,5 = 1,7$.
Ответ: 1,7

г)

Решим пример по действиям. Сначала действия в скобках (умножение, потом вычитание), затем деление и умножение за скобками слева направо.

1. Выполним умножение в скобках:
$1230 \cdot 0,01 = 12,3$

2. Выполним вычитание в скобках:
$12,3 - 4,8 = 7,5$

3. Выполним деление:
$7,5 : 2,5 = 3$

4. Выполним умножение:
$3 \cdot 1,6 = 4,8$

Таким образом, итоговое выражение: $(1230 \cdot 0,01 - 4,8) : 2,5 \cdot 1,6 = (12,3 - 4,8) : 2,5 \cdot 1,6 = 7,5 : 2,5 \cdot 1,6 = 3 \cdot 1,6 = 4,8$.
Ответ: 4,8

836. a) $ (2.5 - 5.2) \cdot 0.4 $;

б) $ (36.5 \cdot 5.4 + 0.6) : 0.1 $;

В) $ (3.5 \cdot 24.8 + 1.2) : 0.1 $.

а)

Решим выражение $(2,5 - 5,2) \cdot 0,4$ по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Сначала выполним действие в скобках — вычитание:

$2,5 - 5,2 = -2,7$

2. Теперь умножим полученный результат на $0,4$:

$-2,7 \cdot 0,4 = -1,08$

Полное решение выглядит так:

$(2,5 - 5,2) \cdot 0,4 = -2,7 \cdot 0,4 = -1,08$

Ответ: $-1,08$

б)

Решим выражение $(36,5 \cdot 5,4 + 0,6) : 0,1$ по действиям.

1. Первым действием выполним умножение внутри скобок:

$36,5 \cdot 5,4 = 197,1$

2. Вторым действием выполним сложение внутри скобок:

$197,1 + 0,6 = 197,7$

3. Третьим действием выполним деление. Деление на $0,1$ эквивалентно умножению на $10$:

$197,7 : 0,1 = 197,7 \cdot 10 = 1977$

Полное решение выглядит так:

$(36,5 \cdot 5,4 + 0,6) : 0,1 = (197,1 + 0,6) : 0,1 = 197,7 : 0,1 = 1977$

Ответ: $1977$

в)

Решим выражение $(3,5 \cdot 24,8 + 1,2) : 0,1$ по действиям.

1. Первым действием выполним умножение внутри скобок:

$3,5 \cdot 24,8 = 86,8$

2. Вторым действием выполним сложение внутри скобок:

$86,8 + 1,2 = 88$

3. Третьим действием выполним деление. Деление на $0,1$ эквивалентно умножению на $10$:

$88 : 0,1 = 88 \cdot 10 = 880$

Полное решение выглядит так:

$(3,5 \cdot 24,8 + 1,2) : 0,1 = (86,8 + 1,2) : 0,1 = 88 : 0,1 = 880$

Ответ: $880$

837. а) $15 : 7.5 + 0.12 : 0.04 + 1.69 : 0.13 + 2 : 50;$

б) $0.35 : 0.07 + 12 : 0.3 + 0.2 : 5 + 72 : 144;$

в) $72 : 2.4 + 6 : 12 + 45 : 4.5 + 0.84 : 0.021;$

г) $0.75 : 15 + 18 : 36 + 24 : 0.06 + 0.52 : 0.13.$

а) $15 : 7,5 + 0,12 : 0,04 + 1,69 : 0,13 + 2 : 50$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются все операции деления, а затем — сложения.

1. Выполним первое деление: $15 : 7,5$. Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делителе и делимом на один знак вправо: $150 : 75 = 2$.

2. Второе деление: $0,12 : 0,04$. Перенесем запятые на два знака вправо: $12 : 4 = 3$.

3. Третье деление: $1,69 : 0,13$. Перенесем запятые на два знака вправо: $169 : 13 = 13$.

4. Четвертое деление: $2 : 50 = 0,04$.

5. Теперь сложим все полученные результаты: $2 + 3 + 13 + 0,04 = 5 + 13 + 0,04 = 18 + 0,04 = 18,04$.

Ответ: $18,04$.

б) $0,35 : 0,07 + 12 : 0,3 + 0,2 : 5 + 72 : 144$

Решим по действиям, сначала выполняя деление, а потом сложение.

1. $0,35 : 0,07 = 35 : 7 = 5$.

2. $12 : 0,3 = 120 : 3 = 40$.

3. $0,2 : 5 = 0,04$.

4. $72 : 144 = \frac{72}{144} = \frac{1}{2} = 0,5$.

5. Сложим результаты: $5 + 40 + 0,04 + 0,5 = 45 + 0,54 = 45,54$.

Ответ: $45,54$.

в) $72 : 2,4 + 6 : 12 + 45 : 4,5 + 0,84 : 0,021$

Выполним операции деления по порядку, а затем сложим результаты.

1. $72 : 2,4 = 720 : 24 = 30$.

2. $6 : 12 = 0,5$.

3. $45 : 4,5 = 450 : 45 = 10$.

4. $0,84 : 0,021$. Перенесем запятые на три знака вправо: $840 : 21 = 40$.

5. Сложим результаты: $30 + 0,5 + 10 + 40 = 40 + 40 + 0,5 = 80,5$.

Ответ: $80,5$.

г) $0,75 : 15 + 18 : 36 + 24 : 0,06 + 0,52 : 0,13$

Выполним операции деления, а затем сложим полученные значения.

1. $0,75 : 15 = 0,05$.

2. $18 : 36 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0,5$.

3. $24 : 0,06$. Перенесем запятые на два знака вправо: $2400 : 6 = 400$.

4. $0,52 : 0,13$. Перенесем запятые на два знака вправо: $52 : 13 = 4$.

5. Сложим результаты: $0,05 + 0,5 + 400 + 4 = 0,55 + 404 = 404,55$.

Ответ: $404,55$.