Страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

817. а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$;

б) $17 - \frac{1}{3}$;

в) $1278 - \frac{2}{7}$;

г) $\frac{1}{2} - 3$.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 2 и 3 равен их произведению, так как они являются простыми числами: $НОЗ(2, 3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 6. Для первой дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $6 \div 2 = 3$. Для второй дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель равен $6 \div 3 = 2$.

Выполним сложение:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно "занять" единицу у целого числа и представить ее в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. В данном случае, знаменатель равен 3.

Представим число 17 как $16 + 1$. Единицу представим как дробь $\frac{3}{3}$.

$17 = 16 + 1 = 16 + \frac{3}{3} = 16\frac{3}{3}$.

Теперь выполним вычитание:

$17 - \frac{1}{3} = 16\frac{3}{3} - \frac{1}{3} = 16 + (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) = 16 + \frac{3-1}{3} = 16\frac{2}{3}$.

Ответ: $16\frac{2}{3}$.

в) Этот пример решается аналогично предыдущему. Вычитаем дробь $\frac{2}{7}$ из целого числа 1278.

Представим 1278 как $1277 + 1$. Единицу представим как дробь со знаменателем 7, то есть $\frac{7}{7}$.

$1278 = 1277 + 1 = 1277 + \frac{7}{7} = 1277\frac{7}{7}$.

Выполним вычитание:

$1278 - \frac{2}{7} = 1277\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 1277 + (\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 1277 + \frac{7-2}{7} = 1277\frac{5}{7}$.

Ответ: $1277\frac{5}{7}$.

г) В этом примере мы вычитаем целое число из дроби. Для этого приведем целое число к дроби со знаменателем 2.

$3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2}$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1 - 6}{2} = -\frac{5}{2}$.

Результат — неправильная дробь. Преобразуем ее в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком: $5 \div 2 = 2$ (остаток 1). Значит,

$-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.

Ответ: $-2\frac{1}{2}$.

818. a) $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$;

б) $\frac{1\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{2}{3}};

в) $1\frac{1}{2} - 7\frac{5}{8}$;

г) $2\frac{1}{3} - 5\frac{1}{9}$;

д) $2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3}$;

е) $1\frac{1}{2} : 1\frac{1}{3}$.

а) Данное выражение представляет собой деление двух дробей. Сначала выполним действия в числителе и знаменателе.

1. Сложение в числителе: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $. Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6.
$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $.

2. Вычитание в знаменателе: $ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $. Общий знаменатель также 6.
$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} $.

3. Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:
$ \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{5}{6} \div \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{1} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 1} = 5 $.

Ответ: 5

б) Решим по аналогии с предыдущим примером, выполняя действия в числителе и знаменателе.

1. Вычитание в числителе: $ 1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{5} $. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$ 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} $, $ 1\frac{1}{5} = \frac{6}{5} $.
$ \frac{4}{3} - \frac{6}{5} $. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.
$ \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{20}{15} - \frac{18}{15} = \frac{2}{15} $.

2. Сложение в знаменателе: $ \frac{2}{5} + \frac{2}{3} $. Общий знаменатель 15.
$ \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{10}{15} = \frac{16}{15} $.

3. Разделим результат числителя на результат знаменателя:
$ \frac{\frac{2}{15}}{\frac{16}{15}} = \frac{2}{15} \div \frac{16}{15} = \frac{2}{15} \cdot \frac{15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $.

Ответ: $ \frac{1}{8} $

в) Для вычитания смешанных чисел преобразуем их в неправильные дроби.

1. $ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $.
$ 7\frac{5}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{56+5}{8} = \frac{61}{8} $.

2. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 8:
$ \frac{3}{2} - \frac{61}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{61}{8} = \frac{12}{8} - \frac{61}{8} = \frac{12 - 61}{8} = -\frac{49}{8} $.

3. Преобразуем результат в смешанное число: $ -\frac{49}{8} = -6\frac{1}{8} $.

Ответ: $ -6\frac{1}{8} $

г) Для вычитания смешанных чисел преобразуем их в неправильные дроби.

1. $ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $.
$ 5\frac{1}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{45+1}{9} = \frac{46}{9} $.

2. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 9:
$ \frac{7}{3} - \frac{46}{9} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{46}{9} = \frac{21}{9} - \frac{46}{9} = \frac{21 - 46}{9} = -\frac{25}{9} $.

3. Преобразуем результат в смешанное число: $ -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} $.

Ответ: $ -2\frac{7}{9} $

д) Для сложения смешанных чисел можно сложить их целые и дробные части по отдельности.

1. Складываем целые части: $ 2 + 3 = 5 $.

2. Складываем дробные части: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} $. Общий знаменатель 6.
$ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $.

3. Складываем полученные результаты: $ 5 + \frac{5}{6} = 5\frac{5}{6} $.

Ответ: $ 5\frac{5}{6} $

е) Для деления смешанных чисел сначала преобразуем их в неправильные дроби.

1. $ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $.
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $.

2. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ \frac{3}{2} \div \frac{4}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{9}{8} $.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{8} $

819. a) $25 \cdot 7 \cdot 8$;

б) $13 \cdot 12 \cdot 25$;

в) $2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3}$;

г) $\frac{1}{7} \cdot 7 - \frac{1}{6} \cdot 6$;

д) $36 : 3 \cdot \left(\frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4}\right)$;

е) $\left(75 - 100 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{25}$.

а) Чтобы упростить вычисление $25 \cdot 7 \cdot 8$, воспользуемся переместительным свойством умножения. Удобнее всего сгруппировать множители $25$ и $8$, так как их произведение является круглым числом.
$25 \cdot 7 \cdot 8 = (25 \cdot 8) \cdot 7$
Сначала вычислим произведение в скобках:
$25 \cdot 8 = 200$
Затем умножим результат на $7$:
$200 \cdot 7 = 1400$
Ответ: 1400

б) Для вычисления $13 \cdot 12 \cdot 25$ также применим переместительное и сочетательное свойства умножения. Сгруппируем $12$ и $25$.
$13 \cdot 12 \cdot 25 = 13 \cdot (12 \cdot 25)$
Вычислим произведение в скобках. Удобно представить $12$ как $3 \cdot 4$:
$12 \cdot 25 = (3 \cdot 4) \cdot 25 = 3 \cdot (4 \cdot 25) = 3 \cdot 100 = 300$
Теперь умножим $13$ на полученный результат:
$13 \cdot 300 = 3900$
Ответ: 3900

в) В выражении $2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{3}$ согласно порядку действий сначала выполняются операции умножения, а затем сложения.
1. Выполним первое умножение: $2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
2. Выполним второе умножение: $3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
3. Сложим полученные результаты: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

г) В выражении $\frac{1}{7} \cdot 7 - \frac{1}{6} \cdot 6$ порядок действий аналогичен предыдущему примеру: сначала умножение, затем вычитание.
1. Выполним первое умножение: $\frac{1}{7} \cdot 7 = \frac{7}{7} = 1$.
2. Выполним второе умножение: $\frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{6}{6} = 1$.
3. Выполним вычитание: $1 - 1 = 0$.
Ответ: 0

д) В выражении $36 : 3 \cdot (\frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4})$ сначала выполняются действия в скобках.
1. Внутри скобок первым делом выполняем умножение: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2. Затем выполняем вычитание в скобках, приводя дроби к общему знаменателю $6$: $\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.
3. Теперь выражение имеет вид: $36 : 3 \cdot (-\frac{1}{6})$. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо.
4. Выполняем деление: $36 : 3 = 12$.
5. Выполняем умножение: $12 \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{12}{6} = -2$.
Ответ: -2

е) В выражении $(75 - 100 \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{25}$ сначала выполняем действия в скобках.
1. Внутри скобок сначала выполняем умножение: $100 \cdot \frac{1}{2} = \frac{100}{2} = 50$.
2. Затем выполняем вычитание в скобках: $75 - 50 = 25$.
3. Теперь умножаем результат, полученный в скобках, на $\frac{1}{25}$: $25 \cdot \frac{1}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Ответ: 1

820. а) $(8\frac{1}{2} - 3\frac{3}{4}) \cdot 8;$

б) $(4 - 1\frac{1}{6} + 6\frac{1}{4}) : \frac{1}{2};$

в) $3\frac{3}{5} - 1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5};$

г) $7\frac{3}{8} - 4\frac{3}{4} + 3\frac{1}{2};$

д) $(4\frac{1}{3} - 12\frac{1}{2} - 2\frac{1}{5}) : 2;$

е) $(6\frac{2}{3} - 9\frac{3}{5} + 15\frac{1}{2}) : 3.$

а)Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{4}$ равен 4.$8\frac{1}{2} - 3\frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 2 + 1}{2} - \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{17}{2} - \frac{15}{4} = \frac{17 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4} = \frac{34 - 15}{4} = \frac{19}{4}$.
Теперь умножим результат на 8:$\frac{19}{4} \cdot 8 = \frac{19 \cdot 8}{4} = 19 \cdot 2 = 38$.
Ответ: $38$

б)Выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и приведем все числа к общему знаменателю 12.$4 - 1\frac{1}{6} + 6\frac{1}{4} = \frac{4}{1} - \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} + \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{4}{1} - \frac{7}{6} + \frac{25}{4} = \frac{4 \cdot 12}{12} - \frac{7 \cdot 2}{12} + \frac{25 \cdot 3}{12} = \frac{48 - 14 + 75}{12} = \frac{109}{12}$.
Теперь разделим полученный результат на $\frac{1}{2}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:$\frac{109}{12} : \frac{1}{2} = \frac{109}{12} \cdot \frac{2}{1} = \frac{109}{6}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:$\frac{109}{6} = 18\frac{1}{6}$.
Ответ: $18\frac{1}{6}$

в)Можно сгруппировать числа с одинаковыми знаменателями для упрощения вычислений:$(3\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5}) - 1\frac{1}{2}$.
Сложим числа в скобках:$3\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = (3+2) + (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}) = 5 + \frac{5}{5} = 5 + 1 = 6$.
Теперь вычтем из результата $1\frac{1}{2}$:$6 - 1\frac{1}{2} = 5\frac{2}{2} - 1\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Ответ: $4\frac{1}{2}$

г)Выполним действия по порядку, приведя все дроби к общему знаменателю 8:$7\frac{3}{8} - 4\frac{3}{4} + 3\frac{1}{2} = \frac{59}{8} - \frac{19}{4} + \frac{7}{2} = \frac{59}{8} - \frac{19 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{59}{8} - \frac{38}{8} + \frac{28}{8}$.
Теперь выполним вычисления в числителе:$\frac{59 - 38 + 28}{8} = \frac{21 + 28}{8} = \frac{49}{8}$.
Преобразуем результат в смешанное число:$\frac{49}{8} = 6\frac{1}{8}$.
Ответ: $6\frac{1}{8}$

д)Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем все смешанные числа в неправильные дроби и приведем их к общему знаменателю 30:$4\frac{1}{3} - 12\frac{1}{2} - 2\frac{1}{5} = \frac{13}{3} - \frac{25}{2} - \frac{11}{5} = \frac{13 \cdot 10}{30} - \frac{25 \cdot 15}{30} - \frac{11 \cdot 6}{30} = \frac{130 - 375 - 66}{30}$.
Вычислим числитель: $130 - 375 = -245$, и $-245 - 66 = -311$. Получаем дробь $-\frac{311}{30}$.
Теперь разделим результат на 2:$-\frac{311}{30} : 2 = -\frac{311}{30} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{311}{60}$.
Преобразуем в смешанное число:$-\frac{311}{60} = -5\frac{11}{60}$.
Ответ: $-5\frac{11}{60}$

е)Сначала выполним действия в скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Общий знаменатель для дробей равен 30:$6\frac{2}{3} - 9\frac{3}{5} + 15\frac{1}{2} = \frac{20}{3} - \frac{48}{5} + \frac{31}{2} = \frac{20 \cdot 10}{30} - \frac{48 \cdot 6}{30} + \frac{31 \cdot 15}{30} = \frac{200 - 288 + 465}{30}$.
Вычислим числитель: $200 - 288 = -88$, и $-88 + 465 = 377$. Получаем дробь $\frac{377}{30}$.
Теперь разделим результат на 3:$\frac{377}{30} : 3 = \frac{377}{30} \cdot \frac{1}{3} = \frac{377}{90}$.
Преобразуем в смешанное число:$\frac{377}{90} = 4\frac{17}{90}$.
Ответ: $4\frac{17}{90}$

821. a) $(5\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{8} - 5\frac{1}{4} : 7) : 3 + 3\frac{7}{28};$

б) $(7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} - 12\frac{1}{4} : \frac{7}{9}) : 6 + 10\frac{1}{8};$

В) $(\frac{21}{113} - \frac{14}{19} + \frac{7}{8} - \frac{28}{41}) + (\frac{4}{41} - \frac{1}{8} + \frac{2}{19} - \frac{3}{113}) : \frac{1}{7}.$

а)
Решим по действиям.
1. Первое действие в скобках (умножение):
$5\frac{5}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 7 + 5}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{40}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{40 \cdot 3}{7 \cdot 8} = \frac{5 \cdot 8 \cdot 3}{7 \cdot 8} = \frac{15}{7}$.
2. Второе действие в скобках (деление):
$5\frac{1}{4} : 7 = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} : 7 = \frac{21}{4} : \frac{7}{1} = \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{21 \cdot 1}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4}$.
3. Третье действие в скобках (вычитание):
$\frac{15}{7} - \frac{3}{4} = \frac{15 \cdot 4}{28} - \frac{3 \cdot 7}{28} = \frac{60 - 21}{28} = \frac{39}{28}$.
4. Четвертое действие (деление):
$\frac{39}{28} : 3 = \frac{39}{28} \cdot \frac{1}{3} = \frac{39}{28 \cdot 3} = \frac{13 \cdot 3}{28 \cdot 3} = \frac{13}{28}$.
5. Пятое действие (сложение). Упростим $3\frac{7}{28} = 3\frac{1}{4}$.
$\frac{13}{28} + 3\frac{7}{28} = 3 + \frac{13}{28} + \frac{7}{28} = 3 + \frac{13+7}{28} = 3 + \frac{20}{28} = 3 + \frac{5}{7} = 3\frac{5}{7}$.
Ответ: $3\frac{5}{7}$.

б)
Решим по действиям.
1. Первое действие в скобках (умножение):
$7\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{(5 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2)}{2 \cdot 3} = 5 \cdot 4 = 20$.
2. Второе действие в скобках (деление):
$12\frac{1}{4} : \frac{7}{9} = \frac{49}{4} \cdot \frac{9}{7} = \frac{49 \cdot 9}{4 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 7} = \frac{63}{4}$.
3. Третье действие в скобках (вычитание):
$20 - \frac{63}{4} = \frac{80}{4} - \frac{63}{4} = \frac{17}{4}$.
4. Четвертое действие (деление):
$\frac{17}{4} : 6 = \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{17}{24}$.
5. Пятое действие (сложение):
$\frac{17}{24} + 10\frac{1}{8} = 10 + \frac{17}{24} + \frac{1}{8} = 10 + \frac{17}{24} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 10 + \frac{17}{24} + \frac{3}{24} = 10 + \frac{17+3}{24} = 10 + \frac{20}{24} = 10 + \frac{5}{6} = 10\frac{5}{6}$.
Ответ: $10\frac{5}{6}$.

в)
1. Сначала выполним действие деления: $(\frac{4}{41} - \frac{1}{8} + \frac{2}{19} - \frac{3}{113}) : \frac{1}{7}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$(\frac{4}{41} - \frac{1}{8} + \frac{2}{19} - \frac{3}{113}) \cdot 7$
2. Раскроем скобки, умножив каждый член на 7, используя распределительное свойство умножения:
$\frac{4 \cdot 7}{41} - \frac{1 \cdot 7}{8} + \frac{2 \cdot 7}{19} - \frac{3 \cdot 7}{113} = \frac{28}{41} - \frac{7}{8} + \frac{14}{19} - \frac{21}{113}$.
3. Теперь подставим полученное выражение в исходное и сложим с первым слагаемым:
$(\frac{21}{113} - \frac{14}{19} + \frac{7}{8} - \frac{28}{41}) + (\frac{28}{41} - \frac{7}{8} + \frac{14}{19} - \frac{21}{113})$
4. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
$(\frac{21}{113} - \frac{21}{113}) + (-\frac{14}{19} + \frac{14}{19}) + (\frac{7}{8} - \frac{7}{8}) + (-\frac{28}{41} + \frac{28}{41})$
5. Сумма каждой пары дробей равна нулю, так как они являются противоположными числами:
$0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

822. a) $\frac{\frac{5}{14} - \frac{8}{21}}{\frac{16}{21} - 1}$;

б) $\frac{\frac{4}{15} + \frac{7}{12}}{\frac{23}{40} - 1}$;

в) $\frac{36\frac{2}{3} : 15 + 8\frac{2}{3} \cdot 7}{12\frac{1}{3} + 8\frac{6}{7} : 2\frac{4}{7}} $;

г) $\frac{2\frac{3}{8} : \frac{3}{4} - 24 \cdot \frac{7}{9}}{7\frac{2}{3} + 2 : 24}$.

а)

Для решения данного примера $\frac{\frac{5}{14} - \frac{8}{21}}{\frac{16}{21} - 1}$ выполним действия по порядку.

1. Вычислим значение числителя: $\frac{5}{14} - \frac{8}{21}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 42 (НОК(14, 21) = 42).

$\frac{5}{14} - \frac{8}{21} = \frac{5 \cdot 3}{42} - \frac{8 \cdot 2}{42} = \frac{15 - 16}{42} = -\frac{1}{42}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{16}{21} - 1$.

Представим 1 как $\frac{21}{21}$.

$\frac{16}{21} - 1 = \frac{16}{21} - \frac{21}{21} = \frac{16 - 21}{21} = -\frac{5}{21}$.

3. Разделим результат первого действия на результат второго:

$(-\frac{1}{42}) : (-\frac{5}{21}) = \frac{1}{42} \cdot \frac{21}{5} = \frac{1 \cdot 21}{42 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$

б)

Для решения данного примера $\frac{\frac{4}{15} + \frac{7}{12}}{\frac{23}{40} - 1}$ выполним действия по порядку.

1. Вычислим значение числителя: $\frac{4}{15} + \frac{7}{12}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 60 (НОК(15, 12) = 60).

$\frac{4}{15} + \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 4}{60} + \frac{7 \cdot 5}{60} = \frac{16 + 35}{60} = \frac{51}{60} = \frac{17}{20}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $\frac{23}{40} - 1$.

Представим 1 как $\frac{40}{40}$.

$\frac{23}{40} - 1 = \frac{23}{40} - \frac{40}{40} = \frac{23 - 40}{40} = -\frac{17}{40}$.

3. Разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{17}{20} : (-\frac{17}{40}) = -\frac{17}{20} \cdot \frac{40}{17} = -\frac{17 \cdot 40}{20 \cdot 17} = -\frac{40}{20} = -2$.

Ответ: -2

в)

Для решения данного примера $\frac{36\frac{2}{3} : 15 + 8\frac{2}{3} \cdot 7}{12\frac{1}{3} + 8\frac{6}{7} : 2\frac{4}{7}}$ выполним действия по порядку.

1. Вычислим значение числителя: $36\frac{2}{3} : 15 + 8\frac{2}{3} \cdot 7$.

Сначала выполним деление и умножение, предварительно преобразовав смешанные числа в неправильные дроби.

$36\frac{2}{3} = \frac{36 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{110}{3}$; $8\frac{2}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$.

$36\frac{2}{3} : 15 = \frac{110}{3} : 15 = \frac{110}{3 \cdot 15} = \frac{22}{3 \cdot 3} = \frac{22}{9}$.

$8\frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{26}{3} \cdot 7 = \frac{182}{3}$.

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{22}{9} + \frac{182}{3} = \frac{22}{9} + \frac{182 \cdot 3}{9} = \frac{22 + 546}{9} = \frac{568}{9}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $12\frac{1}{3} + 8\frac{6}{7} : 2\frac{4}{7}$.

Сначала выполним деление, преобразовав смешанные числа в неправильные дроби.

$8\frac{6}{7} = \frac{8 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{62}{7}$; $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$.

$8\frac{6}{7} : 2\frac{4}{7} = \frac{62}{7} : \frac{18}{7} = \frac{62}{7} \cdot \frac{7}{18} = \frac{62}{18} = \frac{31}{9}$.

Теперь выполним сложение, преобразовав $12\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$12\frac{1}{3} + \frac{31}{9} = \frac{12 \cdot 3 + 1}{3} + \frac{31}{9} = \frac{37}{3} + \frac{31}{9} = \frac{37 \cdot 3}{9} + \frac{31}{9} = \frac{111 + 31}{9} = \frac{142}{9}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{568}{9} : \frac{142}{9} = \frac{568}{9} \cdot \frac{9}{142} = \frac{568}{142} = 4$.

Ответ: 4

г)

Для решения данного примера $\frac{2\frac{3}{8} : \frac{3}{4} - 24 \cdot \frac{7}{9}}{7\frac{2}{3} + 2 : 24}$ выполним действия по порядку.

1. Вычислим значение числителя: $2\frac{3}{8} : \frac{3}{4} - 24 \cdot \frac{7}{9}$.

Сначала выполним деление и умножение.

$2\frac{3}{8} : \frac{3}{4} = \frac{19}{8} : \frac{3}{4} = \frac{19}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{19 \cdot 4}{8 \cdot 3} = \frac{19}{2 \cdot 3} = \frac{19}{6}$.

$24 \cdot \frac{7}{9} = \frac{24 \cdot 7}{9} = \frac{8 \cdot 7}{3} = \frac{56}{3}$.

Теперь вычтем полученные результаты:

$\frac{19}{6} - \frac{56}{3} = \frac{19}{6} - \frac{56 \cdot 2}{6} = \frac{19 - 112}{6} = -\frac{93}{6} = -\frac{31}{2}$.

2. Вычислим значение знаменателя: $7\frac{2}{3} + 2 : 24$.

Сначала выполним деление:

$2 : 24 = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

Теперь выполним сложение, преобразовав $7\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:

$7\frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{23}{3} + \frac{1}{12} = \frac{23 \cdot 4}{12} + \frac{1}{12} = \frac{92 + 1}{12} = \frac{93}{12} = \frac{31}{4}$.

3. Разделим значение числителя на значение знаменателя:

$(-\frac{31}{2}) : \frac{31}{4} = -\frac{31}{2} \cdot \frac{4}{31} = -\frac{31 \cdot 4}{2 \cdot 31} = -\frac{4}{2} = -2$.

Ответ: -2

823. а) $(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5;$

б) $(-3)^{16} \cdot (\frac{1}{9})^7;$

в) $\frac{4^{20}}{8^{13}};$

г) $\frac{2^{10} \cdot 25^4}{4000000}.$

а) Для вычисления значения выражения $(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5$ воспользуемся свойством произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(-\frac{1}{2})^5 \cdot 4^5 = (-\frac{1}{2} \cdot 4)^5$

Вычислим произведение в скобках:

$-\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

Теперь возведем результат в пятую степень:

$(-2)^5 = -32$

Ответ: $-32$

б) Чтобы упростить выражение $(-3)^{16} \cdot (\frac{1}{9})^7$, приведем степени к одному основанию. Так как показатель степени 16 четный, то $(-3)^{16} = 3^{16}$. Число $\frac{1}{9}$ можно представить как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$3^{16} \cdot (3^{-2})^7$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^{-2})^7 = 3^{-2 \cdot 7} = 3^{-14}$

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{16} \cdot 3^{-14} = 3^{16 + (-14)} = 3^{16-14} = 3^2 = 9$

Ответ: $9$

в) Для вычисления значения дроби $\frac{4^{20}}{8^{13}}$ приведем основания степеней в числителе и знаменателе к одному числу — 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^2)^{20}}{(2^3)^{13}}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим числитель и знаменатель:

$\frac{2^{2 \cdot 20}}{2^{3 \cdot 13}} = \frac{2^{40}}{2^{39}}$

Теперь воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{40-39} = 2^1 = 2$

Ответ: $2$

г) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2^{10} \cdot 25^4}{4\,000\,000}$, представим числа в числителе и знаменателе в виде произведения степеней простых чисел.

Упростим числитель: $25 = 5^2$, следовательно $25^4 = (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Числитель равен $2^{10} \cdot 5^8$.

Упростим знаменатель: $4\,000\,000 = 4 \cdot 1\,000\,000 = 4 \cdot 10^6$.

$4 = 2^2$

$10^6 = (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6$

Знаменатель равен $2^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 2^{2+6} \cdot 5^6 = 2^8 \cdot 5^6$.

Теперь подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{2^{10} \cdot 5^8}{2^8 \cdot 5^6}$

Разделим степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10}}{2^8} \cdot \frac{5^8}{5^6} = 2^{10-8} \cdot 5^{8-6} = 2^2 \cdot 5^2$

Вычислим результат:

$4 \cdot 25 = 100$

Ответ: $100$

824. a) Парсек (единица длины, принятая в астрономии) равен 30 860 000 000 000 км. Запишите это число с помощью степени числа 10.

б) Если разрезать кубический метр на кубические сантиметры и поставить их друг на друга, то какой высоты получится столб?

а) Чтобы записать число 30 860 000 000 000 км с помощью степени числа 10, представим его в стандартном виде (научной нотации). Стандартный вид числа — это запись вида $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

1. Переместим запятую в числе 30 860 000 000 000 так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры (3). Получим число 3,086.

2. Посчитаем, на сколько разрядов мы сдвинули запятую влево. Исходное положение запятой — в конце числа. Мы сдвинули её на 13 разрядов.

3. Таким образом, исходное число можно записать как произведение 3,086 на 10 в 13-й степени.

30 860 000 000 000 км = $3,086 \times 10^{13}$ км.

Ответ: $3,086 \times 10^{13}$ км.

б) Чтобы найти высоту столба, нужно сначала определить, сколько кубических сантиметров содержится в одном кубическом метре.

1. В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

2. Кубический метр — это куб с ребром 1 м. Его объём в кубических сантиметрах равен:

$V = (1 \text{ м})^3 = (100 \text{ см})^3 = 100 \times 100 \times 100 \text{ см}^3 = 1 \ 000 \ 000 \text{ см}^3$.

Это означает, что один кубический метр можно разрезать на 1 000 000 (один миллион) кубиков размером 1 см × 1 см × 1 см.

3. Высота каждого такого кубика-сантиметра равна 1 см. Если поставить все эти кубики друг на друга, получится столб, высота которого равна сумме высот всех кубиков.

Высота столба = $1 \ 000 \ 000 \times 1 \text{ см} = 1 \ 000 \ 000 \text{ см}$.

4. Для наглядности переведём эту высоту в более крупные единицы — метры и километры.

В метрах: $1 \ 000 \ 000 \text{ см} = \frac{1 \ 000 \ 000}{100} \text{ м} = 10 \ 000 \text{ м}$.

В километрах: $10 \ 000 \text{ м} = \frac{10 \ 000}{1000} \text{ км} = 10 \text{ км}$.

Ответ: 10 км.

825. а) Между единицами энергии существует следующая зависимость: 1 джоуль равен $10^7$ эргам, а 1 киловатт-час равен $3,6 \cdot 10^6$ джоулям. Выразите 1 киловатт-час в эргах.

б) В одном грамме воды содержится $3,35 \cdot 10^{22}$ молекул. Сколько цифр в десятичной записи этого числа?

а)

Чтобы выразить 1 киловатт-час в эргах, воспользуемся данными из условия.
Нам известно, что:
1) $1 \text{ киловатт-час} = 3,6 \cdot 10^6 \text{ джоулей}$
2) $1 \text{ джоуль} = 10^7 \text{ эрг}$
Подставим второе соотношение в первое, заменив джоули на эквивалентное значение в эргах:
$1 \text{ киловатт-час} = 3,6 \cdot 10^6 \cdot (1 \text{ джоуль}) = 3,6 \cdot 10^6 \cdot (10^7 \text{ эрг})$
Теперь выполним умножение. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$3,6 \cdot 10^6 \cdot 10^7 \text{ эрг} = 3,6 \cdot 10^{6+7} \text{ эрг} = 3,6 \cdot 10^{13} \text{ эрг}$
Таким образом, 1 киловатт-час равен $3,6 \cdot 10^{13}$ эрг.

Ответ: $3,6 \cdot 10^{13} \text{ эрг}$

б)

Нам нужно определить количество цифр в десятичной записи числа $3,35 \cdot 10^{22}$.
Это число записано в стандартном виде. Чтобы представить его в виде целого числа, нужно умножить $3,35$ на $10^{22}$. Умножение на $10^{22}$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на 22 знака вправо.
Разобьем степень $10^{22}$ на два множителя для удобства: $10^{22} = 10^2 \cdot 10^{20}$.
$3,35 \cdot 10^{22} = 3,35 \cdot (10^2 \cdot 10^{20}) = (3,35 \cdot 10^2) \cdot 10^{20}$
Сначала умножим $3,35$ на $10^2$:
$3,35 \cdot 100 = 335$
Теперь нам нужно умножить полученное число $335$ на $10^{20}$:
$335 \cdot 10^{20}$
Умножение целого числа на $10^{20}$ означает, что к этому числу нужно приписать справа 20 нулей.
Число $335$ состоит из 3 цифр. Если мы припишем к нему 20 нулей, то общее количество цифр в получившемся числе будет равно сумме количества цифр в числе $335$ и количества приписанных нулей:
$3 + 20 = 23$
Следовательно, в десятичной записи числа $3,35 \cdot 10^{22}$ содержится 23 цифры.

Ответ: 23